广东省深圳市福田区红岭教育集团2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·黑龙江）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·福田开学考）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2－4x＋4＝x（x－4）＋4 B．（x＋1）2＝x2＋2x＋1
C．x2－4＝（x＋2）（x－2） D．15x5＝3x2 5x3
3．（2023九上·福田开学考）用配方法解方程x2－4x－10＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x＋2）2＝14 B．（x＋2）2＝6
C．（x－2）2＝14 D．（x－2）2＝6
4．（2023九上·福田开学考）一元二次方程－x2＋2x－1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2023九上·福田开学考）一次函数y1＝kx＋b和y2＝2x的图象如图所示，则kx＋b≥2x的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≤2 C．x＜1 D．x≤1
6．（2023九上·福田开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°
7．（2023九上·福田开学考）某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（ ）
A．4.8cm B．9.6cm C．5cm D．10cm
9．（2023九上·福田开学考）已知关于x的分式方程＝4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥－4 B．a＞－4
C．a≥－4且a≠－1 D．a＞－4且a≠－1
10．（2023九上·福田开学考）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；
②△EOF≌△BOC；③DF2＋BE2＝2OE2；④正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023九上·福田开学考）因式分解：2x3－18x＝ ．
12．（2023九上·福田开学考）已知方程2x2－mx＋3＝0的一个根是－1，则m的值是 ．
13．（2019八下·渭滨期末）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为
14．（2023九上·福田开学考）如图，在周长为32的平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 ．
15．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
三、解答题（共55分）
16．（2023九上·福田开学考）解方程：
（1）（x－1）2＝3（x－1）；
（2）x2－4x＋1＝0．
17．（2023九上·福田开学考）
（1）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）先化简，再求值：，其中a＝－2．
18．（2023九上·福田开学考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 ．
19．（2023九上·福田开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
20．（2023八下·深圳期末）某服装店老板用4000元购进了一批甲款恤，用8800元购进了一批乙款恤，已知所购乙款恤数量是甲款恤数量的2倍，购进的乙款恤单价比甲款恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种恤的标价都定为每件100元，甲款恤打九折销售，乙款恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款恤至少要销售多少件？
21．（2023九上·福田开学考）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交B′E′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
22．（2023九上·福田开学考）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE，则DE与BC的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）问题探究
如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；
（3）问题解决
如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝20米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、即是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A.x2-4x+4=（x-2）2，故A不符合题意；
B.不是因式分解，故B不符合题意；
C.符合题意；
D.不能因式分解，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解步骤：一提公因式，二套用公式（①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），②完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2），三检查：分解是否彻底，因式分解的最终形式是整式的乘积的形式，判断即可.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得：，
配方得：，
整理得：；
故答案为：C.
【分析】按配方法步骤：移项，配方（方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边是一个完全平方式，右边是常数），即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：a=-1，b=2，c=-1，
则，
∴方程有两个相等的实数根；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式判定即可；
，方程有两个不相等的实数根；
，方程有两个相等的实数根；
，方程无实数根.
5．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由题图可知，一次函数y1＝kx＋b和y2＝2x的交点为（1，2），
由于kx＋b≥2x，即y1＞y2，
由图象可知，当x≤1时，y1＞y2；
故答案为：D.
【分析】利用函数图象，写出直线y1＝kx＋b在直线y2＝2x的上方对应的自变量的范围即可.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A.若a＞b，则1－2a＜1－2b，故A不符合题意；
B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边的高重合，故B不符合题意；
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，故C不符合题意；
D.一个正多边形的内角和为720°，则该多边形的边数为，则这个正六边形的一个外角等于，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和多边形的内角和外角逐一判断即可.
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙的进价为x元，则甲的进价为（x+50）元，
则由题意可列方程为：；
故答案为：C.
【分析】根据总钱数=进价×数量，及乙的件数比甲多20件，可列出相应的等量关系方程.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm
∴，，AC⊥BD，
，
由勾股定理得，
由可得，
CE=4.8cm；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质及勾股定理可计算出AB的长度、菱形的面积，即可计算CE的长度.
9．【答案】C
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，
x+3a=4（x-3），
解得x=a+4，
∵方程的解为非负数，
∴x=a+4≥0且x-3≠0，
∴a≥-4且a≠-1，
故答案为：C.
【分析】解出分式方程，根据解为非负数可列出关于a的不等式，解出即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，OC = OD，
∠COD= 90°，∠ODC=∠OC'B = 45°，∠EOF= 90° ，
∵∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF (ASA)，故①正确，
在正方形ABCD中，OF≠OD即OF≠OB，所以△EOF不全等于△BOC，故②错误；
∵△COE≌△DOF，
∴CE= DF，OE= OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC= CD，
∴BE=CF，
在Rt△ECF中，CE2 +CF2= EF2，
∵∠FOE=90°，
∴OE2 +OF2= EF2，
又OE= OF，
∴2OE2=EF2 ，
∴DF2+BE2=CE2+CF2=2OE2，
故③正确；
由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD 面积相等，
∴正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④；
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理逐一分析即可得出正确答案.
11．【答案】2x（x＋3）（x－3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】根据因式分解步骤：一提公因式，二套用公式（①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），②完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2），三检查：分解是否彻底，即可得出结果.
12．【答案】－5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=-1代入方程2x2-mx+3=0得，
2+m+3=0，
解得m=-5；
故答案为：-5.
【分析】直接将-1代入方程即可求出m的值.
13．【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母得2-(x-a)=7(x-5)
因为关于x的分式方程 有增根 ，
所以x-5=0，解得x=5，
把x=5代入得2-（5-a）=0，解得a=3.
故答案为：3.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根及分式方程的增根就是使分式方程的最简公分母为0的根，且分式方程的增根又是将分式方程去分母得到的整式方程的根即可解决问题.
14．【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ，且周长为32，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∴AB+AD=16，
∵ OE⊥BD ，
∴BE=ED，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD=16；
故答案为：16.
【分析】根据平行四边形的性质得出两组对边相等，对角线互相平分，再根据 OE⊥BD 可得OE是BD的垂直平分线，进而可得BE=ED，则可将△ABE的周长转化为AB+AD，即可计算.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，
∵G， H分别为AE，EF的中点，
∴，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF=6，
∵∠B= 45°，
∴∠BAF= 45°，
∴BF= AF= 6，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴. BC=AB=；
故答案为：.
【分析】连接AF，利用中位线的性质GH =二AF，要使GH最小，只要AF最小，当AF⊥BC时，AF最小为6，由∠B = 45° 确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF= 6，由勾股定理得：AB2=BF2+AF2求出BC即可.
16．【答案】（1）解：∵（x－1）2＝3（x－1），
∴（x－1）2－3（x－1）＝0，
∴（x－1）（x－1－3）＝0，
∴（x－1）（x－4）＝0，
∴x－1＝0或x－4＝0，
x1＝4，x2＝1．
（2）解：∵x2－4x＋1＝0，
∴a＝1，b＝－4，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×1＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
即，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法：移项，提公因式，列出两个一元一次方程，解方程即可；
（2）用公式法：先判定，再用求根公式解方程即可.
17．【答案】（1）解：解不等式①得，x≥－1，
解不等式②得，x＞0，
所以不等式组的解集为x＞0．
这个不等式组的解集在数轴上表示如图：
（2）解：
＝
＝
＝
＝－2（a＋3）
＝－2a－6，
当a＝－2时，原式＝－2×（－2）－6＝－2．
【知识点】分式的化简求值；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解出两不等式，根据大大取大即可写出不等式的解集并表示出来；
（2）先将括号里通分，再将除法转化为乘法，即可约分化简，再将a的值代入即可计算.
18．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求；
（3）（－3，0）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】（3）根据图形可知，旋转中心的坐标为（-3，0）；
故答案为：（-3，0）
【分析】(1 )利用平移变换的性质分别作出A，B， C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用中心对称的性质画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2即可；
(3) )利用旋转变换的性质分别作出A，B， C的对应点A2，B2，C2即可.
19．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴OE==OA＝4．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1) 先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
(2) 先判断出OE=OA=OC，再求出OB=3，利用勾股定理求出OA，即可得出结论.
20．【答案】（1）解：设甲款T恤单价为元，则乙款T恤单价为元
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
∴
答：甲款恤单价为50元，乙款恤单价为55元；
（2）解：依题意得：甲售价（元/件）
设销售乙款T恤件
依题意得：
解得：
∴乙款T恤至少要销售40件
答：乙款恤至少要销售40件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍；购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元；这里包含两个数量关系，再设未知数，列方程，然后求解即可.
（2）根据题意求出甲售价，设销售乙款T恤a件，根据题意可得到关于a的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可.
21．【答案】（1）解：∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝2，
由旋转的性质得：AB'＝AB＝2，
∴CB′＝AC－AB'＝2－2；
（2）解：①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝180°－90°＝90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE'＝AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：
则∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG＋∠BCG＝∠CBG＋∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE－BG＝4－2＝2，
∴CE＝＝＝2；
（3）解：∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′，
∴当α＝0°时，E'与E重合，CE'最短＝2；
当E‘落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长＝AC＋AE'＝2＋2，
∴线段CE′长度的取值范围是2≤CE'≤2＋2．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算AB的长度，再根据正方形的性质可得出AB，AC的长度，再由旋转性质得出AB'的长度，继而可求CB′的长度；
（2）①由旋转的性质得AE=AE′，∠EAE′==90°， ∠AED=∠AEB=90°，再证四边形AEFE′是矩形，即可得出结论；
②过点C作CG⊥BE于点G，证△BCG≌△ABE (AAS)， 得CG =BE=4， BG=AE=2，则EG = BE-BG =2，再由勾股定理求解即可；
(3)当= 0°时，E′与E重合，CE最短=，当E落在CA的延长线上时，AE'=AE=2， CE最长=AC+AE=，即可得出答案.
22．【答案】（1）；DE∥BC
（2）解：如图，取AC的中点F，连接EF、BF，
∵E、F分别是AD和AC的中点，∴EF为△ADC的中位线，
∴EF∥DC且EF＝CD＝×4＝2，
在Rt△ABF中，AB＝4，AF＝AC＝2：BF＝＝2；
在△BEF中，BF＋EF＞BE，
∴当B、E、F三点共线的时候BE最大，
即此时BE＝BF＋EF＝2＋2，
答：BE的最大值为2＋2；
（3）解：过C作CM⊥AB于M点，在AD上截取DN使DN＝BM，连接BN，取CN中点P，连接DP．OP，
∵CM⊥AB，AB∥CD，
∴∠CMA＝∠MCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCM为矩形，
∵AD＝CD．∴矩形ADCM为正方形，∴CD＝CM，
在△CMB与△CDN中，，
∴△CMB≌△CDN（SAS），
∴CN＝CB，∠BCM＝∠NCD，
∴∠BCN＝∠MCD＝90°，
在Rt△BCN中，BC＝CN＝20，
∴BN＝＝20，
在Rt△CDN中，点P为CN中点，∴DP＝CN＝10，
在Rt△BCN中，点P、O分别为CN、CB中点，
∴OP为△BCN的中位线，
∴OP∥BN且OP＝BN＝10，
在△OPD中，OP＋PD＞OD，∴当O、P．D三点共线的时OD最大，
即此时OD＝OP＋PD＝10＋10，
答：绿色长廊OD最长为（10＋10）米．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是的中位线，
∴DE∥BC 且；
故答案为：； DE∥BC .
【分析】(1)根据中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，即可得出答案；
(2)取AC的中点F，连接EF、BF，由图可知，当B、E、F三点共线的时候BE最大，根据中位线可得出EF的长度，根据勾股定理可得BF的长度，即可得出BE的最大值；
(3)过C作CM⊥AB于M点，在AD上截取DN使DN=BM，连接BN，取CN中点P，连接DP、OP，可证得ADCM为正方形，再由正方形的性质通过SAS证明△CMB≌△CDN，证得△BCN为等腰直角三角形，进而得出BN的长度，再根据中位线定理可得出OP的长度，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出DP的长度，与（2）同理可得OD最大值，即可得出答案.
1 / 1广东省深圳市福田区红岭教育集团2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·黑龙江）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、即是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
2．（2023九上·福田开学考）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2－4x＋4＝x（x－4）＋4 B．（x＋1）2＝x2＋2x＋1
C．x2－4＝（x＋2）（x－2） D．15x5＝3x2 5x3
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A.x2-4x+4=（x-2）2，故A不符合题意；
B.不是因式分解，故B不符合题意；
C.符合题意；
D.不能因式分解，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解步骤：一提公因式，二套用公式（①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），②完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2），三检查：分解是否彻底，因式分解的最终形式是整式的乘积的形式，判断即可.
3．（2023九上·福田开学考）用配方法解方程x2－4x－10＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x＋2）2＝14 B．（x＋2）2＝6
C．（x－2）2＝14 D．（x－2）2＝6
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得：，
配方得：，
整理得：；
故答案为：C.
【分析】按配方法步骤：移项，配方（方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边是一个完全平方式，右边是常数），即可得出答案.
4．（2023九上·福田开学考）一元二次方程－x2＋2x－1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：a=-1，b=2，c=-1，
则，
∴方程有两个相等的实数根；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式判定即可；
，方程有两个不相等的实数根；
，方程有两个相等的实数根；
，方程无实数根.
5．（2023九上·福田开学考）一次函数y1＝kx＋b和y2＝2x的图象如图所示，则kx＋b≥2x的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≤2 C．x＜1 D．x≤1
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由题图可知，一次函数y1＝kx＋b和y2＝2x的交点为（1，2），
由于kx＋b≥2x，即y1＞y2，
由图象可知，当x≤1时，y1＞y2；
故答案为：D.
【分析】利用函数图象，写出直线y1＝kx＋b在直线y2＝2x的上方对应的自变量的范围即可.
6．（2023九上·福田开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A.若a＞b，则1－2a＜1－2b，故A不符合题意；
B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边的高重合，故B不符合题意；
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，故C不符合题意；
D.一个正多边形的内角和为720°，则该多边形的边数为，则这个正六边形的一个外角等于，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和多边形的内角和外角逐一判断即可.
7．（2023九上·福田开学考）某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙的进价为x元，则甲的进价为（x+50）元，
则由题意可列方程为：；
故答案为：C.
【分析】根据总钱数=进价×数量，及乙的件数比甲多20件，可列出相应的等量关系方程.
8．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（ ）
A．4.8cm B．9.6cm C．5cm D．10cm
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm
∴，，AC⊥BD，
，
由勾股定理得，
由可得，
CE=4.8cm；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质及勾股定理可计算出AB的长度、菱形的面积，即可计算CE的长度.
9．（2023九上·福田开学考）已知关于x的分式方程＝4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥－4 B．a＞－4
C．a≥－4且a≠－1 D．a＞－4且a≠－1
【答案】C
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，
x+3a=4（x-3），
解得x=a+4，
∵方程的解为非负数，
∴x=a+4≥0且x-3≠0，
∴a≥-4且a≠-1，
故答案为：C.
【分析】解出分式方程，根据解为非负数可列出关于a的不等式，解出即可.
10．（2023九上·福田开学考）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；
②△EOF≌△BOC；③DF2＋BE2＝2OE2；④正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，OC = OD，
∠COD= 90°，∠ODC=∠OC'B = 45°，∠EOF= 90° ，
∵∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF (ASA)，故①正确，
在正方形ABCD中，OF≠OD即OF≠OB，所以△EOF不全等于△BOC，故②错误；
∵△COE≌△DOF，
∴CE= DF，OE= OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC= CD，
∴BE=CF，
在Rt△ECF中，CE2 +CF2= EF2，
∵∠FOE=90°，
∴OE2 +OF2= EF2，
又OE= OF，
∴2OE2=EF2 ，
∴DF2+BE2=CE2+CF2=2OE2，
故③正确；
由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD 面积相等，
∴正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④；
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理逐一分析即可得出正确答案.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023九上·福田开学考）因式分解：2x3－18x＝ ．
【答案】2x（x＋3）（x－3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】根据因式分解步骤：一提公因式，二套用公式（①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），②完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2），三检查：分解是否彻底，即可得出结果.
12．（2023九上·福田开学考）已知方程2x2－mx＋3＝0的一个根是－1，则m的值是 ．
【答案】－5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=-1代入方程2x2-mx+3=0得，
2+m+3=0，
解得m=-5；
故答案为：-5.
【分析】直接将-1代入方程即可求出m的值.
13．（2019八下·渭滨期末）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为
【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母得2-(x-a)=7(x-5)
因为关于x的分式方程 有增根 ，
所以x-5=0，解得x=5，
把x=5代入得2-（5-a）=0，解得a=3.
故答案为：3.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根及分式方程的增根就是使分式方程的最简公分母为0的根，且分式方程的增根又是将分式方程去分母得到的整式方程的根即可解决问题.
14．（2023九上·福田开学考）如图，在周长为32的平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 ．
【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ，且周长为32，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∴AB+AD=16，
∵ OE⊥BD ，
∴BE=ED，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD=16；
故答案为：16.
【分析】根据平行四边形的性质得出两组对边相等，对角线互相平分，再根据 OE⊥BD 可得OE是BD的垂直平分线，进而可得BE=ED，则可将△ABE的周长转化为AB+AD，即可计算.
15．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，
∵G， H分别为AE，EF的中点，
∴，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF=6，
∵∠B= 45°，
∴∠BAF= 45°，
∴BF= AF= 6，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴. BC=AB=；
故答案为：.
【分析】连接AF，利用中位线的性质GH =二AF，要使GH最小，只要AF最小，当AF⊥BC时，AF最小为6，由∠B = 45° 确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF= 6，由勾股定理得：AB2=BF2+AF2求出BC即可.
三、解答题（共55分）
16．（2023九上·福田开学考）解方程：
（1）（x－1）2＝3（x－1）；
（2）x2－4x＋1＝0．
【答案】（1）解：∵（x－1）2＝3（x－1），
∴（x－1）2－3（x－1）＝0，
∴（x－1）（x－1－3）＝0，
∴（x－1）（x－4）＝0，
∴x－1＝0或x－4＝0，
x1＝4，x2＝1．
（2）解：∵x2－4x＋1＝0，
∴a＝1，b＝－4，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×1＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
即，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法：移项，提公因式，列出两个一元一次方程，解方程即可；
（2）用公式法：先判定，再用求根公式解方程即可.
17．（2023九上·福田开学考）
（1）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）先化简，再求值：，其中a＝－2．
【答案】（1）解：解不等式①得，x≥－1，
解不等式②得，x＞0，
所以不等式组的解集为x＞0．
这个不等式组的解集在数轴上表示如图：
（2）解：
＝
＝
＝
＝－2（a＋3）
＝－2a－6，
当a＝－2时，原式＝－2×（－2）－6＝－2．
【知识点】分式的化简求值；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解出两不等式，根据大大取大即可写出不等式的解集并表示出来；
（2）先将括号里通分，再将除法转化为乘法，即可约分化简，再将a的值代入即可计算.
18．（2023九上·福田开学考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 ．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求；
（3）（－3，0）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】（3）根据图形可知，旋转中心的坐标为（-3，0）；
故答案为：（-3，0）
【分析】(1 )利用平移变换的性质分别作出A，B， C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用中心对称的性质画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2即可；
(3) )利用旋转变换的性质分别作出A，B， C的对应点A2，B2，C2即可.
19．（2023九上·福田开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴OE==OA＝4．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1) 先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
(2) 先判断出OE=OA=OC，再求出OB=3，利用勾股定理求出OA，即可得出结论.
20．（2023八下·深圳期末）某服装店老板用4000元购进了一批甲款恤，用8800元购进了一批乙款恤，已知所购乙款恤数量是甲款恤数量的2倍，购进的乙款恤单价比甲款恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种恤的标价都定为每件100元，甲款恤打九折销售，乙款恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款恤至少要销售多少件？
【答案】（1）解：设甲款T恤单价为元，则乙款T恤单价为元
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
∴
答：甲款恤单价为50元，乙款恤单价为55元；
（2）解：依题意得：甲售价（元/件）
设销售乙款T恤件
依题意得：
解得：
∴乙款T恤至少要销售40件
答：乙款恤至少要销售40件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍；购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元；这里包含两个数量关系，再设未知数，列方程，然后求解即可.
（2）根据题意求出甲售价，设销售乙款T恤a件，根据题意可得到关于a的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可.
21．（2023九上·福田开学考）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交B′E′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
【答案】（1）解：∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝2，
由旋转的性质得：AB'＝AB＝2，
∴CB′＝AC－AB'＝2－2；
（2）解：①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝180°－90°＝90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE'＝AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：
则∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG＋∠BCG＝∠CBG＋∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE－BG＝4－2＝2，
∴CE＝＝＝2；
（3）解：∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′，
∴当α＝0°时，E'与E重合，CE'最短＝2；
当E‘落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长＝AC＋AE'＝2＋2，
∴线段CE′长度的取值范围是2≤CE'≤2＋2．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算AB的长度，再根据正方形的性质可得出AB，AC的长度，再由旋转性质得出AB'的长度，继而可求CB′的长度；
（2）①由旋转的性质得AE=AE′，∠EAE′==90°， ∠AED=∠AEB=90°，再证四边形AEFE′是矩形，即可得出结论；
②过点C作CG⊥BE于点G，证△BCG≌△ABE (AAS)， 得CG =BE=4， BG=AE=2，则EG = BE-BG =2，再由勾股定理求解即可；
(3)当= 0°时，E′与E重合，CE最短=，当E落在CA的延长线上时，AE'=AE=2， CE最长=AC+AE=，即可得出答案.
22．（2023九上·福田开学考）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE，则DE与BC的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）问题探究
如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；
（3）问题解决
如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝20米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？
【答案】（1）；DE∥BC
（2）解：如图，取AC的中点F，连接EF、BF，
∵E、F分别是AD和AC的中点，∴EF为△ADC的中位线，
∴EF∥DC且EF＝CD＝×4＝2，
在Rt△ABF中，AB＝4，AF＝AC＝2：BF＝＝2；
在△BEF中，BF＋EF＞BE，
∴当B、E、F三点共线的时候BE最大，
即此时BE＝BF＋EF＝2＋2，
答：BE的最大值为2＋2；
（3）解：过C作CM⊥AB于M点，在AD上截取DN使DN＝BM，连接BN，取CN中点P，连接DP．OP，
∵CM⊥AB，AB∥CD，
∴∠CMA＝∠MCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCM为矩形，
∵AD＝CD．∴矩形ADCM为正方形，∴CD＝CM，
在△CMB与△CDN中，，
∴△CMB≌△CDN（SAS），
∴CN＝CB，∠BCM＝∠NCD，
∴∠BCN＝∠MCD＝90°，
在Rt△BCN中，BC＝CN＝20，
∴BN＝＝20，
在Rt△CDN中，点P为CN中点，∴DP＝CN＝10，
在Rt△BCN中，点P、O分别为CN、CB中点，
∴OP为△BCN的中位线，
∴OP∥BN且OP＝BN＝10，
在△OPD中，OP＋PD＞OD，∴当O、P．D三点共线的时OD最大，
即此时OD＝OP＋PD＝10＋10，
答：绿色长廊OD最长为（10＋10）米．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是的中位线，
∴DE∥BC 且；
故答案为：； DE∥BC .
【分析】(1)根据中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，即可得出答案；
(2)取AC的中点F，连接EF、BF，由图可知，当B、E、F三点共线的时候BE最大，根据中位线可得出EF的长度，根据勾股定理可得BF的长度，即可得出BE的最大值；
(3)过C作CM⊥AB于M点，在AD上截取DN使DN=BM，连接BN，取CN中点P，连接DP、OP，可证得ADCM为正方形，再由正方形的性质通过SAS证明△CMB≌△CDN，证得△BCN为等腰直角三角形，进而得出BN的长度，再根据中位线定理可得出OP的长度，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出DP的长度，与（2）同理可得OD最大值，即可得出答案.
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