成都市青羊区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题（理）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分，每一题只有一个选项符合题意）
已知复数 ，则的实部为（ ）
A． B． C． D．
=（ ）
A．2 B．0 C． D．
下列命题中一定正确的是（ ）．
A．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
B．如果平面平面，直线与平面垂直，那么
C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
D．如果直线与平面相交但不垂直，为空间内一条直线，且，那么与平面相交
设集合，则（ ）
A． B． C． D．
学校举行舞蹈比赛，现从报名的50位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这50位学生按01、02、、50进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（ ）．
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617
A．43 B．25 C．32 D．12
已知，则（ ）
A． B． C． D．
成都石室中学是中国现存最古老的学校，在2023年11月11日石室生日
之际，某石室学子写下一个二进制数，另一学子用框图将
转化为十进制数，发现该十进制数加上117恰为石室年龄，
则判断框内应填入的条件，通过计算得到石室的年龄分别是（ ）
A． B． C． D．
已知函数的部分图象如图所示，
将函数的图象向左平移个单位后，得到偶函数
的图象，则正实数的最小值为 ( )
A． B． C． D．
学校运动会上，有,,三位运动员分别参加3000米，1500米和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外四个同学参加后勤服务工作（每个同学只能参加一个后勤服务小组）。若甲在A的后勤服务小组，则这五位同学的分派方案有（ ）种
A． B． C． D．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B是矩形，D是棱CC1的中点，CC1=AC=4, ，AB=3,, 过点D作平面平面，则平面截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
已知椭圆的左 右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
已知函数的导函数是，的图像关于点对称，对任意实数都有，且在上单调递增，设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
已知点在双曲线上，直线是双曲线的渐近线，则双曲线的标准方程是
若，满足约束条件，则最小值为
如图，在中，,是正三角形，点是的中心，若, 则
如图,已知圆：，圆：，过直角坐标原点作直线分别交两圆于过点作直线分别交两圆于,连接，则四边形面积的最大值为
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
（本小题满分12分）
已知首项为4的数列的前项和为，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
（本小题满分12分）
某种植户对一块地上的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.
（1）当取何值时，有4个坑需要补种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当时，用表示要补种的坑的个数，求的分布列及数学期望.
（本小题满分12分）
在三棱锥中，底面为等腰直角三角形,.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，且的周长最大值为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），分别为椭圆的左右顶点，直线交轴于点，若与的面积相等，求直线的方程．
（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求过原点且与的图象相切的直线方程；
（2）若有两个不同的零点、，不等式恒成立，求实数的取值范围.
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，且.
（1）若函数的最小值为，试证明:点在定直线上；
（2）若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围.成都市青羊区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题（理A）答案
B【解析】
B
C
D【解析】由题意得，，则，
D【解析】选出来的5个号码为：31，32，43，25，12
A【解析】，
，，
B【解析】由题意输出，按照程序运行：
按照程序运行：
；
；
，
,
,
………………
；
此时结束循环输出结果，，
，故判断框内的条件应为；石室年龄应为2164。
C【解析】 由题图可知，周期，，所以，
因为点在的图象上，所以2sin＝－2，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，所以φ＝，
所以， 是偶函数，，
展开得，，
B【解析】 若A小组只有一人，则5人的分配方案有种，若A小组只有两人，则5人的分配方案有种；若A小组恰有三人，则5人的分配方案有种，所以共有50种
A【解析】,且，，连接,
,， 连接,,,所以,平面截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面为等腰梯形MNDH，HM=DN=, HD=4, MN=2, 所以截面面积为，故选A。
A【解析】设，设内切圆与轴相切于点，点在第一象限,
则，,
， 又∴，
由三角形面积相等，得，，
设，，
当且仅当时等号成立，故选A
D【解析】因为的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，是奇函数，是偶函数，关于直线对称，所以的周期为2，且在上单调递减，在上单调递增，，，设，则，函数，设函数，，，所以在（0，1）上是减函数，，，所以选D
【解析】如图，MC交AB于点E，
, 设，则，
, 因为AB是的角平分线，所以, ，且，
，
【解析】设轴与圆交于，点，交圆于点，连结，则：,.同理： =
设,则
，设点到直线的距离为，则：
设，
当单增，当单减
所以当，，
解：（1）由题意得，，即，
故，即，
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列…………………………6分
（2）由（1）知，，即．………………………….7分
数列的前n项和为，…………………………9分
数列的前n项和为，…………………………11分
故．…………………………12分
（1）由题意可知每个坑要补种的概率，则个坑中有4个坑要补种的概率为. …………………………1分
欲使最大，只需 …………………………2分
解得.因为，所以. …………………………5分
当时，，当时，，
所以当或时，有4个坑要补种的概率最大，最大概率. …………………………6分
（2）易知的取值范围为，且，则
， ，
， ，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
…………………………12分
（1）证明：取的中点为E，连结，∵，∴，
在和中，，
∴，∴，
∵的中点为E，∴，
∵，∴面，
∵面，∴ …………………………5分
（2）过S作面，垂足为D，连接，∴
∵，平面
∴，同理，，∵底面为等腰直角三角形，
，
∴四边形为正方形且边长为2.以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 …………………………6分
则， ，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴， …………………………8分
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，…………………………10分
设平面与平面夹角为, …………………………11分
故平面与平面夹角的余弦值为.…………………………12分
法二：
解：（1）设与轴的交点为，由题意可知，则，当过右焦点时， 的周长取最大值，所以
因为椭圆的离心率为，所以，
所以椭圆的标准方程为 …………………5分
（2）由题意得:
①当点在椭圆外，
又,所以直线的方程为 …………………………………8分
②当点在椭圆内，
又,所以直线的方程为 …………………………………11分
综上：直线的方程为：或…………………………………………………12分
解：（1）的定义域为 ，
设切点坐标，则切线方程为：
把点带入切线得：
所以，的切线方程为： …………………4分
又有两个不同零点，则 有两个不同零点
构造函数， …………………6分
为增函数，且，即方程有两个不等实根
令，则，
则 …………………7分
设，
设，在恒成立…………………9分
在递增，，则在递增，所以
…………………11分
所以的取值范围为. …………………12分
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．解：（1）曲线C的直角坐标方程：，
根据公式直角坐标与极坐标转化公式，，，，
所以C的极坐标方程：；…………………5分
（2）直线l的极坐标方程：，代入C的极坐标方程得：，
，，
，
，，
或，即或 …………………10分
23．解：（1）（当且仅当在与之间时取等号），
，即点在定直线上. …………………5分
（2）当，时，，
由得：，，则，
，解得：，即实数的取值范围为.…………………10分
