3.4 圆周角和圆心角的关系分层练习（含答案）

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3.4圆周角和圆心角的关系分层练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（ ）
A．50° B．20° C．60° D．70°
2．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．
3．如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（　　）
A．45° B．30° C．20° D．15°
4．如图，在中，，，点是边上的一个动点，以为直径的圆交于点，若线段长度的最小值是4，则的面积为（ ）
A．32 B．36 C．40 D．48
5．如图，将⊙O的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，M也是线段NE、AH的黄金分割点．在以下结论中，不正确的是（ ）
A． B． C．BN＝NM＝ME D．∠A＝36°
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（ ）
A．AD=DB B． C．OD=1 D．AB=
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P过O（0，0），A（3，0），B（0，﹣4）三点，点C是上的点（点O除外），连接OC，BC，则sin∠OCB等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，弦，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，是⊙O的直径，，分别为⊙O上一点，，，则∠B等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，AC为⊙O的弦，点B在上，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数为 ．
12．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆周上，∠A＝65°，则∠CBD的度数为 ．
13．如图，等边三角形的顶点都在上，是直径，则 °．
14．如图，点A、B、C在圆O上，且∠BAC=40°，则∠BOC﹦ ．
15．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为 ．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为 ．
17．已知，四边形顶点都在正方形网格的格点上，如图所示，请用直尺和圆规画出四边形的外接圆，这个圆中所对的圆心角的度数是 ．

18．如图，是的直径，点、在上，连结、、、，若，，则的度数为 .

19．如图，内接于，是的直径，是的中点，如果，那么 度．
20．如图，已知∠MON=30°，点A、点B分别是射线ON、OM上的动点，连结AB，线段 AB的长度始终为2，以AB为边向右侧作正△ABC，则
（1）△AOB外接圆的半径是 ．
（2）点C到点O距离d的取值范围是 ．
三、解答题
21．如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，，的坐标分别是，，．

(1)将绕点逆时针旋转至，画出旋转后的；
(2)请直接写出点与过，，三点的圆的位置关系：__________（填“在圆外、在圆上或在圆内”）．
22．如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．
求证：．
23．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
(1)如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；
(2)如图2，圆内接四边形中，，点E是的中点，连结交于点F，连结，，
①求证：是四边形的“相似对角线”；
②若的面积，求线段的长．
24．如图，中，，以为直径作⊙O，交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
25．如图1，四边形ACDE是美国第二十任总统伽菲尔德验证勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)判断方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；
(2)如图2，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，a≠b，关于x的方程ax2+5x+b＝0是“勾系一元二次方程”，求∠BAC的度数．
参考答案：
1．D
【详解】题解析：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2．C
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．
【详解】解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直径，
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径长=3,故选：C
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
3．B
【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得△AO2O1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接O1O2，AO2，O1B，
∵O1B= O1A
∴
∵⊙O1和⊙O2是等圆，
∴AO1=O1O2=AO2，
∴△AO2O1是等边三角形，
∴∠AO2O1=60°，
∴∠O1AB=∠AO2O1 =30°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AO2O1是等边三角形是解题关键．
4．D
【分析】连接BQ，证得点Q在以BC为直径的⊙O上，当点O、Q、A共线时，AQ最小，在中，利用勾股定理构建方程求得⊙O的半径R，即可解决问题.
【详解】如图，连接BQ，
∵PB是直径，
∴∠BQP=90°，
∴∠BQC=90°，
∴点Q在以BC为直径的⊙O上，
∴当点O、Q、A共线时，AQ最小，
设⊙O的半径为R，
在中，，，，
∵，即，
解得：，
故选：D
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式．解决本题的关键是确定Q点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
5．C
【分析】由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接CO、OD求得∠COD＝72°根据圆周角定理得到∠CAD＝36°；连接CD、AE，得出AM＝EM，再根据黄金分割的定义和相似三角形的性质判断即可．
【详解】连接CO、OD 、CD、AE，
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴∠COD＝72°，
∴∠CAD＝36°；D正确，不符合题意；
同理可得，∠BEA＝∠DAE＝∠BDC＝∠ECD＝∠ADB＝36°；
∴AM＝EM，∠AMN＝72°；
∴AM≠MN，C错误，符合题意；
∵M也是线段NE的黄金分割点,
∴，即，A正确，不符合题意；
∵∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝72°；
∴△ADC∽△AMN，
∴，
同理∠ACD＝∠ADC＝72°；
∴∠ACD＝∠DFC＝72°；
∴DC＝DF，
∴，B正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理、黄金分割和相似三角形，解题关键是根据圆周角定理求出角度，利用黄金分割和相似三角形解决问题．
6．D
【分析】根据垂径定理及圆周角定理进行判断即可
【详解】连接OA，OB
∵OD⊥AB，
∴由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，
有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．
∴AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．
∴AB=2．
∴A，B，C均不符合题意，D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．A
【分析】连接AB，由圆周角定理得出∠OCB＝∠OAB，求出OA＝3，OB＝4，由勾股定理得出AB＝5，则sin∠OAB＝＝，即可得出结果．
【详解】连接AB，则∠OCB＝∠OAB，如图所示：
∵O（0，0），A（3，0），B（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
sin∠OAB＝＝，
∴sin∠OCB＝；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、坐标与图形性质、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握圆周角定理与勾股定理是关键．
8．A
【分析】由，可得，由，可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．D
【分析】连接OC根据圆周角定理可知∠DCB＝32°，再由OC＝OD，OC＝OB即可推出∠B度数．
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵∠DOB＝64°，
∴∠DCB＝32°，
又∵OC＝OD，OC＝OB，
∴∠D＝∠OCD，∠B＝∠OCB，
又∵∠D＝∠B，
∴∠OCD＝∠OCB＝∠DCB＝×32°＝16°，
∴∠B＝16°，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，连接OC正确作出辅助线结合圆周角定理是解题关键．
10．C
【分析】直接利用圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵ ∠BAC=∠BOC ， ∠BOC=110° ，
∴ ∠BAC=55° ．
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理．圆周角定理 “一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”是解答本题的关键．
11．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半进行解答即可．
【详解】解：∵∠ACB＝40°，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角和圆周角的关系，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解本题的关键．
12．25°
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠BDC=∠A=65°，由BD为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角得到∠BCD=25°，然后利用三角形内角定理即可计算出∠CBD的度数．
【详解】解：∵∠A=65°，
∴∠BDC=65°，
又∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠CBD=90°-65°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及三角形内角和定理．
13．
【分析】如图，由圆周角定理得到即可求出的度数.
【详解】解：∵在等边△ABC中,
∵BD是直径，
∴
∴
故答案为30.
【点睛】考查等边三角形的性质以及圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
14．80°
【详解】∵∠BAC=40°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°．
故答案为80°．
点睛：本题主要考查圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半.本题解题的重点在于准确找出弧BC所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，从而得到二者之间的数量关系∠BOC＝2∠BAC.
15．45°
【分析】首先连接OB，OC，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠BOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BEC的度数．
【详解】连接OB，OC．
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC∠BOC＝45°．
故答案为45°．
【点睛】本题考查了圆周角定理与圆的内接多边形的知识．此题难度不大，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
16．
【详解】∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，
∴；
因为OB、OC是⊙O的半径，
所以OB=OC，
所以=，
在中，若⊙O的半径OC为2，
OB=OC=2，
在中，BC=2=
【点睛】本题考查圆周角与圆心角、弦心距，要求考生熟悉圆周角与圆心角的关系，会求弦心距和弦长．
17．/度
【分析】确定圆心，以为圆心，为半径作，，即可求解．
【详解】解：如图，即为所求；

观察图象可知，，
圆中所对的圆心角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，正确的作出图形是解题的关键．
18．°
【分析】先由直径所对的圆周角为90°，可得：∠ADB=90°，根据同圆或等圆中，弦相等得到弧相等得到圆周角相等，得到∠A的度数，根据直角三角形的性质得到∠ABD的度数，即可得出结论．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°．
∵BD=CD，
∴弧BD=弧CD，
∴∠A=∠DBC=20°，
∴∠ABD=90° -20°=70°，
∴∠ABC=∠ABD-∠DBC=70°-20°=50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角为90°．
19．
【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得∠C=90°，由直角三角形的两锐角互余可求得∠A=68°，再根据圆周角定理的推论即可解答.
【详解】∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∵∠ABC=22°，
∴∠A=90°-∠ABC=68°；
∵∠DBC为所对的的圆周角，∠A为 所对的圆周角，D是的中点，
∴∠DBC=∠A=34°．
故答案为34.
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，熟练运用定理及推论是解决问题的关键.
20． 2
【分析】（1）设△AOB外接圆的圆心为M，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出圆心角即可求出圆的半径.
（2）若C在AB左侧时，此时OC最小，根据（1）的结论此时C、M重合故最小值可求，
若C在AB右侧时连接MC，利用三角形的三边关系，可得当O、M、C共线时OC最长.
【详解】（1）设△AOB外接圆的圆心为D
∵∠MON=30°
∴∠ADB=2∠MON=60°，
又∵DB=DA
∴△DAB为等边三角形
∴DB=DA=AB=2.
故答案为2.
（2）如图，连接OD，OC，CD
∵△ABC，△ABD是边长为2的等边三角形
∴
∵
∴OC最大值为
当点A与点O重合，或点B与点O重合，此时OC的值最小
∴OC=AB=2
所以
【点睛】此题考查的是（1）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半和等边三角形的判定；（2）最值问题与三角形的三边关系.
21．(1)作图见解析
(2)在圆上
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到；
（2）先利用圆周角定理的推论确定的外接圆的圆心为的中点，再利用勾股定理计算出，，然后根据点与圆的位置关系判断点与过，，三点的圆的位置关系．
【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）由（1）可知：，，
∴为等腰直角三角形，
∴的外接圆的圆心为的中点，
又∵网格中的小正方形的边长为，
∴，
，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在过，，三点的圆上，
故答案为：在圆上．

【点睛】本题考查作图—旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系．掌握点和圆的位置关系是解题的关键．
22．见解析
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据垂线平分线的定义与性质得出，然后根据等边三角形的判定与性质得出，从而可得，最后根据圆心角定理即可得证．
【详解】如图，连接OE、CE
∵
∴
又∵D是OC中点
∴DE是OC的垂直平分线
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆心角定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，根据圆心角定理，将所要证问题转化为证明相应的圆心角之间的等量关系是解题关键．
23．(1)图见解析
(2)①证明见解析②
【分析】（1）根据勾股定理求出，，，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质求解，确定点位置作图即可；
（2）①证明，即可得证；②根据，得，过点作于点，易得，进而得到，即可得解．
【详解】（1）解：由图可知，，，，
∴，
∴，
∵四边形是以为“相似对角线”的四边形，
①当时，或，
∴或，
∴或
同理：当时，或；
作图如下：
（2）①证明：∵点E是的中点，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是四边形的“相似对角线”
②解：∵，
∴，
∴，
过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，圆内接四边形，解直角三角形．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据是⊙O的直径，可得，根据等腰三角形的三线合一的性质可得，进而圆周角定理即可求证结论 ；
（2）连接，易得是半径，，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，进而即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
∵是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图2所示：
∵是⊙O的直径，
∴是半径，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
25．(1) 是，详见解析； (2) 45°
【分析】（1）利用勾股定理以及“勾系一元二次方程”的定义即可解决问题．
（2）如图中，连接OC，OB，作OE⊥CD于E，EO的延长线交AB于F．利用全等三角形的性质证明∠COB=90°即可解决问题．
【详解】（1）解：方程x2+2x+1=0是“勾系一元二次方程”．理由如下：
由方程x2+2x+1=0可知：a=1，b=1，c=√2，
∵a，b，c构成直角三角形，
∴方程x2+2x+1=0是“勾系一元二次方程”．
（2）如图，连接OC，OB，作OE⊥CD于E，EO的延长线交AB于F．
∵关于x的方程ax2+5x+b=0是“勾系一元二次方程”，
∴a，b，5构成直角三角形，5是斜边，
∴a2+b2=52
∵AB∥CD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴∠OEC=∠OFB=90°，
∴CE2+OE2=OC2，OF2+BF2=OB2，DE=EC=b，BF=AF=a，
∵OC=OB=5，
∴OE=a，OF=b，
∴CE=OF，OE=BF，
∴△OEC≌△BFO（SSS），
∴∠EOC=∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF=90°，
∴∠EOC+∠BOF=90°，
∴∠COB=90°，
∴∠CAB=∠COB=45°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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