清源自然双语高级中学2023-2024学年高三上学期期中考试
数学答案
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
13.
14.
15.
16.
17. 解：因为向量与平行，
所以，由正弦定理可知：，因为，
所以，可得；
，，由余弦定理可得：，可得，解得，
的面积为：．
18. 证明：如图，连接，
因为，分别是，的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
则，
又平面，不在平面内，
所以平面．
解：连接，设点到平面的距离为．
，
在中，，，
．
又因为，
所以，
解得．
19. 解：设的公差为，则由已知条件得 ，，
化简得，，解得，，
故的通项公式，即．
由得，设的公比为，则，从而，则，
，
数列的前项和．
．
．
20. 解：当时，，所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
由题意可知，函数的定义域为，
所以．
设，则．
令，则，解得或舍．
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以，所以，
所以，即，
所以函数的单调递增区间为．
21. 解：Ⅰ设抽取的箱西梅恰有箱是一等品为事件，
则
所以从这箱中任取箱，恰好有箱是一等品的概率为；
Ⅱ以这箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，
则抽到一等品的概率为，
若从这一批西梅中随机抽取箱，表示抽到一等品的箱数，
的所有可能取值为，，，，且，
，，
，，
的分布列为：
的期望为：．
22. 解：Ⅰ椭圆：过点，且，
则，解得，，
椭圆方程为．
Ⅱ由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为，
由，消去整理可得，
，解得，
设，，
，，
则直线的方程为，直线的方程为，
分别令，
可得，
，
将和代入上式整理可得，
，
故．
化简整理即可得出结论．清源自然双语高级中学2023-2024学年高三上学期期中考试
数学学科试题
本试卷共2页22 题。全卷满分150分，考试时长120分钟
★祝考试顺利★
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.记等差数列的前项和为，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则的增区间为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，则的值是( )
A. B. C. D.
8.记，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. 抽样调查具有花费少、效率高的特点
B. 数据，，，，，的中位数为，众数为和
C. 极差和标准差都能描述一组数据的离散程度
D. 数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
10.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数单位：辆上班高峰期某十字路口的车流量由函数给出，的单位是，则下列时间段中车流量是增加的是( )
A. B. C. D.
12.若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，，都有，则下列说法正确的是( )
A. 一定为正数
B. 是的一个周期
C. 若，则
D. 若在上单调递增，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________．
14.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、三个贫困县的调研工作，每个县至少去人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有______ 种用数字作答
15.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是______ ．
16.疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校早上开校门，此时刻没有学生，一分钟后有名学生到校，以后每分钟比前一分钟少到人校门口的体温自动检测棚每分钟可检测人，为了减少排队等候的时间，校门口临时增设一个人工体温检测点，人工每分钟可检测人，则人工检测 分钟后校门口不再出现排队等候的情况．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.本小题分的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．求；若，，求的面积．
18.本小题分如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点．
证明：直线平面．
求点到平面的距离．
19.本小题分已知等差数列满足，前项和．
求的通项公式；
设等比数列满足，，求数列的前项和．
20.本小题分已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若，求函数的单调区间．
21.本小题分西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了箱西梅，其中有箱测定为一等品．
1现从这箱中任取箱，求恰好有箱是一等品的概率
2以这箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望．
22.本小题分已知椭圆：过点，且．
1求椭圆的方程；
2过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，求的值．
