金牛区重点中学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷（理科）答案
1~5：ADBCC 6~10:ACCDB 11~12:DB
13: 40 14: 15: 16:
17. 【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为方程的两根为2，3，且是递增的等差数列
所以，，设数列的公差为 d，则，故，从而，
所以的通项公式为：；
（2）由（1）知，
设数列的前项和为，则：，
，
两式相减得
所以，设数列的前项和为，则.
18. 【答案】(1)； (2)
【详解】（1）若，此时该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，则该应聘者应聘甲公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率为,该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率为.
（2）设该应聘者应聘甲公司通过的项目数为，应聘乙公司通过的项目数为，
根据题意可知，，则，
，
，
，，
则随机变量的分布列为：
0 1 2 3
则，
因为应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，所以，即，又，所以，所以m的取值范围为.
19.【答案】(1)见证明；(2)
【详解】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，则
因为平面平面，且为交线，
平面
又平面
（2）取的中点，连接，易证面，且，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系
设，则，，因为四边形为平行四边形
则易知的一个法向量为
，解得
设平面的法向量，，令，则由（1）可得面的法向量
二面角的余弦值为
20. 【答案】（1）见解析；（2）[1，＋∞)；（3）证明见解析.
【详解】解：（1）求导数可得，当时，，函数在上单调递增；当时，由可得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，
，即不等式在时恒成立，
当时，函数在上单调递减，存在使得，
即不等式不成立，综上可知实数的取值范围为，；
（3）由（2）得当时，不等式在时恒成立，
即，，．即，
，，，，
将上述式子相加可得原不等式得证．
21. 【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）依题意，解得，，所以椭圆的方程是；
（2）设、、，则，
相减得：，
又由，知，，
由，知，，
代入式得：，即，又因为点在椭圆内，所以，所以的面积；
（二）选考题：共10分
选修4-4：坐标系与参数方程：
22．答案：1．(1)9 (2)
【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为、，则，，
因此，；
（2）根据对称性，不妨设、，
．
∵，则，所以当时，即，时，．
选修4-5：不等式选讲：
23．答案：(1)； (2).
【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得；
当时，原不等式等价于，不等式恒成立，满足题意；
当时，原不等式等价于，解得；综上所述，不等式解集为，故.
（2）根据（1）中所求，，故，
即，故，当且仅当，且时，也即时取得等号.故的最大值为.金牛区重点中学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷（理科）
满 分:150分 时 间：120分钟
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）
A. B. C. D.
3.命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知是不重合平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是( )
A. ， B. ，
C. ，， D. ，，
5. 重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚 脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果 中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：)服从正态分布，则果实横径在的概率为（ ）
附：若，则；.
A. 0.6827 B. 0.8413 C. 0.8186 D. 0.9545
6. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（ ）
A. B. 2
C. 3 D. 2
9. 函数，图象大致（ ）
A. B. C. D.
10. 已知是双曲线的左、右焦点，设双曲线的离心率为．若在双曲线的右支上存在点，满足，且，则该双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数对于任意，均满足，当时，（其中为自然对数的底数），若存在实数满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. ，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，下列选项正确的是（ ）
①平面；②异面直线与所成的角为定值；③在二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径先变小后变大；④若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是
A. ①② B. ①②④ C. ①④ D. ①②③④
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
二、填空题（本大共4小题，每题5分，共20分）
13. 二项式的展开式中的系数是 _________
14. 某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
15. 已知椭圆离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于原点的对称点为，设直线的斜率为，则的值为_________.
16. 设函数，点，为坐标原点，若向量，设，且是与的夹角，记为数列的前项和，则__．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
（一）必考题：（每题12分，共60分）
17. 已知是递增的等差数列，、是方程的根.
（1）求的通项公式； （2）求数列的前项和.
18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质最（单位：克），质量的分组区间为．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量．
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列．
(3)从该流水线上任取2件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列及数学期望．
19. 在三棱柱中，侧面底面，，且侧面为菱形.
证明：平面；
若，，直线与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
20. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式在时恒成立，求实数a取值范围；
（3）当时，证明：.
21. 已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且、、成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求（为坐标原点）面积的取值范围．
（二）选考题：（从22和23两个题目中选择一题作答，共10分）
选修4-4：坐标系与参数方程：
22．杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022），简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会。如图，在极坐标系Ox中，方程表示的图形为“四叶草”对应的曲线C．
(1)设直线l：与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；
(2)设P和Q是C上的两点，且，求的最大值．
选修4-5：不等式选讲：
23．不等式的解集为．
(1)求n的值；
(2)设a，b，，且，求的最大值．
