金牛区重点中学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷（文科）
满 分:150分 时 间：120分钟
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）
A. B. C. D.
3.命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是( )
A. ， B. ，
C. ，， D. ，，
5. 已知等比数列中，公比为，，且，，成等差数列，又，数列前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
8. 如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（ ）
A. B. 2
C. 3 D. 2
9. 函数，图象大致
A. B. C. D.
10. 已知是双曲线的左、右焦点，设双曲线的离心率为．若在双曲线的右支上存在点，满足，且，则该双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数对于任意，均满足，当时，（其中为自然对数的底数），若存在实数满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.在中，是边的中点，是边上的动点（不与重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，如图所示.给出下列四个结论：
①平面；
②不可能为等腰三角形；
③存在点，使得；
④当四棱锥的体积最大时，.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
二、填空题（本大共4小题，共20分）
13. 已知x，y满足，若的最小值为________.
14. 已知两个单位向量、的夹角为，向量，则|_____．
15. 已知椭圆的离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于原点的对称点为，设直线的斜率为，则的值为_________.
16. 设函数，点，为坐标原点，若向量，设，且是与的夹角，记为数列的前项和，则__．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
（一）必考题：共60分
17. 已知是递增的等差数列，、是方程的根.
（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.
18. 某工厂生产某种型号的农机具零配件，为了预测今年7月份该型号农机具零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价（单位：元）和销售量（单位：千件）之间的6组数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价（元） 11.1 9.1 9.4 10.2 8.8 11.4
销售量（千件） 2.5 3.1 3 2.8 3.2 2.4
（1）根据1至6月份的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）；
（2）结合（1）中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的生产成本为每件3元，那么工厂如何制定7月份的销售单价，才能使该月利润达到最大？（计算结果精确到0.1）
参考公式：回归直线方程，
参考数据：，
19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，其中，，底面，，为的中点，为的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求点到平面的距离.
20. 已知函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：.
21. 已知离心率为椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且、、成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求（为坐标原点）面积的取值范围．
（二）选考题：（从22和23两个题目中选择一题作答，共10分）
选修4-4：坐标系与参数方程：
22．杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022），简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会。如图，在极坐标系Ox中，方程表示的图形为“四叶草”对应的曲线C．
(1)设直线l：与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；
(2)设P和Q是C上的两点，且，求的最大值．
选修4-5：不等式选讲：
23．不等式的解集为．
(1)求n的值；
(2)设a，b，，且，求的最大值．金牛区重点中学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷（文科）答案
1~5：ADBCA 6~10:ACCDB 11~:12：DB
13. 5 14. 15. 16.
17.【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为方程的两根为2，3，且是递增的等差数列
所以，，设数列的公差为 d，则，故，从而，
所以的通项公式为：；
（2）由（1）知，
设数列的前项和为，则：，
，
两式相减得
所以，设数列的前项和为，则.
18. 【答案】（1）；（2）销售单价为11.3元时，该月利润才能达到最大
详解】（1）由条件知，，所以，故关于的线性回归方程为.
（2）假设7月份的销售单价为元则由（1）可知，7月份零配件销量为
故7月份的利润，
其对称轴，故7月份销售单价为11.3元时，该月利润才能达到最大.
19. 1．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：
如上图，取中点，连接、，
∵为的中点，为的中点，为的中点，
∴在矩形中，在中，
又∵平面，平面，平面，平面，
∴平面，平面，
又∵平面，平面，，
∴平面平面，
又∵平面，∴平面.
（2）解：如上图，连接，由题意，，，，
∵底面，平面，平面，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
∵矩形中，，平面，平面，
∴平面，又∵平面，
∴，则是直角三角形，，
∴.
∵底面，∴是三棱锥的高.
∵底面是矩形，∴.
∵点到平面的距离就是三棱锥的高，
∴由得：，即，解得：，
即点到平面的距离为.
20. 【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1），若,则,则在上是增函数，
而,不成立,故，若,则当时, ;当时, ，在上是增函数,在上是减函数，的最大值为，
要使恒成立,只需,解得;
(2)由(2)知,当时,有在上恒成立,且在上是增函数,
又,在上恒成立，令,则,
令,则有，
以上各式两边分别相加,得，
即,故.
21. 【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）依题意，解得，，所以椭圆的方程是；
（2）设、、，则，
相减得：，又由，知，，由，知，，代入式得：，即，又因为点在椭圆内，所以，
所以的面积；
选修4-4：坐标系与参数方程：
22．答案：(1)9 (2)
【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为、，
则，，
因此，；
（2）根据对称性，不妨设、，
．
∵，则，所以当时，即，时，．
23．答案：(1)； (2).
【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得；
当时，原不等式等价于，不等式恒成立，满足题意；
当时，原不等式等价于，解得；综上所述，不等式解集为，故.
（2）根据（1）中所求，，故，
即，故，当且仅当，且时，也即时取得等号.故的最大值为.
