数学答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
因此，.
故选：C.
2. 已知复数满足，则的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知，利用复数的除法，求出，得到，可知的虚部.
【详解】复数满足，则，
所以，的虚部为.
故选：A
3. 等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（）
A. 5 B. 10 C. 20 D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】由对数运算法则，等比数列的性质求解．
【详解】是等比数列，则，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10．
故选：C．
4. 已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则（）
A. 9 B. 15 C. 17 D. 33
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的单调性可得，进而根据的单调性即可求解，进而可得，代入即可求解.
【详解】因为是R上的单调函数，
所以存在唯一的，使
由方程，得，则，
所以
设，由于均为定义域内的单调递增函数，
所以在R上是增函数，且3，所以，
所以，故
故选：C
5. 已知是偶函数，且对任意，，设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得偶函数在上为增函数，可将问题转化为判断到y轴的距离的大小问题求解．
【详解】∵对任意，，
∴函数在上为增函数．
又函数为偶函数，
∴在上单调递减，在上单调递增．
又，
∴，即．
故选B．
【点睛】已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．
6. 如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解.
【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，
因为与的面积之比为2，则，
当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为；
当点与点重合时，可得，
此时，即，此时为最大值为，
所以的取值范围为.
故选：C.
7. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据在上递增，利用同构法求解即可．
【详解】解：构造，
则在上显然递增，
由得
，
即，
，
，
令，
则，
由得，递增，
由得，递减，
，
．
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是看到“指对跨阶”要想到同构，同构后有利于减少运算，化烦为简．
8. 已知函数的一个对称中心为，若函数在上单调递减，则可取（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数的性质，求得，再由在上单调递减，得到，结合选项，即可求解.
【详解】由函数的一个对称中心为，
可得，则，解得，
因为，所以，所以，
所以
当，
因为在上单调递减，
则，解得，
结合选项，只有A选项，符合题意.
故选：A.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（）
A. 若，则△ABC一定是等边三角形
B. 若，则△ABC一定是等腰三角形
C. 是成立的充要条件
D. 若，则△ABC一定是锐角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正弦定理和三角变换公式可判断ABC的正误，根据余弦定理可判断D的正误.
【详解】对于A，由正弦定理可得，
故，而为三角形内角，故，
故三角形为等边三角形，故A正确.
对于B，由正弦定理可得，
故，故或，
而，
故或即或，
故三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误.
对于C，等价于，而后者等价于，即，
其中为三角形外接圆半径，故的充要条件为，故C正确.
对于D，由可得，故为锐角，
但不能保证三角形为锐角三角形，故D错误.
故选：AC.
10. 若函数，则（）
A. B. 有两个极值点
C. 曲线的切线的斜率可以为 D. 点是曲线的对称中心
【答案】BD
【解析】
【分析】A项，求导赋值可得；B项，利用导函数研究单调性再求极值；C项，研究导函数值域即可；D项，证明.
【详解】选项A，由题意得，
所以，解得，A错误；
选项B，由，则，
，由得，或，
则当或时，；
当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，有极大值；当时，有极小值.
所以有两个极值点，B正确；
选项C，，
所以曲线的切线的斜率不可能为，C错误；
选项D，因为
,
所以点是曲线的对称中心，D正确.
故选：BD.
11. 已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（）
A. B. .
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】将用代入已知等式可构造方程组得到，由此可得关于对称；结合为偶函数可推导得到是周期为的周期函数，则可得C正确；令，代入中即可求得A正确；令，由可推导得到D正确；设，由可知，结合可知，由此可得，知B错误.
【详解】由得：，
，关于中心对称，则，
为奇函数，，左右求导得：，
，为偶函数，图象关于轴对称，
，
是周期为的周期函数，
，C正确；
，，又，
，A正确；
令，则，，
又，，，
即，D正确；
，，
设，则，，
又为奇函数，，，
即，B错误.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：
①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；
②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.
12. 已知函数，则（）
A. 是的极大值点
B. 有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得对于任意成立
D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用导数，根据极值点、零点、不等式恒成立、构造函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，定义域为，
，
所以在区间上，单调递减；
在区间上，单调递增.
所以是的极小值点，A选项错误.
设
，
所以在上单调递减，，
所以存在唯一零点，且，B选项正确.
C选项，由对于任意成立，
即对于任意成立，
构造函数，
令，
所以在区间上单调递增；
在区间上单调递减，
所以，所以，
所以在上单调递减，没有最小值，
且，
所以不存在正实数，使得恒成立，所以C选项错误.
D选项，令，则，
令，
，
所以在上单调递减，则，
则，令，由，
且函数在上单调递增，得，
则，当时，成立，
所以D选项正确.
故选：BD
【点睛】利用导数求解函数的极值点，主要是利用导数求函数的单调区间，从而求得函数的极值点.利用导数研究函数的零点，除了利用导数求得函数的单调区间外，还可结合零点存在性定理来进行求解.利用导数求解函数单调性的过程中，若一次求导无法得到答案，可考虑多次求导的方法来进行求解.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知是定义在R上的可导函数，若，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据导数的定义计算可得结果.
【详解】由导数的定义，可得.
故答案为：
14. 已知等比数列前项和（其中.则的最小值是__________.
【答案】4
【解析】
【分析】由等比数列{an}前n项和可得，再利用基本不等式可得答案.
【详解】因为等比数列{an}前n项和，
∴，
，
∴，
，
又，∴，即，，
∴，
当且仅当时取等号.
故答案为：4.
15. 定义在上的可导函数满足：且，则的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，求得，得到在上单调递减，结合，得不等式的解集，进而得到不等式的解集.
【详解】根据题意，由，可得，
设，可得，则在上单调递减，
又由，可得，
当时，可得；当时，可得，
当时，不等式的解集与的解集相同，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
16. 已知函数，若任意，存在，满足，则实数t的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由，求得，根据题意得到，再由，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】由，可得，则，
可得，即，
因为任意，存在，满足，
是值域的子集，
因为，可得，则，
则满足，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数
（1）的单调区间.
（2）求函数在区间上的最大、最小值.
【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增
（2）最小值为，最大值为.
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可；
（2）利用函数在的单调递增可得.
【小问1详解】
函数定义域为，，
当时，，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增.
综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【小问2详解】
由（1）可知函数在上单调递增，
故在处取最小值为，
在处取最大值为.
18. 已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：
（1）求角A的大小；
（2）求边中线长的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果；
（2）由平面向量可知，两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得出结果.
【小问1详解】
，由余弦定理可得，即，
由正弦定理可得，
，.
，即，又，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，的面积为，
所以，解得.
由平面向量可知，所以
，
当且仅当时取等号，
故边中线的最小值为.
19. 已知数列满足：.
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】（1）利用与的关系，即可求出的通项公式；
（2），利用分组求和即可求出数列的前项和.
【详解】解：（1）当时，，
当时，，①
，②
①-②得，
，
当时，满足通项公式，
，.
（2），
，.
20. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求整数a的最大值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式求切线方程；
（2）时，不等式恒成立；当时，不等式等价于，设，利用导数求的最小值，可求整数a的最大值．
【小问1详解】
若，则，，则切点坐标为，
，则切线斜率，
所以切线方程为，即．
【小问2详解】
由，得，
当时，，；
当时，，
设，，
设，，
则在单调递增，
，，所以存在使得，即．
时，，即；时，，即，
则有在单调递减，在单调递增，，
所以，
因为，所以，所以整数a的最大值为4．
【点睛】方法点睛：
不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
21. 已知函数有两个不同的零点，.
（1）求的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由分离常数，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
（2）由整理得，利用换元法表示，通过构造函数法，利用导数证得，结合（1）求得取值范围.
【小问1详解】
的定义域为.
令，得，
令，则，
令，可得，
当时，；
当时，.
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以，
当x趋近于0时，y趋近于；
当x趋近于时，y趋近于，
所以.
【小问2详解】
，
两式相减，得
令，则，
故，
记，
则，
构造函数，
，所以在上递减，
由于，
所以当时，，
所以，
所以函数在区间上单调递减，
故，
即，而，
在区间上单调递减，
故，
即.
【点睛】根据函数的零点个数来求参数的取值范围，可采用导数来进行研究，具体步骤是：首先令，然后分离参数，接着构造函数，然后利用导数研究所构造的函数，再结合零点个数来求得参数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；
（2）设数列，其前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，求得不同情况下函数的单调性和值域，即可求得参数范围；
（2）根据（1）中所求得到，再利用累加法即可容易证明.
【详解】（1）因为，故可得
当时，方程的，
故因式在区间恒为负数，
故时，恒成立，故单调递减，
又，故在时恒成立，满足题意；
当时，方程有两个不相等的实数根，
且.
故在区间恒成立，此时单调递增；
又，故在恒成立，不满足题意；
当时，，
函数在恒为正值，故在恒成立，不满足题意.
综上所述，，
故的最小值为.
（2）由（1）可知，当时，
若，，
即恒成立，
把换成，可得成立，
即，
以此类推，
，
累加可得.
又，
故.即证.
【点睛】本题考查利用导数由恒成立问题求参数范围，涉及利用导数证明不等式，属综合困难题.
1数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的虚部为（）
A. B. C. D.
3. 等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（）
A. 5 B. 10 C. 20 D. 40
4. 已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则（）
A. 9 B. 15 C. 17 D. 33
5. 已知是偶函数，且对任意，，设，，，则（）
A. B. C. D.
6. 如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8. 已知函数的一个对称中心为，若函数在上单调递减，则可取（）
A. B. C. 1 D. 2
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（）
A. 若，则△ABC一定是等边三角形
B. 若，则△ABC一定是等腰三角形
C. 是成立的充要条件
D. 若，则△ABC一定是锐角三角形
10. 若函数，则（）
A. B. 有两个极值点
C. 曲线的切线的斜率可以为 D. 点是曲线的对称中心
11. 已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（）
A. B. .
C. D.
12. 已知函数，则（）
A. 是的极大值点
B. 有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得对于任意成立
D. 若，，则
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知是定义在R上的可导函数，若，则______.
14. 已知等比数列前项和（其中.则的最小值是__________.
15. 定义在上的可导函数满足：且，则的解集为______.
16. 已知函数，若任意，存在，满足，则实数t的取值范围是______．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数
（1）的单调区间.
（2）求函数在区间上的最大、最小值.
18. 已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：
（1）求角A的大小；
（2）求边中线长的最小值.
19.已知数列满足：.
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
20. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求整数a最大值．
21. 已知函数有两个不同的零点，.
（1）求取值范围；
（2）若，求实数取值范围.
22. 已知函数.
（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；
（2）设数列，其前项和为，证明：.
1
