开远市2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学
答案
2023.11
考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。
单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 ， ，则（ A ）．
A. B. C. D.
2. 若，则（ A ）
A. B. C. D.
3. 已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为（ D ）
A. 6 B. 16 C. D. 2
4. 设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（ A ） A．5 B．1 C．3 D．1或5
5. 圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ B ）.
A. B. C. D.
6. 已知，，，则、、的大小关系为（A）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ C ）
A. B. C. D.
8 若函数的图象关于轴对称，则实数的值为（B） A. 2 B. C. 4 D.
二．多选题本题共4个小题，每小题5分，共20分。漏选每题给2分，多选不给分。
9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ BD ）
A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B. 若点G是的重心，则+
C. 若，则或
D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为
10. 下列叙述中正确的是（ BD ）
A. 若是的必要不充分条件，则
B. 若，，，则“”是“”的必要不充分条件
C. 若，使不等式成立，则
D. “”是“”的充分不必要条件
11. 已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（ABC ）
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
12. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论中正确的是（ ACD ）
A. 抛物线的准线方程为 B. 线段MN的长度为
C. 点N的坐标为 D. 的面积为
三．本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 已知，则_____.
14. 过点（1，2）总可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是___________.
15.数列满足：，，且（，），则该数列前100项和 5 .
四面体ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在同一个球面上，则该球面面积等于__14____．
四．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。其中17题10分，其余各题每题12分。
17．在中，角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
【详解】（1）由，根据正弦定理有：.
所以，所以.
因为为三角形内角，所以，所以，因为为三角形内角，所以.
（2）由，，根据正弦定理有：，所以，.
所以.
当时，等号成立.所以的最大值为.
另解：（2）由，，根据余弦定理有：，
即.因为，
所以.即，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
18. 已知正项数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
【小问1详解】
当时，，
即，
由数列为正项数列可知，，又，
即数列是首项为1，公差为1的等差数列，
即，则，
当时，，当时，成立，
所以
【小问2详解】
由（1）可知，，则，
当时，
，成立，，成立，
当时，
，
即.
综上可知，，得证.
19. 某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组，，…，后，画出如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求成绩落在上的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的平均分，中位数和众数；
（3）为调查某项指标，从成绩在，分数段组的学生中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率.
（1）由题意得，
所以这一组在频率分布直方图上的高为，
补全的频率分布直方图如图所示
（2）平均分为：，
前三组的频率之和为0.4，第四组频率为0.7，所以中位数在第四组，
中位数为：
第四组频率最大，所以众数为：.
（3）成绩在有人，成绩在有人，
现按照比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，则
成绩在抽取的人数为人，
成绩在抽取的人数为人，
从这6人中选2人有种选法，
选出的这2名学生来自同一分数段有种.
所以，选出这2名学生来自同一分数段的概率为.(第三问可用列举法解决）
20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）取的中点，连接，，
在△中，，且，
又，，
所以，且.
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点为，连接，则.
又平面平面，则平面
建立如图空间直角坐标系.由已知得
，，，，.
所以，，.
设是平面的法向量，则
即，令，则
设直线与平面所成的角为.
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21.已知圆C过点,且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)问是否存在满足以下两个条件的直线:①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.
22．已知椭圆C：的短轴长为2，且点在C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程．
(1)∵短轴长为2，∴，∴，
又∵点在C上，∴，∴，
∴椭圆C的标准方程为；
(2)由(1)知，
∵当直线l斜率为0时，不符合题意，
∴设直线l的方程为：，
联立，消x得：，
∵，
∴设，，则，
∵，∴，∴，
即，解得，
∴直线l的方程为：或.开远市2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学
2023.11
考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。
单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为（ ）
A. 6 B. 16 C. D. 2
4. 设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．5 B．1 C．3 D．1或5
5. 圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）.
A. B. C. D.
6. 已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8 若函数的图象关于轴对称，则实数的值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
二．多选题本题共4个小题，每小题5分，共20分。漏选每题给2分，多选不给分。
9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B. 若点G是的重心，则+
C. 若，则或
D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为
10. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 若是的必要不充分条件，则
B. 若，，，则“”是“”的必要不充分条件
C. 若，使不等式成立，则
D. “”是“”的充分不必要条件
11. 已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
12. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论中正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为 B. 线段MN的长度为
C. 点N的坐标为 D. 的面积为
三．本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 已知，则____.
14. 过点（1，2）总可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是________.
15.数列满足：，，且（，），则该数列前100项和 .
16.四面体ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在同一个球面上，则该球面面积等于_____．
四．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。其中17题10分，其余各题每题12分。
17．在中，角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
18. 已知正项数列的前项和为，且.
（1）求；（2）设，数列的前项和为，证明：.
19. 某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组，，…，后，画出如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求成绩落在上的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的平均分，中位数和众数；
（3）为调查某项指标，从成绩在，分数段组的
学生中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人
中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率.
20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
21.已知圆C过点,且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)问是否存在满足以下两个条件的直线:①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.
22．已知椭圆C：的短轴长为2，且点在C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程．
