广东省深圳市南山第二外国语学校集团2023-2024学年九年级上册数学开学考试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·南山开学考）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．－7 B．7 C．7或－7 D．49
3．（2023九上·南山开学考）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b＝2a 4ab
B．4my－2y＝2y（2m－1）
C．（m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2
D．a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1
4．（2023九上·南山开学考）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋c＜b＋c B．a－3＞b－3
C．am＞bm D．a（c2＋1）＜b（c2＋1）
5．（2023八下·福州期末）矩形不具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
6．（2023八下·顺德期末）如图，在中，，，，则与间的距离为（ ）
A．5 B．10 C． D．26
7．（2023八下·金牛期末）如图，在等腰中，，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·南山开学考）如图A，B的坐标分别为（－2，1），（0，－1）．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（a，3），（3，b），则a＋b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023九上·南山开学考）为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1280＋1280（1＋x）＋1280（1＋x）2＝6080
B．6080（1＋x）＋6080（1－x）2＝1280
C．1280（1＋x）2＝6080
D．6080（1－x）2＝1280
10．（2023九上·南山开学考）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．3－ B．2－ C．－1 D．2－2
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023九上·南山开学考）分解因式：4－4m＋m2＝ ．
12．（2023九上·南山开学考）关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为 ．
13．（2023九上·南山开学考）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝ ．
14．（2021八下·南浔期末）已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形 的边长及等腰三角形 、 的腰长都是定值且相等.如图2，载物台 到水平底座 的距离 为 ，此时 ；如图3，当 时，载物台 到水平底座 的距离 为 （结果精确到 ，参考数据： ， ）.
15．（2017九上·泰州开学考）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8 ，则另一直角边AE的长为 ．
三、解答题（共55分）
16．（2023九上·南山开学考）
（1）解不等式组：；
（2）解方程：x2－4x－7＝0．
17．（2023九上·南山开学考）先化简，再求值：，然后从－3，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（2023九上·南山开学考）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．
19．（2023九上·南山开学考）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）尺规作图：在AD的右侧作等边三角形ADE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，作AC边上的点F，且CF＝BD，连接BF，EF，请在图中找到一个与∠FBD相等的角，即∠FBD＝ ．
20．（2023九上·南山开学考）2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停患者．某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．
（1）该校第一次购置AED设备多少台？
（2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？
21．（2023九上·南山开学考）教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE＋PF的值为 ．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM＝13，CN＝5， PEQF的周长是否为定值？若是，请求出 PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE＋PF－PD＝3，请直接写出△ABC的面积．
22．（2023九上·南山开学考）
（1）【问题提出】
如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC＝2，点B到直线l的距离BD＝4，A、B两点的水平距离CD＝8，点P是直线l上的一个动点，则AP＋BP的最小值是 ；
（2）【问题探究】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，求GE＋CF的最小值；
（3）【问题解决】
如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小．
已测出∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，∠CPD＝75°，PC＝50m，PD＝40m，管理人员的想法能否实现，若能，请求出PM＋PN＋MN的最小值，若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图案不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图案不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图案是中心对称图形，故C符合题意；
D、此图案不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
2．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
，且7-x≠0，
则49-x2=0，
解得x=±7，且x≠7，
所以x=-7
故答案为：A.
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，列出相应的式子解值即可.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A. 8a2b＝2a 4ab ，不是因式分解，故A不符合题意；
B. 4my－2y＝2y（2m－1 ），是因式分解，故B符合题意；
C. （m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2，不是因式分解，故C不符合题意；
D. a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1 ，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的最终结果是整式的乘积的形式判断即可.
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.∵，
∴，故A错误，不符合题意；
B.∵，
∴，故B正确，符合题意；
C.若且，则，
若且，则，故C错误，不符合题意；
D.∵且，
∴，故D错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可.
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，AC=26，
∴AO=AC=13，BD=2OD，
在Rt△AOD中
，
∴BD=2×5=10，
∴AD与BC之间的距离为10.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可求出AO的长，同时可证得BD=2OD，利用勾股定理求出DO的长，可得到BD的长，即可求出AD与BC之间的距离.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】 【解答】解：在△EBC中，EB=EC，
∴∠B=∠ACE=70°，
∴∠E=180°-2∠B=180°-140°=40°，
∵AB=AC，
∴∠BAC=∠BCA==，
又∵∠BAC=∠E+∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC-∠E=55°-40°=15°。
故答案为：B。
【分析】在等腰△EBC中，根据∠B的度数，可求得∠E=40°，在等腰△ABC中，可求得∠BAC=55°，然后根据三角形外角和与它不相邻内角的关系求得∠ACD即可。
8．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由A(-2，1)的对应点A1的坐标为(a，3)知，线段AB向上平移了2个单位，
由B (0，-1)的对应点B1的坐标为(3，b)知，线段AB向右平移了3个单位，
则a= -2+3= 1，b=-1+2= 1，
∴a+b=1+1=2；
故答案为：B.
【分析】由已知得出线段AB向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出a、b的值，从而得出答案.
9．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进馆1280(1+x)人次，第二个月进馆1280(1+x)2人次，
根据题意得：1280+1280(1+x)+1280(1+x)2= 6080；
故答案为：A.
【分析】根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆1280(1+x)人次，第二个月进馆1280(1+x)2人次，结合到第三个月月末累计进馆6080人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30° ，连接AC，BD相交于点O， BC与C′D′交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB= 60°，
∴∠CAB=30°=∠CAD，AC⊥BD，AO= CO，BO= DO，
∵AB=2，
∴DO=1，，
∴，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形A′B'C'D'，
∴∠D'AB= 30°，AD=AD'=2，
∴A，D′，C三点共线，
∴CD'=CA-AD'=，
又∵∠ACB=30°，
∴，，
∵重叠部分的面积=△ABC的面积-△D'EC的面积，
∴重叠部分的面积=；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积=，
故答案为：A.
【分析】如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针（逆时针）旋转30°，连接AC，BD相交于点O，BC与C′D′交于点E，根据菱形的性质推出AC的长，再根据菱形的性质推出CD'与CE的长，再根据重叠部分的面积=△ABC的面积-△D'EC的面积求解即可.
11．【答案】（2－m）2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： 4－4m＋m2＝ （2－m）2
故答案为：（2－m）2.
【分析】直接套用完全平方公式：因式分解即可.
12．【答案】－2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设x1、x2是 一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，
则；
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系：，计算即可.
13．【答案】126°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE= CE，
∴∠EBC=∠ECB，
设∠EBC =∠ECB=x，
∴∠AEC=∠EBC+∠ECB = 2x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE =∠ACE= x，
∵FG是△ACE的中位线，
∴FG∥AC，
∴∠EFG=∠ACE=x，
∵D为BC的中点，F为CE的中点，
∴DF∥AB，
∴∠EFD=∠AEF= 2x，
∵∠DFG =∠GFE+∠EFD= x+ 2x= 3x，
∴3x = 108°，
解得x= 36°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED = 2x+90°-x= 90°+ x=90°+36°= 126°
故答案为： 126°.
【分析】由垂直平分线和角平分线及中位线定理得到∠EBC=∠ECB=∠BCE =∠ACE=∠EFG=x，再得出DF为中位线及外角性质，得出∠EFD=∠AEF= 2x，进而得出∠DFG=3x，解出x即可求解.
14．【答案】85
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图2，连接OP并延长，交AB、EF于点M、N，连接CD，与MN交于点Q，
∵四边形 是菱形，等腰三角形 、 的腰长都是定值且相等，
∴ ， ，
∵载物台 到水平底座 的距离 为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图3，连接OP并延长，交AB、EF于点G、H，
同理可得 ，
∵ ，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为85.
【分析】连接OP并延长，交AB、EF于点M、N，连接CD，与MN交于点Q，由题意可得MN⊥EF，MN⊥AB，QP=PN=QO=OM=15cm，MN=60cm，根据∠AOB=120°可得∠OAB=30°，据此可得OA的值；连接OP并延长，交AB、EF于点G、H，同理可得GH=h2=4OG，△OAB是等腰直角三角形，据此可得OG，进而得到GH的值.
15．【答案】10
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，
∵∠AED=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠AOD=90°，OA=OD，
∴∠AOD+∠AED=180°，
∴点A，O，D，E共圆，
∴ = ，
∴∠AEO=∠DEO= ∠AED=45°，
∴OM=ON，
∴四边形EMON是正方形，
∴EM=EN=ON，
∴△OEN是等腰直角三角形，
∵OE=8 ，
∴EN=8，
∴EM=EN=8，
在Rt△AOM和Rt△DON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴AM=DN=EN﹣ED=8﹣6=2，
∴AE=AM+EM=2+8=10．
故答案为：10．
【分析】过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，先证四边形EMON是正方形，得出EM=EN=ON，即可求得EM=EN=8，再证明Rt△AOM≌Rt△DON，求出AM的长，即可得到AE的长。
16．【答案】（1）解：，
由①得：x＜6，
由②得：x≥0，
∴不等式组的解集为0≤x＜6；
（2）解： 移项：x2－4x=7，
配方：x2－4x+4 =11，
（x-2）2=11，
开方得：，
解得：x1＝2＋，x1＝2－．
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先分别解出两个不等式，按“大小小大中间找”写出不等式的解集即可.
（2）按配方法的步骤：①移项，②配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；④进一步通过直接开平方法求出方程的解.
17．【答案】解：原式 ＝，
∵x（x＋3）≠0，x－1≠0，∴x≠0，x≠－3，x≠1，∴x＝3，
∴原式＝．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分式中括号里的通分，再将除法转换为乘以倒数，再约分化简，然后根据分式有意义的条件确定x的取值，将x的值代入化简后的式子中计算即可.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DFBE是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，AB∥DC，
∴∠BAF＝∠DFA，
∵AF是∠DAB的平分线，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝DA＝10，
∴DC＝DF＋CF＝10＋6＝16．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质及CF=AE，可推出DFEB，即可证得四边形DFBE是平行四边形，再通过有一角是直角的平行四边形是矩形即可证得；
（2）由（1）矩形的性质可知∠BFC＝90°，再根据勾股定理求出BC的长度，再根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出∠DAF＝∠DFA，继而通过等角对等边得出DF＝DA，即可求出DC的长度.
19．【答案】（1）解：如图，△ADE即为所求．
（2）∠FED
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）证明：连接CE，
∵ △ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE (SAS)，
∴BD=CE， ∠ABD=∠ACE=60°，
∵CF=BD，
∴CF=CE，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE=BD，∠CFE=∠ACB=60°，
∴EF∥DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴∠FBD=∠FED；
故答案为：∠FED.
【分析】 (1) 分别以点A、D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE、DE即可；
(2)连接CE，证明△BAD≌△CAE，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE= 60°，然后可证△CEF是等边三角形，进而证明四边形BDEF是平行四边形即可.
20．【答案】（1）解：设该校第一次购置AED设备x台，则该校第二次购置AED设备（x＋2）台，
根据题意得：，解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意．
答：该校第一次购置AED设备4台；
（2）解：设购买立式存储柜y个，则购买壁挂式存储柜（10－y）个，
根据题意得：500（10－y）＋1200y≤7000，解得：y≤，
又∵y为正整数，∴y的最大值为2．答：最多可购买立式存储柜2个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设该校第-次购置AED设备x台，则该校第二次购置AED设备(x + 2)台，利用单价=总价÷数量，结合第二次每台价格是第一每台价格的，列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)设购买立式存储柜y个，则购买壁挂式存储柜(10- y)个，利用总价=单价×数量，合总价不超过7000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论.
21．【答案】（1）
（2）解： PEQF的周长是定值，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DMN＝∠BNM，
连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB，
由折叠的性质得：DM＝BM，∠DMN＝∠BMN，∴∠BNM＝∠BMN，
∴DM＝BM＝BN＝13，∴AD＝BC＝BN＋CN＝13＋5＝18，
∴AM＝AD－DM＝18－13＝5，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝＝12，∴MH＝12，
∵S△BMN＝S△PBM＋S△PBN，PE⊥BM，PF⊥BN，∴BN MH＝BM PE＋BN PF，
∵BM＝BN，∴PE＋PF＝MH＝12，∴ PEGF的周长＝2（PE＋PF）＝2×12＝24；
（3）解：如图3，连接AP，BP，CP，
∵S△ABC＝S△ABP＋S△BCP－S△ACP，∴AB2＝AB PE＋BC PF－AC PD
∴AB＝PE＋PF－PD，
∵PE＋PF－PD＝3，∴AB＝2，∴S△ABC＝AB2＝3．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，设AC，BD相交于点O，连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，AD=4，
∴OA=OC=OB=OD，S△ABD= S△BCD，∠ABC= 90° ，BC=AD=4，
，
∴，，
∴，，
∴，
解得：；
故答案为：.
【分析】(1)连接PO，由矩形的性质得出S矩形ABCD= 12，OA=OC= OB= OD，S△ABD= S△BCD，∠ABC= 90°，BC = AD= 4，再由勾股定理得AC= 5，则S△AOD 可求，OA，OD的长度可求，然后由三角形面积即可得出结论；
（2）连接BP，过点M作MH⊥BC于H，证DM=BM=BN=13，则AD= BC= 18，再由勾股定理得AB = 12，然后由三角形面积求出PE+ PF= 12，即可解决问题；
（3）连接AP，BP，CP，由S△ABC= S△ABP+ S△BCP- S△ACP，求得AB＝PE＋PF－PD，得出AB得长度，即可求出△ABC的面积.
22．【答案】（1）10
（2）解：如图，作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH＝1，连接EH，G′E，G′H，
则G′E＝GE，
∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，
∴GE＋CF＝G′E＋EH≥G′H，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为AD的中点，
∴DG′＝AD＋AG′＝2＋1＝3，DH＝CD－CH＝4－1＝3，
由勾股定理得，∴GE+CF≥，
即GE＋CF的最小值为；
（3）解：管理人员的想法能实现，
理由：作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，
则PE AP⊥AD，PF⊥BC，连接EF，与AD、BC的交点即为点M、N的位置，连接PM，PN，
此时PM＝EM，PN＝FN，EF的长就是PM＋PN＋MN的最小值，
过点E作EG⊥PF交FP的延长线于点G，
∵∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，PE⊥AD，PF⊥BC，∴∠CPH＝45°，∠DPO＝30°．
∵PC=50m，PD=40m，∴PH＝PCsin∠BCP＝50（m），OD＝PD＝20（m），
∴，∴PE=20P=40m，PF=2PH=100m，
∵∠CPH＝45°，∠CPD＝75°，∠DPO＝30°，
∴∠EPG＝180°－∠CPH－∠CPD－∠DPO＝30°，
∵EG⊥PG，∴，∴，∴GF＝PG＋PF＝160（ m），
在Rt△GEF中，，
∴PM＋PN＋MN的最小值为m．
【知识点】平面展开﹣最短路径问题；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于P，则AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值= A'B，
过A'作A'E⊥BD于E，
则DE= A'C'= AC=2，
A'E= CD= 8，
BE = 2+4= 6，
∴，
即AP + BP的最小值是10；
故答案为：10.
【分析】(1)最短路径问题：作点A（或B）关于直线l的对称点A'（或B′），连接BA'（或AB′），再根据勾股定理即可求；
(2)如图，作G关于A B的对称点G'，在C'D上截取CH = 1，连接EH， G'E，G'H，根据一组对边平行且相等证得 EFCH是平行四边形，再根据平行四边形的性质、三角形的三边关系及勾股定理即可得到结论；
(3)作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，根据线段间的等量关系可得EF的长就是PM+PN+MN的最小值，根据勾股定理即可得到结论.
1 / 1广东省深圳市南山第二外国语学校集团2023-2024学年九年级上册数学开学考试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图案不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图案不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图案是中心对称图形，故C符合题意；
D、此图案不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
2．（2023九上·南山开学考）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．－7 B．7 C．7或－7 D．49
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
，且7-x≠0，
则49-x2=0，
解得x=±7，且x≠7，
所以x=-7
故答案为：A.
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，列出相应的式子解值即可.
3．（2023九上·南山开学考）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b＝2a 4ab
B．4my－2y＝2y（2m－1）
C．（m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2
D．a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A. 8a2b＝2a 4ab ，不是因式分解，故A不符合题意；
B. 4my－2y＝2y（2m－1 ），是因式分解，故B符合题意；
C. （m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2，不是因式分解，故C不符合题意；
D. a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1 ，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的最终结果是整式的乘积的形式判断即可.
4．（2023九上·南山开学考）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋c＜b＋c B．a－3＞b－3
C．am＞bm D．a（c2＋1）＜b（c2＋1）
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.∵，
∴，故A错误，不符合题意；
B.∵，
∴，故B正确，符合题意；
C.若且，则，
若且，则，故C错误，不符合题意；
D.∵且，
∴，故D错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可.
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
5．（2023八下·福州期末）矩形不具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分.
6．（2023八下·顺德期末）如图，在中，，，，则与间的距离为（ ）
A．5 B．10 C． D．26
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，AC=26，
∴AO=AC=13，BD=2OD，
在Rt△AOD中
，
∴BD=2×5=10，
∴AD与BC之间的距离为10.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可求出AO的长，同时可证得BD=2OD，利用勾股定理求出DO的长，可得到BD的长，即可求出AD与BC之间的距离.
7．（2023八下·金牛期末）如图，在等腰中，，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】 【解答】解：在△EBC中，EB=EC，
∴∠B=∠ACE=70°，
∴∠E=180°-2∠B=180°-140°=40°，
∵AB=AC，
∴∠BAC=∠BCA==，
又∵∠BAC=∠E+∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC-∠E=55°-40°=15°。
故答案为：B。
【分析】在等腰△EBC中，根据∠B的度数，可求得∠E=40°，在等腰△ABC中，可求得∠BAC=55°，然后根据三角形外角和与它不相邻内角的关系求得∠ACD即可。
8．（2023九上·南山开学考）如图A，B的坐标分别为（－2，1），（0，－1）．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（a，3），（3，b），则a＋b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由A(-2，1)的对应点A1的坐标为(a，3)知，线段AB向上平移了2个单位，
由B (0，-1)的对应点B1的坐标为(3，b)知，线段AB向右平移了3个单位，
则a= -2+3= 1，b=-1+2= 1，
∴a+b=1+1=2；
故答案为：B.
【分析】由已知得出线段AB向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出a、b的值，从而得出答案.
9．（2023九上·南山开学考）为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1280＋1280（1＋x）＋1280（1＋x）2＝6080
B．6080（1＋x）＋6080（1－x）2＝1280
C．1280（1＋x）2＝6080
D．6080（1－x）2＝1280
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进馆1280(1+x)人次，第二个月进馆1280(1+x)2人次，
根据题意得：1280+1280(1+x)+1280(1+x)2= 6080；
故答案为：A.
【分析】根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆1280(1+x)人次，第二个月进馆1280(1+x)2人次，结合到第三个月月末累计进馆6080人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
10．（2023九上·南山开学考）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．3－ B．2－ C．－1 D．2－2
【答案】A
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30° ，连接AC，BD相交于点O， BC与C′D′交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB= 60°，
∴∠CAB=30°=∠CAD，AC⊥BD，AO= CO，BO= DO，
∵AB=2，
∴DO=1，，
∴，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形A′B'C'D'，
∴∠D'AB= 30°，AD=AD'=2，
∴A，D′，C三点共线，
∴CD'=CA-AD'=，
又∵∠ACB=30°，
∴，，
∵重叠部分的面积=△ABC的面积-△D'EC的面积，
∴重叠部分的面积=；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积=，
故答案为：A.
【分析】如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针（逆时针）旋转30°，连接AC，BD相交于点O，BC与C′D′交于点E，根据菱形的性质推出AC的长，再根据菱形的性质推出CD'与CE的长，再根据重叠部分的面积=△ABC的面积-△D'EC的面积求解即可.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023九上·南山开学考）分解因式：4－4m＋m2＝ ．
【答案】（2－m）2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： 4－4m＋m2＝ （2－m）2
故答案为：（2－m）2.
【分析】直接套用完全平方公式：因式分解即可.
12．（2023九上·南山开学考）关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为 ．
【答案】－2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设x1、x2是 一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，
则；
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系：，计算即可.
13．（2023九上·南山开学考）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝ ．
【答案】126°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE= CE，
∴∠EBC=∠ECB，
设∠EBC =∠ECB=x，
∴∠AEC=∠EBC+∠ECB = 2x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE =∠ACE= x，
∵FG是△ACE的中位线，
∴FG∥AC，
∴∠EFG=∠ACE=x，
∵D为BC的中点，F为CE的中点，
∴DF∥AB，
∴∠EFD=∠AEF= 2x，
∵∠DFG =∠GFE+∠EFD= x+ 2x= 3x，
∴3x = 108°，
解得x= 36°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED = 2x+90°-x= 90°+ x=90°+36°= 126°
故答案为： 126°.
【分析】由垂直平分线和角平分线及中位线定理得到∠EBC=∠ECB=∠BCE =∠ACE=∠EFG=x，再得出DF为中位线及外角性质，得出∠EFD=∠AEF= 2x，进而得出∠DFG=3x，解出x即可求解.
14．（2021八下·南浔期末）已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形 的边长及等腰三角形 、 的腰长都是定值且相等.如图2，载物台 到水平底座 的距离 为 ，此时 ；如图3，当 时，载物台 到水平底座 的距离 为 （结果精确到 ，参考数据： ， ）.
【答案】85
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图2，连接OP并延长，交AB、EF于点M、N，连接CD，与MN交于点Q，
∵四边形 是菱形，等腰三角形 、 的腰长都是定值且相等，
∴ ， ，
∵载物台 到水平底座 的距离 为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图3，连接OP并延长，交AB、EF于点G、H，
同理可得 ，
∵ ，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为85.
【分析】连接OP并延长，交AB、EF于点M、N，连接CD，与MN交于点Q，由题意可得MN⊥EF，MN⊥AB，QP=PN=QO=OM=15cm，MN=60cm，根据∠AOB=120°可得∠OAB=30°，据此可得OA的值；连接OP并延长，交AB、EF于点G、H，同理可得GH=h2=4OG，△OAB是等腰直角三角形，据此可得OG，进而得到GH的值.
15．（2017九上·泰州开学考）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8 ，则另一直角边AE的长为 ．
【答案】10
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，
∵∠AED=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠AOD=90°，OA=OD，
∴∠AOD+∠AED=180°，
∴点A，O，D，E共圆，
∴ = ，
∴∠AEO=∠DEO= ∠AED=45°，
∴OM=ON，
∴四边形EMON是正方形，
∴EM=EN=ON，
∴△OEN是等腰直角三角形，
∵OE=8 ，
∴EN=8，
∴EM=EN=8，
在Rt△AOM和Rt△DON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴AM=DN=EN﹣ED=8﹣6=2，
∴AE=AM+EM=2+8=10．
故答案为：10．
【分析】过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，先证四边形EMON是正方形，得出EM=EN=ON，即可求得EM=EN=8，再证明Rt△AOM≌Rt△DON，求出AM的长，即可得到AE的长。
三、解答题（共55分）
16．（2023九上·南山开学考）
（1）解不等式组：；
（2）解方程：x2－4x－7＝0．
【答案】（1）解：，
由①得：x＜6，
由②得：x≥0，
∴不等式组的解集为0≤x＜6；
（2）解： 移项：x2－4x=7，
配方：x2－4x+4 =11，
（x-2）2=11，
开方得：，
解得：x1＝2＋，x1＝2－．
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先分别解出两个不等式，按“大小小大中间找”写出不等式的解集即可.
（2）按配方法的步骤：①移项，②配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；④进一步通过直接开平方法求出方程的解.
17．（2023九上·南山开学考）先化简，再求值：，然后从－3，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】解：原式 ＝，
∵x（x＋3）≠0，x－1≠0，∴x≠0，x≠－3，x≠1，∴x＝3，
∴原式＝．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分式中括号里的通分，再将除法转换为乘以倒数，再约分化简，然后根据分式有意义的条件确定x的取值，将x的值代入化简后的式子中计算即可.
18．（2023九上·南山开学考）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DFBE是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，AB∥DC，
∴∠BAF＝∠DFA，
∵AF是∠DAB的平分线，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝DA＝10，
∴DC＝DF＋CF＝10＋6＝16．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质及CF=AE，可推出DFEB，即可证得四边形DFBE是平行四边形，再通过有一角是直角的平行四边形是矩形即可证得；
（2）由（1）矩形的性质可知∠BFC＝90°，再根据勾股定理求出BC的长度，再根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出∠DAF＝∠DFA，继而通过等角对等边得出DF＝DA，即可求出DC的长度.
19．（2023九上·南山开学考）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）尺规作图：在AD的右侧作等边三角形ADE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，作AC边上的点F，且CF＝BD，连接BF，EF，请在图中找到一个与∠FBD相等的角，即∠FBD＝ ．
【答案】（1）解：如图，△ADE即为所求．
（2）∠FED
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）证明：连接CE，
∵ △ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE (SAS)，
∴BD=CE， ∠ABD=∠ACE=60°，
∵CF=BD，
∴CF=CE，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE=BD，∠CFE=∠ACB=60°，
∴EF∥DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴∠FBD=∠FED；
故答案为：∠FED.
【分析】 (1) 分别以点A、D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE、DE即可；
(2)连接CE，证明△BAD≌△CAE，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE= 60°，然后可证△CEF是等边三角形，进而证明四边形BDEF是平行四边形即可.
20．（2023九上·南山开学考）2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停患者．某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．
（1）该校第一次购置AED设备多少台？
（2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？
【答案】（1）解：设该校第一次购置AED设备x台，则该校第二次购置AED设备（x＋2）台，
根据题意得：，解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意．
答：该校第一次购置AED设备4台；
（2）解：设购买立式存储柜y个，则购买壁挂式存储柜（10－y）个，
根据题意得：500（10－y）＋1200y≤7000，解得：y≤，
又∵y为正整数，∴y的最大值为2．答：最多可购买立式存储柜2个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设该校第-次购置AED设备x台，则该校第二次购置AED设备(x + 2)台，利用单价=总价÷数量，结合第二次每台价格是第一每台价格的，列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)设购买立式存储柜y个，则购买壁挂式存储柜(10- y)个，利用总价=单价×数量，合总价不超过7000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论.
21．（2023九上·南山开学考）教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE＋PF的值为 ．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM＝13，CN＝5， PEQF的周长是否为定值？若是，请求出 PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE＋PF－PD＝3，请直接写出△ABC的面积．
【答案】（1）
（2）解： PEQF的周长是定值，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DMN＝∠BNM，
连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB，
由折叠的性质得：DM＝BM，∠DMN＝∠BMN，∴∠BNM＝∠BMN，
∴DM＝BM＝BN＝13，∴AD＝BC＝BN＋CN＝13＋5＝18，
∴AM＝AD－DM＝18－13＝5，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝＝12，∴MH＝12，
∵S△BMN＝S△PBM＋S△PBN，PE⊥BM，PF⊥BN，∴BN MH＝BM PE＋BN PF，
∵BM＝BN，∴PE＋PF＝MH＝12，∴ PEGF的周长＝2（PE＋PF）＝2×12＝24；
（3）解：如图3，连接AP，BP，CP，
∵S△ABC＝S△ABP＋S△BCP－S△ACP，∴AB2＝AB PE＋BC PF－AC PD
∴AB＝PE＋PF－PD，
∵PE＋PF－PD＝3，∴AB＝2，∴S△ABC＝AB2＝3．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，设AC，BD相交于点O，连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，AD=4，
∴OA=OC=OB=OD，S△ABD= S△BCD，∠ABC= 90° ，BC=AD=4，
，
∴，，
∴，，
∴，
解得：；
故答案为：.
【分析】(1)连接PO，由矩形的性质得出S矩形ABCD= 12，OA=OC= OB= OD，S△ABD= S△BCD，∠ABC= 90°，BC = AD= 4，再由勾股定理得AC= 5，则S△AOD 可求，OA，OD的长度可求，然后由三角形面积即可得出结论；
（2）连接BP，过点M作MH⊥BC于H，证DM=BM=BN=13，则AD= BC= 18，再由勾股定理得AB = 12，然后由三角形面积求出PE+ PF= 12，即可解决问题；
（3）连接AP，BP，CP，由S△ABC= S△ABP+ S△BCP- S△ACP，求得AB＝PE＋PF－PD，得出AB得长度，即可求出△ABC的面积.
22．（2023九上·南山开学考）
（1）【问题提出】
如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC＝2，点B到直线l的距离BD＝4，A、B两点的水平距离CD＝8，点P是直线l上的一个动点，则AP＋BP的最小值是 ；
（2）【问题探究】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，求GE＋CF的最小值；
（3）【问题解决】
如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小．
已测出∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，∠CPD＝75°，PC＝50m，PD＝40m，管理人员的想法能否实现，若能，请求出PM＋PN＋MN的最小值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）10
（2）解：如图，作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH＝1，连接EH，G′E，G′H，
则G′E＝GE，
∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，
∴GE＋CF＝G′E＋EH≥G′H，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为AD的中点，
∴DG′＝AD＋AG′＝2＋1＝3，DH＝CD－CH＝4－1＝3，
由勾股定理得，∴GE+CF≥，
即GE＋CF的最小值为；
（3）解：管理人员的想法能实现，
理由：作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，
则PE AP⊥AD，PF⊥BC，连接EF，与AD、BC的交点即为点M、N的位置，连接PM，PN，
此时PM＝EM，PN＝FN，EF的长就是PM＋PN＋MN的最小值，
过点E作EG⊥PF交FP的延长线于点G，
∵∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，PE⊥AD，PF⊥BC，∴∠CPH＝45°，∠DPO＝30°．
∵PC=50m，PD=40m，∴PH＝PCsin∠BCP＝50（m），OD＝PD＝20（m），
∴，∴PE=20P=40m，PF=2PH=100m，
∵∠CPH＝45°，∠CPD＝75°，∠DPO＝30°，
∴∠EPG＝180°－∠CPH－∠CPD－∠DPO＝30°，
∵EG⊥PG，∴，∴，∴GF＝PG＋PF＝160（ m），
在Rt△GEF中，，
∴PM＋PN＋MN的最小值为m．
【知识点】平面展开﹣最短路径问题；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于P，则AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值= A'B，
过A'作A'E⊥BD于E，
则DE= A'C'= AC=2，
A'E= CD= 8，
BE = 2+4= 6，
∴，
即AP + BP的最小值是10；
故答案为：10.
【分析】(1)最短路径问题：作点A（或B）关于直线l的对称点A'（或B′），连接BA'（或AB′），再根据勾股定理即可求；
(2)如图，作G关于A B的对称点G'，在C'D上截取CH = 1，连接EH， G'E，G'H，根据一组对边平行且相等证得 EFCH是平行四边形，再根据平行四边形的性质、三角形的三边关系及勾股定理即可得到结论；
(3)作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，根据线段间的等量关系可得EF的长就是PM+PN+MN的最小值，根据勾股定理即可得到结论.
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