陕西省安康市2023-2024学年高二上学期开学摸底考试数学试题（含解析）

陕西省安康市2023-2024学年高二上学期开学摸底考试数学试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2、在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,,则( )
A. B. C. D.
3、我国传统文化中有天干地支之说,天干为“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”.其中甲、乙五行属木,归东方,丙、丁五行属火,归南方,戊、己五行属土,归中央,庚、辛五行属金,归西方,壬、癸五行属水,归北方.在天干十个字中随机取两个,则它们五行属性相同的概率是( )
A. B. C. D.
4、我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标 中抽象出一个图象如图,其对应的函数可能是( )
A. B.
C. D.
5、已知向量,,,则向量,的夹角为( )
A. B. C. D.
6、已知某圆锥的侧面积为,该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7、在地球公转过程中,太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化,太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间,统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值,直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度值为y,该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y与x近似满足.则每1200年中,要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为( )
（精确到1）参考数据
A.290 B.291 C.292 D.293
8、某校高二年级学生举行中国象棋比赛,经过初赛,最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下,累计负两场者被淘汰,比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,最后的胜者获得冠军,比赛结束.若经抽签,已知第一场甲,乙首先比赛,丙轮空,设每场比赛双方获胜的概率都为,则( )
A.甲获得冠军的概率最大
B.甲与乙获得冠军的概率都比丙大
C.丙获得冠军的概率最大
D.甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大
二、多项选择题
9、已知复数,则下列说法正确的是( )
A.是纯虚数 B.
C. D.在复平面内,复数对应的点位于第三象限
10、下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
11、砂糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示,则针对2019年这一年的收支情况,则( )

A.月收入的最大值为90万元,最小值为30万元
B.这一年的总利润超过400万元
C.这12个月利润的中位数与众数均为30
D.7月份的利润最大
12、在锐角三角形ABC中,角A,B, 所对的边分别为,若,则( )
A. B. C. D.
三、填空题
13、已知向量,满足,,则向量在上的投影向量为__________.
14、某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,8,10,12.已知这组数据的平均数为10,标准差为,则的值为______________.
15、已知函数若方程有四个不同的解,,,且,则a的最小值是____________.
四、双空题
16、如图,正四面体ABCD的体积为,E、F、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点,则____________,多面体的外接球的体积为______________.
五、解答题
17、某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个,并按,,,,分组,得到频率分布直方图如下,假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立.
（1）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为,,试比较与的大小；（只需写出结论）
（2）用频率估计概率,求在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率.
18、设是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有.当时,.
(1)当时,求的解析式；
(2)计算的值.
19、如图,直三棱柱中,,,.
(1)证明：平面；
(2)求点C到平面的距离.
20、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求A的大小；
(2)若,的面积为,求的周长.
21、已知向量,,且函数.
（1）若,求的值；
（2）在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足,求的取值范围.
22、如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,,,平面ABCD,且M是PD的中点.
(1)求证：平面PCD；
(2)求异面直线CD与BM所成角的正切值；
(3)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值.
参考答案
1、答案：D
解析：因为,所以,
所以,所以
又因为,所以,
故选：D.
2、答案：A
解析：由正弦定理得,,
故选：A.
3、答案：A
解析：从天干十个字中随机取两个,所有取的种类为,
共有金木水火土五行,所以随机取的两个五行相同的概率为,
故选：A.
4、答案：B
解析：由图知的定义域为,排除选项A、D,
又因为当时,,不符合图象,所以排除选项C,
故选：B.
5、答案：A
解析：因为向量,所以,
由,可得,
所以,
因为,所以,
故选：A.
6、答案：B
解析：设该圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,
由已知条件可得：,解得
故圆锥的高,所以该圆锥的体积为.
故选：B.
7、答案：B
解析：,
所以一个回归年对应的天数为365.2422天
假设1200年中,设定闰年的个数为x,则平年有个,
所以
解得：.
故选：B.
8、答案：C
解析：根据决赛规则,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛,
（1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束,甲四连胜夺冠,概率为.
②共比赛五场结束,并且甲获得冠军.则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况：胜胜胜负胜,胜胜负空胜,胜负空胜胜,负空胜胜胜,概率分别为,,,
因此,甲最终获得冠军的概率为.
（2）乙获得冠军,与（1）同理,概率也为.
（3）丙获得冠军,概率为,
丙获得冠军的概率最大.
故选：C.
9、答案：ABD
解析：
A：为纯虚数,正确；
B：,正确；
C：,错误；
D：,对应点为在第三象限,正确.
故选：ABD.
10、答案：AD
解析：当时,,所以,此时,故A正确；
此时当时成立,取,则,故B错误；
当时,故C错误；
当时,,则,故D正确.
故选：AD.
11、答案：ACD
解析：A：由图可知,月收人的最大值为90,最小值为30,故A正确；
B：各个月的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,
所以总利润为（万元）,故B错误；
C：这12个月利润按从小到大排为：10,20,20,30,30,30,30,30,30,40,50,60,所以中位数与众数均为30,故C正确；
D：7月份的利润最大,为60万元,故D正确.
故选：ACD.
12、答案：ABD
解析：因为,
由正弦定理可得,
所以,
又为锐角三角形,所以,,
所以,正弦函数在上单调递增,
所以,所以,A正确；
因为为锐角三角形,所以,,,
所以,,,
所以,B正确；
因为,所以,
所以,
所以,因为,
所以,C错误；
因为,由余弦定理可得
,
所以,
所以,D正确,
故选：ABD.
13、答案：
解析：由题知,在上的投影为,又 ,,
所以 , ；
所以 ,即在上的投影为-1；
又的单位向量为 ,所以在上的投影向量为
故答案为：.
14、答案：
解析：平均数为,即①,
方差为,
即②,
由①②解得,或,,
所以当,时,；当,,
故答案为：.
15、答案：1
解析：画出的图象如图所示.

因为方程有四个不同的解,,,
故的图象与有四个不同的交点,又由图,,,
故a的取值范围是,故a的最小值是1.
故答案为：1.
16、答案：1;
解析：如图,将正四面体ABCD嵌入到正方体中,则正四面体ABCD的体积为正方体体积的,
设正方体的边长为a,则,,
所以,EF是的中位线,
所以.
设AB的中点为O,连接OE,OF,OG,OH,
因为,
所以多面体的外接球的球心为O,半径为1,
外接球的体积为.
故答案为：1；.
17、答案：（1）,；
（2）0.42
解析：（1）根据频率分布直方图（甲）可得：,解得,
根据两个频率分布直方图可得,乙种酸奶日销售量数据更集中,所以；
（2）设事件A：在未来的某一天,甲种酸奶的销售量不高于20箱,
事件B：在未来的某一天,乙种酸奶的销售量不高于20箱,
事件C：在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱,
则,,
所以.
18、答案：(1),
(2)0
解析：（1）,,
是周期为4的周期函数.
,,,
,
又,
,即,.
（2）,,,,
又是周期为4的周期函数,
,
.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明： 为直三棱柱,
又平面,平面,
平面
（2）在中,,,
则,的面积为
为直三棱柱, 平面ABC,
,从而
取AB的中点D,连接,则,
的面积为,
设点C到平面的距离为h,
由于
,解得
故点C到平面的距离为.
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,由正弦定理得,
所以
可得,
因为,所以,所以,
又因为,所以.
（2）由,则,解得,
又由余弦定理,可得,
所以,可得,
又因为,所以的周长为.
21、答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由题意得
因为,所以,
所以.
（2）因为.
所以,
又,所以.
所以,
,
所以.
22、答案：(1)证明见解析；
(2)
(3)
解析：（1）平面ABCD,平面ABCD,,
又四边形ABCD是矩形, ,
,平面PAD,
平面PAD,,
又M是PD的中点,, ,
,所以平面PCD.
（2）底面ABCD是矩形, ,
异面直线CD与BM所成角即为直线BA与直线BM所成的角,
由（1）得平面PAD,BA平面PAD,
平面PAD, , 为直角三角形,
又是PD的中点,, ,
在中,即为异面直线CD与BM所成角,故,
异面直线CD与BM所成角的正切值为.
（3）取AD中点为N,连接MN,AC,
在中,M,N分别为线段PD,AD的中点,故,
平面,∴平面,
,
由（1）得平面PCD, 平面, ,
, ,又, ,
,
设点D到平面AMC的距离为h,直线CD与平面ACM所成角为,
则,解得：,
故,
所以直线CD与平面ACM所成角的正弦值为.