陆河县2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题卷
（考试时长：120分钟 本卷满分：150分）
一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共计40分．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A. B. C D.
4．已知向量，，若，则（ ）
A．0或2 B．2 C．0或 D．
5．设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．工厂需要将某种废气经过过滤后排放，已知该废气的污染物含量 (单位: mg/L) 与过滤时间 (单位:h) 的关系为 (为污染物的初始含量)，则污染物减少到初始含量的20%大约需要（ ） （本题的参考数据: ln5≈1.6）
A. 60h B. 70h C. 80h D. 90h
7．已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题．本题共4小题，每小题5分，共计20分．
9．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A. 已知随机变量X服从二项分布，则
B. 已知随机变量X服从正态分布且，则
C. 已知随机变量X的方差为，则 D. 以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则
11．如图所示的是函数的部分图象，则＝( )
A．sin B．sin
C．cos D．cos
12．已知函数满足：，且在上的导数，
则不等式的整数解可以为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
三、填空题．本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 函数的定义域为________．
14．甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，
则共有________种承包方式（用数字作答）．
15．若函数，且，则________．
16．已知，若直线关于轴对称直线与圆有公共点，则实数的取值范围是________．
四、解答题．本题共6小题，共计70分．
17. 在等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积，求△ABC的周长．
19. 为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力做到科学防护，科学预防. 某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答，共有 100 人参加了这次问答，将他们的成绩（满分 100 分）分成 ，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值，并估计这 100 人问答成绩的平均数 (同一组数据用该组中点值值代替）；
（2）用分层抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，记问答成绩在内的人数是，求的分布列，及数学期望.
20. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明： // 平面AEC；
（2）设三棱锥的体积是，，求平面DAE与AEC的夹角．
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
22. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的
面积最大时，求直线的方程．陆河县2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题详解
一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共计40分．
1．B 【详解】集合包含所有小于2的实数，包含1和2两个元素，
所以，故选：B.
2．D 【详解】，
在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D.
3．C 【详解】对于选项A，指数函数是非奇非偶函数，故A错误；
对于选项B，函数是偶函数，故B错误； 对于选项C，幂函数既是奇函数，又是定义域上的增函数，故C正确； 对于选项D，正切函数在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D错误. 故选：C.
4．C 【详解】向量，，则
由，所以，得或．故选：C．
5．A 【详解】因为，，，因此，．故选：A．
6．C 【详解】由题意可得：
故选：C．
7．A
【详解】设，则直线：，由，得，即，
而，，由，得，即，
有，又，因此，所以E的离心率为．故选：A
8．C 【详解】因为，所以，
又函数在上恰有三个零点，等价于函数在区间上恰有三个零点，由正弦函数的性质可知，，
所以，故选：C.
二、多选题．本题共4小题，每小题5分，共计20分．
9．AC 【详解】对于A，因为，所以由不等的性质可得，所以A正确，
对于B，因为在R上递减，且，所以，所以B错误，
对于C，因为在上递增，，所以，所以C正确，
对于D，因为，，所以，得，所以D错误，故选：AC
10． AD 【解析】对于A，由随机变量X服从二项分布，得，故A正确；对于B，因为随机变量X服从正态分布，则对称轴为，又
，所以，所以，故B错；
对于C，因为随机变量X的方差为，则，故C错误；
对于D，模型，则，又因，，
所以，所以，故D正确．故选：AD．
11． BC 【详解】由函数图象可知＝－＝，则T＝π，|ω|＝＝＝2，故A错误；
当x＝＝时，y＝－1，若ω＝2，则2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝，
此时，函数的解析式为y＝sin＝sin＝cos＝cos(2x－＋)＝－sin＝sin，故B、C正确；
而cos＝cos＝－cos(2x－)＝－cos，故D错误．
若ω＝－2，将代入得2×－φ＝2kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，
所以y＝sin＝cos， 故选BC.
12． CD 【详解】由，得，令，
由不等式得，所以取，
则函数在上是减函数，且，
所以当时，，
由，即，得，所以，
因为题目求不等式的整数解，所以整数解为1和2.故选：CD
三、填空题．本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13． 【详解】解：由，得且，
所以函数的定义域为，故答案为：
14． 60 【详解】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有种，再让乙承包2项，有，剩下的3项丙承包，所以共有种方案，故答案为：60．
15． 【详解】由题意可知 是 的一条对称轴，因为 所以 ，
，因为 ，故答案为： .
16. 【详解】由点关于的对称点为，则，
可得直线的方程为，即，
又因为与圆有公共点，则，
整理得，解得，即实数的取值范围为.
四、解答题．本题共6小题，共计70分．
17. 【解析】（1）设数列的公差为d，
则，解得，
故．
（2）由（1）知，则，．
18. 【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得到，又因为，所以，
故，得到，又因为，所以．
（2）因为，△ABC的面积，
所以，得到，
在△ABC中，由余弦定理得，
所以，故△ABC的周长为．
19. 【解析】（1）由图可知，，解得，
估计这人问答成绩的平均数为：
.
（2）由频率分布直方图可知，问答成绩在，这两组的频率之比为.
用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为 5 的样本，
则问答成绩在内的有(人)，问答成绩在 内的有(人)，
从中任意抽取 2 人，则的可能取值为，且服从超几何分布，
0 1 2
则的分布列是:
.
20. 【解析】（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则：，
则直线的方向向量为：，，
设平面的法向量，则：，
据此可得：平面的一个法向量为，
结合可知：，即据此可得：平面.
（2）因为平面ABCD，E为PD的中点．，
所以点E到平面ABCD的距离为，因为三棱锥的体积是，
所以有，
结合（1）的结论可知：，
则平面的一个法向量为.
由平面可知平面的一个法向量为：，
据此可得：，
则，因为平面DAE与AEC的夹角为锐角，
故平面DAE与AEC的夹角为.
21. 【解析】（1）定义域为，，
当时，，在递增；
当时，由可得：，
当时，，递减；
当时，，递增.
（2）若：则，符合题意；
若，则，不合题意，舍；
【另解：若：当时，，不合题意，舍；】
若，则由（1）可知，只需，
令，所以，易得：在递增，递减，
当时，，
即当时符合题意；
当时，注意到，故只需，即，
综上所述，的取值范围是.
22. 【解析】（1）由题意，可得，且，所以，
则， 所以椭圆的方程为.
（2）由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以所求直线的方程为或．
