第一章 计数原理
班级 姓名 学号 得分
一、选择题 （每小题5分）
1．（全国Ⅰ卷理科第10题）的展开式中，常数项为15，则n= （ D ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ）
A．36种 B．48种 C．96种 D．192种
3．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
4．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
6．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ A ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
7．（重庆理科第4题）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）
A10 B.20 C.30 D.120
8．（重庆文科第4题）展开式中的系数为（ B ）
（A）15 （B）60 （C）120 （D）240
9．（四川理科第10题）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
10．（四川文科第9题）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ）
A.48个 B.36个 C.24个 D.18个
11．（湖北理科第1题）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ B ）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
12．（湖北文科第3题）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ C ）
Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3
13．的值为（ B ）
Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．64
14.设,且x+y≤4,则直角坐标系中满足条件的点M(x,y)共有 ( D )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
二、填空题
1．（全国Ⅰ卷理科第13题）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答）
2．（全国Ⅱ卷理科第13题）的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
3．（全国Ⅱ卷文科第16题）的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
4．（天津理科第11题）若的二项展开式中的系数为，则 （用数字作答）．
5．（天津文科第12题）的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．
6．（重庆理科第15题）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。（以数字作答）
7．（重庆文科第15题）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 288 。（以数字作答）
8．（陕西理科第16题）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
9．（陕西文科第13题）的展开式中项的系数是 .（用数字作答）
10．（陕西文科第15题）安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
11．(安徽理科第12题)若的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于
12．(安徽文科第12题)已知,
则( 的值等于 .
13．（福建文科第13题）的展开式中常数项是_____．（用数字作答）
14．（江苏第12题）某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答）
15．（辽宁文科第14题）展开式中含的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）．
16．（宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）
17．5555除以8的余数是＿7＿
18.平面内有A,B两点,平面内有M,N,P三点,以这些点为顶点,最多可以作 5 个三棱锥.
1. ________； 2.___________； 3.____________； 4._________； 5.___________； 6.____________；
7._________； 8.____________； 9.____________；
10.________； 11.___________； 12.___________；
13.________； 14.___________； 15.___________；
16.________；
课件16张PPT。理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。
掌握二项展开式的通项公式，会应用通项公式求指定的某一项。
会正确区分二项式系数与项的系数，会求指定项的二项式系数和系数。
二 项 式 定 理问题1： ＋ ＋ ＋ ＋ … ＋ ＋…
＋ ＝?问题2：你能否判断(3 x2－ )10的展开式中是否包含常数项？ 二项式定理它研究的就是 (a＋b)n 的展开式的一般情形。(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们
的各项是什么呢？引入(a1+a2)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4)展开后有多少项?３个括号在相乘，
第１个括号相乘时，有２种选择方法；
第２个括号相乘时，有３种选择方法；
第３个括号相乘时，有４种选择方法.一共有２×３ ×４＝２４项．(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a+b)n=?探索(a＋b)2 ＝ (a ＋ b)( a ＋ b )a2ababb2＝a2＋2ab＋b2a2:两个括号中都选a,即两个括号中都不选b，有 个ab:两个括号中1个选a, １个选b，有 个b2:两个括号中都选b, 有 个合并同类项：(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) a3a2bab2b3a３:三个括号中都选a,即三个括号中都不选b，有 个a２b:两个括号中选a,１个选b，有 个ab2:1个括号中选a,两个括号中选b, 有 个合并同类项：探索b3:三个括号中都选b, 有 个(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？3)．你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则 (a+b)4 ＝
C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b43)．你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4提问： 的展开式怎么写呢？ 二项展开式定理右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式注1）．二项展开式共有n+1项2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1Cnr ： 二项式系数一般地，对于n N*有如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn应 用解:应 用解:第三项的二项式系数为第六项的系数为注：1）注意对二项式定理的灵活应用3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项解:解:第四项系数为280.练习：1、求 的展开式常数项 解:练习：2、求 的展开式的中间两项 解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项。课件21张PPT。二项式定理应用一、复习回顾1、二项式定理：2、通项公式：3、二项式系数：4、二项式系数性质：即对称性5、二项式系数和6、特例7、贾宪-杨辉三角规律：表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。事实上，设表中任一不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及Cnr，由组合数的性质2知道Cn+1r= Cnr-1+Cnr.二、二项式定理的应用求展开式求展开式中的指定项求展开式中的特定项求展开式中的有理项求展开式中的最大项二项展开式（r=1,2,…,n) 二项式系数二项展开式的通项
第 r+1 项 n 是偶数 n 是奇数求多项式的系数和求整除余数求展开式解：求指定项分析：第 k+1 项的二项式系数 ----------
第 k+1 项的系数--------------------具体数值的积。解：求特定项解：练习、求(x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3- (x -1)4 + (x -1)5展开式中含 x 2 项的系数。分析：求特定项系数，我们已经学过二项式展开式、通项公式、分解因式等方法。对于求较复杂的代数式的展开式中某项的系数，常常需要对所给的代数式进行化简，减少计算量。分析：求有理项 项解：求最大项
(1)分别指出(a+b)20与(x+5y)15展开式中哪些项的二项式系数最大?并分别求出其最大的二项式系数(用组合数表示)(2)已知(a+b)n展开式中第10项和第11项的二项式系数最大,求n求多项式的系数和例：设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5.求：（1）、 a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2）、 a1+a3+ a5的值 （3）、 |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值 评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决练习：求整除余数 9192除以100的余数是＿＿＿＿＿由此可见，除后两项外均能被100整除所以 9192除以100的余数是81练习：若今天是星期三，则今天后的第100100 天是星期________评注：利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切关系考点练习 2、 展开式中，不含x的项是第____ 项1、若(1+x)8展开式中间三项依次成等差数列，则x=____________课件16张PPT。 二项式系数的性质 复习回顾:二项式定理及展开式:例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项解:解:第四项系数为280. (a+b)1= a+b
(a+b)2=a2+2ab + b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b1+6a2b2+4a1b3+b4
(a+b)5=a5+5a4b1+10a3b2+10a2b3+5a1b4+b5
(a+b)6=a6+6a5b1+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6a1b5+b6
(a+b)7=a7+7a6b1+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7a1b6 +b7 根据二项式定理写出下列二项式的展开式 :展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 将上述的7个展开式中的二项式系数列成下表1. 每行两端都是1；
2. 除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和；
3. 与首末两端等距的两项的二项式系数相等；
4. 幂指数为偶数时中间的二项式系数最大，
幂指数为奇数时中间两项的二项式系数相等且最大；
5. 从中间到首末两端二项式系数逐渐减小；得出规律杨辉三角 (a+b)1 1 1
(a+b)2 1 2 1
(a+b)3 1 3 3 1
(a+b)4 1 4 6 4 1
(a+b)5 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1
(a+b)7 1 7 21 35 35 21 7 1 可以得到二项式展开式性质 将杨辉三角的每个数换成二项
式的系数（组合符号）的形式二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立点．二项式系数的性质2．二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式
得到．图象的对称轴：二项式系数的性质（2）增减性与最大值 练习:
(1)分别指出(a+b)20与(x+5y)15展开式中哪些项的二项式系数最大?并分别求出其最大的二项式系数(用组合数表示)(2)已知(a+b)n展开式中第10项和第11项的二项式系数最大,求n（3）各二项式系数的和 二项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式． 例1 证明在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．赋值法=2n-1已知（1－2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:（1）a1+a2+…+a7;（2）a1+a3+a5+a7;（3）a0+a2+a4+a6.（1－2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7
令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=－1
令x=0得a0=1
∴a1+a2+…+a7=－2
（2）令x=－1,得
a0－a1+a2－a3+…+a6－a7=37=2187
由上式得
a1+a3+a5+a7=-1094
a0+a2+a4+a6=1093 例题选讲1.(1-x2)9展开式中系数最大的项是 ，
系数最小的项是 ，二项式系数最
大的项是 , .
126x8-126x10126x8-126x10注意：1.项与项数的区别
2.二项式系数与系数的区别
3.二项式系数一定为正，系数可以有
负值.课件4张PPT。练习(2) 、用四种不同的颜色涂入图中矩形A、B、C、D，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色共有________种3、现有3名学生和4个课外小组，试分别回答下列问题：(1)每名学生只参加一个课外小组，有多少种不同的方法.(2)每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，有多少种不同的方法.4、5张1元币、4张1角币、1张5分币、2张2分币，可组成多少种不同的币值？（一张不取，即0元0角0分不计在内）解：分为三种币值的不同组合：元：0元、1元、2元、3元、4元、5元；角：0角、1角、2角、3角、4角；分：0分、2分、4分、5分、7分、9分然后分三步进行：第一步：从元中取有6种取法；
第二步：从角中取有5种取法；
第三步：从分中取有6种取法；由分步计数原理得：6×5×6 = 180。但应除去 0元0角0分 这种情况,故有179种.6、用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，其中有多少个偶数？5、新华书店有语文、数学、英语练习册
不同的各10本：
（1）买其中一本有几种方法？
（2）买两本且要求书不同种的有几种方法？课件29张PPT。1.1两个基本计数原理目的1．掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决
一些简单的应用问题；
2．通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高学
生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力．
3．提高比较分类计数原理与分步计数原理的异同，培养学生学
习比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用的能力．
4．通过对两个原理的学习，培养学生周密思考、细心分析的良
好学习习惯．重难点重点：分类计数原理和分步计数原理内容
及两者的区别.
难点：对较为复杂事件的分类和分步．
引入1概念概念1引入2问题1.从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车还可以乘轮船.一天中,火车有4 班,汽车有2班,轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析: 从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法: 乘火车,有4种方法;
第二类方法: 乘汽车,有2种方法;
第三类方法: 乘轮船,有3种方法;
所以,从甲地到乙地共有: 4 + 2 + 3 = 9种方法概念2问题2引入2概念概念1引入1问题2.由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步: 由A村去B村, 有3种方法,
第二步: 由B村去C村, 有2种方法,
所以,从A村经 B村去C村共有: 3×2=6 种不同的方法概念2概念1引入1引入2概念分类记数原理:
做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法.概念2概念概念2引入1引入2概念1 分步记数原理:
做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有
N=m1×m2×…×mn
种不同的方法.例1.某班级有男三好学生5人,女三好学生4人.
(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？
(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有 多少种不同的选法？
分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,
第一类:从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;
第二类:从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;
所以,根据分类记数原理,得到不同选法种数共有 N=5+4=9 种。举例例1例2例3分析:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,
第一步:选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法;
第二步:选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法;
所以,根据分步记数原理,得到不同选法种数共有N=5×4=20种.
点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”。例1.某班级有男三好学生5人,女三好学生4人.
(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？
(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有 多少种不同的选法？举例举例例2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是
1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.
则根据分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是
8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.
则根据分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个)例2例1例3举例例3.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位, 需分为三步完成;
第一步: m1 = 10; 第二步: m2 = 10; 第三步:m2 = 10.
根据分步记数原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。答:首位数字不为0的密码数是 N =9×10×10 = 9×102 种,
首位数字是0的密码数是 N = 1×10×10 = 102 种。
由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。例2例1例3举例点评:
1.分类记数原理中的“分类”要全面,不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集。举例 2.分步记数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成举例 3.在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。(如图)要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？应用应用应用应用应用应用应用应用应用解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步: m1 = 3 种
第二步: m2 = 2 种
第三步: m3 = 1 种
第四步: m4 = 1 种
所以根据分步记数原理, 得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种.(如图)要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？应用问:若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？ 答:它们的涂色方案种数分别是
0,4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180种等。(如图)要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？应用练习2.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地练习练习1练习2小结1.本节课学习了哪些主要内容？ 分类记数原理和分步记数原理。 2.分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？不同点什么？ 答: 共同点是：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。
不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类记数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。3.何时用分类记数原理、分步记数原理呢? 完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类记数原理。
完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步记数原理。
小结课件17张PPT。 排 列问题1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?探索研究:解决这个问题需分2个步骤第一步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法；第二步，确定参加下午的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法，根据分步计数原理，共有3×2=6种不同的方法。上午 下午 相应的排法甲 乙
甲 丙乙 甲
乙 丙丙 甲
丙 乙我们把上面问题中被取的对象叫做元素。上述问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法。问题2 ： 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？解决这个问题，需分3个步骤：第一步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；第三步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法。
根据分步计数原理，共有4×3×2=24种不同的排法。1 、 树形图排法 a b c d b c d a c d a b d a b c c d b d b cc d a d a cb d a d a bb c a c a b2、所有的排法abc abd acb acd adb adc
bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb
dab dac dba dbc dca dcb 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 注意：
1、“取出不同元素”；
2、“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 .
3、根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.排列数的定义 从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 表示.问题1是求从3个不同的元素中取出2个元素的排列数。记为 问题2 是求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数。记为 求第一位第二位分步：第一步，先填第一个位置，可从n个元素中任取
一个填空，有n种方法；第二步，填第二个位置，可从余下的（n-1）个元素中任取一个填空，有（n-1）种方法；nn-1同理， =n(n－1)(n－2)∴ =n（n-1）求分m步 第一步：从n个元素中任选一个元素填第一位，
有n种填法；第二步：从余下的（n-1）个元素中任选一个元素填第二位，有（n-1）种填法；……第m步：从余下的（n-m+1）个元素中任选一个元素填第m位，有（n-m+1）种填法；N=n（n-1）…（n-m+1）nn-1n-m+1…全排列：从n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列。 =n（n-1）…·3·2·1问：Anm如何用阶乘形式表示？Anm=n（n-1）…（n-m+1）注：0！=1例1、（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？ （2）有5 种不同的书，要买3本送 给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 一个实际问题中的元素与顺序有关且不重复，就
可用排列的知识去解答，用排列数公式去计算.排列知识应用属于排列问题（课本例4）：用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法一：直接法 解法二：间接法.
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ， 其中以0为排头的排列数为 . ∴ 所求的三位数的个数是练习：某信号兵用红、黄、蓝３面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂１面、２面或３面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？排列定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做人的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。小结：排列数定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 表示。排列数计算公式排列应用题
教学目的：1熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法；
2.能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题
教学重点：分析和解决排列问题的基本方法
教学难点：分析和解决排列问题的基本方法
教学过程：
一、复习引入：
排列知识应用：一个实际问题中的元素与顺序有关且不重复，就可用排列的知识去解释，用排列数公式去计算例。
[课前热身]下列问题中那些属于排列问题：
1.有10个车站，共需要准备多少种车票？
2.设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
3.10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次??4.从10个同学中选出2名分别参加数学、物理竞赛，有多少中选派方法？
二、讲解范例：
例题： 七个家庭一起外出旅游，共有七个小孩，若其中四个是男孩，三个是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
（1）一共用多少种站法？（无限制条件）
（2）甲站在正中间的排法有几种？
（3）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
（3）若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
（5) 若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？
（6) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
（7) 男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？
（8) 四个男孩不能全排在一起，有多少种不同的排法？
三、基本的解题方法：
⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；
⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；
⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基。
四、课堂练习：
练习1、有不同的数学书、语文书各5本
1、数学书、语文书分别排在一起；
2、数学书不全排在一起；
3、任何两本数学书都不相邻；
4、数学书、语文书相间排列。
相邻问题，捆绑处理；不全相邻，排除处理；
全不相邻，插空处理；相间排列，定位处理。
五、课堂小结：
分析和解决排列问题的基本方法：特殊元素优先法；相邻元素捆绑法；相离问题插空法；杂问题“排除法”(间接法)。
六、课后作业：
课本P96 习题10.2 7、8、9、10
课件16张PPT。1、排列定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。复习：2、排列数定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。3、排列数计算公式4、全排列 :n个不同元素全部取出的一个排列. 5、全排列数： 一个实际问题中的元素与顺序有关且
不重复，就可用排列的知识去解释，用排
列数公式去计算。排列知识应用下列问题中那些属于排列问题：
1.有10个车站，共需要准备多少种车票？
2.设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元
素的子集有多少个?
3.10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问
候，共需握手多少次??
4.从10个同学中选出2名分别参加数学、物理竞
赛，有多少中选派方法？
课前热身排列应用题例题： 七个家庭一起外出旅游，共有七个小孩，若其中四个是男孩，三个是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。1)一共有多少种站法？变式：若站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 2）甲站在正中间的排法有几种？甲例３ 七个家庭一起外出旅游，共有七个小孩，若其中四个是男孩，三个是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。用排列知识解决带有条件限制的应用题一般应遵循“特殊位置，特殊元素优先考虑”的原则。3）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？甲乙例３ 七个家庭一起外出旅游，共有七个小孩，若其中四个是男孩，三个是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。例３ 七个家庭一起外出旅游，共有七个小孩，若其中四个是男孩，三个是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。4)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？捆绑法相邻元素捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻
问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个“大”元素5)若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？说一说相邻例３ 七个家庭一起外出旅游，共有七个小孩，若其中四个是男孩，三个是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。练习：有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其他书3本，将这些书竖排在书架上，则文艺书连在一起，科技书也连在一起的不同排法数与这8本书的不同排法数之比为______6) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？例３ 七个家庭一起外出旅游，共有七个小孩，若其中四个是男孩，三个是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。插空法不相邻问题插空法：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的间隙及两端位置。7) 男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？例３ 七个家庭一起外出旅游，共有七个小孩，若其中四个是男孩，三个是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。插空法相间排列，定位处理例３ 七个家庭一起外出旅游，共有七个小孩，若其中四个是男孩，三个是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。8) 四个男孩不能全排在一起，有多少种不同的排法？复杂问题“排除法”(间接法)：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数。对于一些比较复杂的问题的求解，用排除法可能更简单，只要将不合要求的一一排除即可，但使用排除法时同样要注意“分类”或“分步”，要不重不漏。基本的解题方法： ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．相邻问题，捆绑处理；不全相邻，排除处理；
全不相邻，插空处理；相间排列，定位处理 练习、有不同的数学书、语文书各5本
1、数学书、语文书分别排在一起；
2、数学书不全排在一起；
3、任何两本数学书都不相邻；
4、数学书、语文书相间排列；课件5张PPT。练习：用1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数中若1，3，5，7的次序一定，有多少种七位数？总结：任取n个不同的元素排成一排，其中m (m
种不同排法 例 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。甲、乙、丙三人顺序固定，有多少种不同的排法？（顺序固定问题用“除法”）例：某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育6门课，按以下要求排课表分别有多少种不同的排法？
第一节不排体育，最后一节不排数学；使用排除法时同样要注意“分
类”或“分步”，要不重不漏。练习：8张椅子排成一排，有4人就坐，每人一个座位，其中恰有3个连续空位，共有多少种坐法？例、由0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的五位数 ，问满足下列条件的数有多少个？
（1）偶数
(2)大于20000的偶数
（3）1 不在个位
（4）个位数字小于十位数字
例、（1）由0、1、2、3、4、5这6个数字可组成多少个不重复且又能被5整除的五位数？（2）由0，2，5，7，9这五个数字可组成多
少个不重复且又能被3整除的四位数？课件12张PPT。组合数的两个性质复习组合数计算公式 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？ 从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素，就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的。因此，从10个元素中取7个元素的组合数，与从这10个元素中取出(10-7)个元素的组合数是相等的问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？即组合数性质1：说明：2、 为了使性质1在m＝n时也能成立，规定1、为简化计算，当m＞ 时，通常将计算 改为计算 3.组合数性质2引例一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？
③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？从引例中可以发现一个结论：对上面的发现(等式)作怎样解释？说明：1 、公式的记忆
2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用． 组合数性质1：组合数性质2：常用的组合数性质公式还有：例1、计算例2、解方程或不等式例3、证明课件19张PPT。教学目的：
1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式
2.能正确认识组合与排列的联系与区别
教学重点：组合的概念和组合数公式教学
难点：组合的概念和组合数公式组 合 （1）一个排列的定义 一般地说，从n个不同元素中，任取m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。（2）排列数的定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。（3）排列数公式记作复习回顾2、 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？题1与题2这两个题目结果是否一样? 思考：为什么？结果不一样。 从3名同学中选出2名，不同的选法有3种：甲乙 、乙丙、 丙甲，所选出的2名同学之间并无顺序关系，甲、乙和乙、甲是同一种选法。 与顺序有关与顺序无关新课引入 3.有三个质数2、5、7，任取两个作减法，一共可以得多少个差？写出所有的等式. 两数的和4.有三个质数2、5、7，任取两个作加法，所得的和的 个数是多少 ？题3与题4这两个题目结果是否一样? 思考：与顺序有关与顺序无关被减数-减数 = 差 以上2、4两个引例所研究的问题是不同的，但是它们有数量上的共同点，即它们的实质都是： 从3个不同的元素里每次取出2个元素，不管怎样的顺序并成一组，一共有多少不同的组？这就是本节所要研究的组合问题．新课引入 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合定义 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别 思考:排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？ 共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序
排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”． 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。思考：ab和ba是几个排列？几个组合？ 如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何，都是相同的组合．
当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合组合定义练习1 1．甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛：
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况．(1)甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙丙，乙丁，丙丁（2）判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1) 10名同学分为人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3) 从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?
?组合问题组合问题(4)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
排列问题小结：排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么？区别的标志是有无顺序，而区分有无顺序的办法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，为组合问题。 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示。由前面练习知
（1）从3个不同元素中取出2个元素的组合数C32=3 （2）从4个不同元素中取出2个元素的组合数C42=6思考：从4个不同元素中取出3个元素的组合数C43是多少？组合数定义 由于从4个不同元素中取出3个的排列数A43可以求得，我们可以考察一下C43和A43的关系。 从4个不同元素a、b、c、d中取出3个元素的组合与排列的关系如下：组合排列abcabc acb bac bca cab cbaabdabd adb bad bda dab dbaacdbcdacd adc cad cda dac dcabcd bdc cbd cdb dbc dcb组合数公式 每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A43，可以分为以下两步： 第一步，从4个不同元素中取出3个元素的组合， 共有C43（=4）个； 第二步，对每一个组合中的3个不同元素作全排列，各有A33（=6）个。根据分步计数原理，得因此，组合数公式 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Anm，可分为以下2步： 第一步，从n个不同元素中取出m个元素的组合数，共有Cnm个； 第二步，对每一个组合中的m个不同元素作全排列，各有Amm个。根据分步计数原理，得因此，这个公式叫做组合数公式组合数公式组合数公式例1．计算：（1）解：（2）解1： 2．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3个点为顶点的所有三角形．ΔABC,ΔABD,ΔACD, ΔBCD练习2 3．写出：
（1）从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有组合；
（2）从 5个元素a，b，c，d，e中任取 3个元素的所有组合．(1)ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de(2) abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde 课堂小结
组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理。 课件14张PPT。 组合应用题 解有关组合的应用问题时，首先要认真分析题意，以判断这个问题是不是组合问题。组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题取出的元素之间与顺序有关，而组合问题取出的元素之间与顺序无关。 解有限制条件的组合问题的方法与排列问题一样，主要有两种方法：1、直接法，它包含直接分类法与直接分步法，其处理问题的原则是要优先处理特殊元素，再处理其他元素，从而直接求出所要求的组合数；2、间接法，先算出无条件的组合数，再排除不符合题意的组合数，从而间接地得出有附加条件的组合数。
其他一些在排列问题中使用的方法同样可以在组合问题中运用。①从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛,共有 种不同的选法。② 10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同的分工方法有 种。③有10道试题，从中选答8道,共有 种选法、又若其中6道必答，共有 不同的种选法。练 习例1 （几何问题）平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?在上题中，若有某4个点在一条直线上，次外无3个点在一条直线上。
（1）可以确定多少条直线？
（2）可以确定多少个三角形？
（3）可以确定多少个四边形？
例2、在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中2件次品，98件正品.要抽出3件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；(2)全是正品；(3)恰好1件次品；(4)至少有1件次品；(5)有2件次品；小结：先据成给条件确定是否是组合问题，然后用计数原理正确分类（或分步）；至多至少问题常用分类或排除法练习 : 某班有50名学生,其中有一名班长,一名副班长,现选派5人参加一个游览活动,至少有一名班长参加（正副均可）,共有 n 种不同的选法,其中错误的是（ ）A BCC 元素相同问题隔板策略 例.有10个运动员名额，在分给7个班，每
班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
共有___________种分法。将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为练习题10个相同的球装5个盒中,每盒至少一
有多少装法？2.名学生分6本相同的书，每人至少1本，
有多少种不同分法？隔板法：待分元素相同，去处不同，每处至少一个 排列组合混合问题先选后排策略 例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,
每盒至少装一个球,共有多少不同的装
法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有__种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.根据分步计数原理装球的方法共有_____解决排列组合混合问题,先选后排是最基本
的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似
吗?练习题一个班有6名战士,其中正副班长各1人
现从中选4人完成四种不同的任务,每人
完成一种任务,且正副班长有且只有1人
参加,则不同的选法有________ 种.1921、6本不同的书分给甲,乙,丙三人,其中有一人得一本,有一人得两本,一人得三本,不同分法有多少种?解： 先取 后排方法总数解题思想：先组后排 [问题2]4个不同的小球，全部放入3个不同的盒子中，要求不能有空盒，则有多少种不同的放法？ 析:条件:球放完且不能有空盒.则必有一个盒子放两个球.析:分成三堆后再放入三个空盒.[问题3]从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同
学和2个女同学分别承担A、B、C、D、E五项工
作，一共有多少种不同分配方法？课件13张PPT。组合数的两个性质问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？ 从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素，就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的。因此，从10个元素中取7个元素的组合数，与从这10个元素中取出(10-7)个元素的组合数是相等的。问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？即组合数性质1：说明：2、 为了使性质1在m＝n时也能成立，规定1、为简化计算，当m＞ 时，通常将计算 改为计算 3.组合数性质2引例一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？
③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？从引例中可以发现一个结论：例、现有大小相同的n个白球和1个黑球，从中取出m个球，有几种取法？直接由组合定义知，共有若分成两类：第一类m个球中不含黑球，则从n个白球中取m个，有第二类m个球中含一个黑球，则从n个白球中取m-1个，
有结论：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 从 这n+1个不同的元素
中，取出m个元素的组合数 ，这些组合可以分
成两类： 一类含 ， 一类不含 。
含 的组合是从 这n个不同元素中
取出m-1个元素的组合数为 ；不含 的组合是
从 这n个不同的元素中取出m个元
素的组合数为 ，再由加法原理，得性质2：说明：1 、公式的记忆
2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用． 组合数性质1：组合数性质2：常用的组合数性质公式还有：例1、计算1、化简（用 形式表示）①课堂练习1．方程 的解集为（ ） A． B． C． D． A．1 B．2 C．3 D．43．化简： ； 4．若 ，则 的值为 ；5.已知 ，求 的值为___________； DA019028或56 6、计算练习： 有13个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组7个队,第二组6个队.各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决出冠军、亚军,共需要比赛多少场?课件12张PPT。平均分组和不平均分组问题问1:把4本书平均分成两组有多少种分法？ 问2：若把4本书分成一堆1本，一堆3本，有几种分法？问3：若把4本书分成一堆1本，一堆1本，一堆2本，有几种分法？例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；例題講解：解：（1）根据分步计数原理得到：种（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，
这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，
设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同
学有 种方法．根据分步计数原理 可得： ，所以．
因此，分为三份，每份两本一共有15种方法例題講解：点评：本题是分组中的“均匀分组”问题． 一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素），共有
种方法。例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同
的选法： （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，
一人3本；解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有
种方法．（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
种方法．例題講解：例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同
的选法：
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有
种方法；②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有
种方法；③“1、1、4型”，有 种方法，所以，一共有90+360+90＝540种方法．例題講解：分配问题(分人的，与次序有关)分组问题(分堆的，与次序无关)例2．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共
有多少种不同的放法？
（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空
盒的放法有多少种？解：（1）根据分步计数原理：一共有 种方法； （2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个
“捆绑”在一起看成一个元素有 种方法；第二步：从
四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法，所以，
一共有 ＝144种方法 例題講解：例3．马路上有十盏路灯，为节约用电又不影响
照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关
掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的
情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间
的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数
为 种方法。例題講解：1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且
票必须分完，那么不同的分法种数是 ．2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中
有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法. 3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个. 9830課堂練習：4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为———。5．某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法———。421．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；
2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；
3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决；
4．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题. 課堂小結第一章 计数原理
班级 姓名 学号 得分
一、选择题 （每小题5分）
1．将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有（ ）
A． B． C． D．
2．从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机
各台，则不同的取法共有（ ）
A．种 B.种 C.种 D.种
3．个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）
A． B． C． D．
4．共个人，从中选1名组长1名副组长，但不能当副组长，
不同的选法总数是（ ）
A. B． C． D．
5．现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、
物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）
A．男生人，女生人 B．男生人，女生人
C．男生人，女生人 D．男生人，女生人.
6．的值为（ ）
Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．64
A. B． C． D．
7．的展开式中的项的系数是（ ）
A. B． C． D．
8．展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题 （每小题5分）
1．从甲、乙，……，等人中选出名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.
2．名男生，名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.
3．由这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.
4．在的展开式中，的系数是 .
5．在展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，
则 ， .
6．在的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？
7．用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则 .
8． 5555除以8的余数是＿＿＿
1._______， ______， ________； 2.___________；
3.____________； 4.____________；
5._______，________； 6.____________；
7.____________； 8.____________；
三、解答题
1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.
（1）高三年级学生会有人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2）高二年级数学课外小组人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）有八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
2．个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头，
（2）甲不排头，也不排尾，
（3）甲、乙、丙三人必须在一起，
（4）甲、乙之间有且只有两人，
（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，
（6）甲在乙的左边（不一定相邻），
（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，
（8）甲不排头，乙不排当中。
4．已知展开式中的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大,求展开式中的系数最大的项和系数量小的项.
5．（1）在的展开式中，若第项与第项系数相等，且等于多少？
（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为，
则求展开式中二项式系数最大项。
6．已知其中是常数,计算。
第一章 计数原理
一、选择题
1．B 每个小球都有种可能的放法，即
2．C 分两类：（1）甲型台，乙型台：；（2）甲型台，乙型台：
3．C 不考虑限制条件有，若甲，乙两人都站中间有，为所求
4．B 不考虑限制条件有，若偏偏要当副组长有，为所求
5．B 设男学生有人，则女学生有人，则
即
6．A
令
7．B
8．A 只有第六项二项式系数最大，则，
，令
二、填空题
1．（1） ；（2） ；（3）
2． 先排女生有，再排男生有，共有
3． 既不能排首位，也不能排在末尾，即有，其余的有，共有
4． ，令
5．
6． 先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有，其余的，共有
7． 当时，有个四位数，每个四位数的数字之和为
；当时，不能被整除，即无解
8． 不考虑的特殊情况，有若在首位，则
三、解答题
1．解：（1）①是排列问题，共通了封信；②是组合问题，共握手次。
（2）①是排列问题，共有种选法；②是组合问题，共有种选法。
（3）①是排列问题，共有个商；②是组合问题，共有个积。
2．解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；
（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种；
（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的全排列，即，则共有种；
（4）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交换有，
把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列，
则共有种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排
这五个空位，有，则共有种；
（6）不考虑限制条件有，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，
即种；
（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即
（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲排头，乙排当中一次，即
4．解：，的通项
当时，展开式中的系数最大，即为展开式中的系数最大的项；
当时，展开式中的系数最小，即为展开式中
的系数最小的项。
5．解：（1）由已知得
（2）由已知得，而展开式中二项式
系数最大项是。
6．解：设，令，得
令，得
高二数学排列组合测试题
一、选择题
1．在今年公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法宣传人员各一名，报考农业公务员的考生有10人，则可能出现的录用情况种数是（ B ）
A．5040 B．2520 C．1260 D．210
2. 若一位学生把英语单词“error”中字母的拼写错了，则可能出现错误的种数是（ Ｃ ）
Ａ．9 Ｂ．10 Ｃ．19 Ｄ．20
３．从10个学生中挑选若干人组成一组，如果必含其中某人的组合数等于必不含某人的
组合数，则这样的一个组合的人数有（ Ｂ ）
Ａ．４个 Ｂ．５个 Ｃ．６个 Ｄ．７个
４. 4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 （ Ｂ ）
A．48 B．36 C．24 D．18
５．小王打算用70元购买面值为20元和30元的两种IC电话卡，若他至少买一张，
则不同的买法一共有（ Ｃ ）
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
６．编号为１、２、３、４、５的五个人，分别去坐在编号为１、２、３、４、５的五个
座位上，至多有两个号码一致的坐法有（ Ｄ ）种．
Ａ．１２０ Ｂ．１１９ Ｃ．１１０ Ｄ．１０９
７．已知直线（a，b不全为0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ C ）
A．60条 B．66条 C．72条 D．78条
８．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有
2和3时，则2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有 （ D ）
A．9个 B．15个 C．45个 D．51个
9．在某市举行的“长城杯”足球比赛中，由全市的6支中学足球队参加.比赛组委会规定：比赛采取单循环赛制进行，每个队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在今年即将举行的“长城杯”足球比赛中，参加比赛的市第一中学足球队的可能的积分值有
A.13种 B.14种 C.15种 D.16种 （ C ）
10．氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，其肽链由７种不同的氨基酸构成，
若只改变其中的三种氨基酸的位置，其余四种不变，则不同的改变方法有（Ｃ ）种．
Ａ．２１０ Ｂ．１２６ Ｃ．７０ Ｄ．３５
11．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，
若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同
的排班种数为（ Ａ ）
A． B． C． D．
12．某中学拟于下学年在高一年级开设《矩阵与变换》、《信息安全与密码》、《开关电路与布尔代数》等三门数学选修课程。在计划任教高一的10名数学教师中，有3人只能任教《矩阵与变换》，有2人只能任教《信息安全与密码》，另有3人只能任教《开关电路与布尔代数》，这三门课都能任教的只有2人。现要从这10名教师中选出9人，分别担任这三门选修课程的任课教师，且每门课程安排3名教师任教，则不同的安排方案共有：（ D ）
A．种 B．种 C．种 D．种
二、填空题
13. 有１０个优秀名额，分到高三年级一、二、三班，他们各班的名额数不少于
他们的班级数，共有 １５ 种分配方案．
14.六名同学报考A、B、C三所学校，如果每所学校至少有1人报考，则不同的报考方法
共有 540 种。
15．“渐升数”是指正整数中每个数字比其左边的数字大的数，如：24578，
则五位“渐升数”共有 １２６ 个．
16.雅典奥运会的第三天共产生8枚金牌，分别为中国4枚，美国2枚，日本、希腊各一枚，在奏国歌的先后顺序中，奏希腊国歌的前后都是奏中国国歌，美国国歌不连在一起奏的，则这天奏国歌的不同顺序有__120___ _种。
17．如图,其中Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ为四个村庄，
要修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，
则不同的修筑方案共有 １６ 种。
三、解答题
１8．从1到9的九个数字中取三个偶数、四个奇数，试问：
（1）．能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）．上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（3）．（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
（4）．（1）中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？
解：（l）．第一步在4个偶数中取3个，可有种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有种
情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有种情况，所以符合题意的七位数有个．
（2）．上述七位数中，三个偶数排在一起的有个．
（3）．上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有 个．
（4）．上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入
5个空档，共有个．
19．平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．
（1）过每两点连线，可得几条直线?
（2）以每三点为顶点作三角形可作几个?
（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条?
（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量?
解：（１）．；
（２）． 个；
(３)． 条射线．
（４）． 个向量．
20.某种产品有3只不同的次品和6只不同的正品，每次取出一只测试，直到3只次品
全部测出为止，求第三只次品在第6次测试时被发现的不同的测试情况有多少种.
解:第六次测试到次品的方法有C种，前5次有2只次品和3只正品的测试方法
有C·A种. 因此共有C·C·A=7200(种).
高二数学测试试卷（二项式定理、概率、随机变量）
（理科）
一、选择题（5×12=60分）
1、在的展开式中，x3的系数和常数项依次是（ ）
A.20，20 B.15，20 C.20，15 D.15，15
2、若＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ax4，则的值为（ ）
A.1 B.－1 C.0 D.2
3、说法正确的个数有
①对立事件一定是互斥事件；②两个对立事件中至少有一个发生；③两个对立事件中至多有一个发生；④两个对立事件中有且只有一个发生；⑤掷一骰子，A=“出现3点”，B=“出现偶数点”则
A、 1个 B、 2 个 C、 3个 D、>＝4 个
4、同时抛两枚硬币，至少有一个正面的概率为
A、 B、 C、 D、
5、有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）
A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
6、在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A. B. C. D.
7、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=25外的概率是
A. B. C. D.
8、已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，P)，且 Eξ=7，Dξ=6，则P等于（ ）
A． B． C． D．
9、已知随机变量的的分布列为
ξ
1
2
3
P
0.4
0.2
0.4
则Dξ等于（ ）
A．0 B．0.8 C．2 D．1
10、口袋中有5只球，编号为，从中任取3个球，以表示取出球的最大号码，则 （ ）
A. 4 B. 5 C. 4.5 D. 4.75
11、某次语文考试中考生的分数X~ N(90，100)，则分数在70~110分的考生占总考生数的百分比是( )
A、68.26% B、95.44% C、99.74% D、31.74%
12、若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10,0.5)，则该随机变量的方差等于( )
A、10 B、100 C、 D、
附：正态分布密度函数
二、填空题（4×4=16分）
13、的展开式中x3项的系数是 。
14、在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为________。
15．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元） .
16、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张。已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率为____________。
高二年级考试答题卡
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[C]
[C]
[C]
[C]
[C]
[C]
[C]
[C]
[C]
[C]
[C]
[C]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
13、__________;14、____________;15、_______________;16、_____________;
三、解答题（共74分）
17．甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球。（1）求取出的两个球是不同颜色的概率.（2）请设计一种随机模拟的方法，来近似计算（1）中取出两个球是不同颜色的概率（写出模拟的步骤）。（12分）
18．如图所示，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画
了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm、4cm、6cm，某人站在3m之外向此板投镖。设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：（1）投中大圆内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？（3）投中大圆之外的概率是多少？（12分）
19．有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进住一间，而且一个房间也可以住几个人求下列事件的概率：（1）事件A：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B：恰有4个房间中各有1人；（3）事件C：指定的某个房间中有两人；（4）事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人（12分）
20．已知A、B、C为三个相互独立事件，若事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，事件C发生的概率为，求下列事件的概率：（1）事件A、B、C都不发生；（2）事件A、B、C不都发生；（3）事件A发生且B、C恰好发生一个。（12分）
21、有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中两张写有数字0，三张写有数字1，三张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中三张写有数字0，两张写有数字1，三张写有数字2。
（1）如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？（2）如果从甲、乙两个盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望值。（12分）
22、据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。设工地上有台大型设备，为保护设备有以下三种方案。方案1：运走设备，此时需花费3800元。方案2：建一保护围墙，需花费2000元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元。方案3：不采取措施，希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。试比较哪一种方案好？（14分）
参考答案：
1、解：，
分别令得r=3或r=2，因此x3的系数和常数项依次是20，15，选择C。
2、解：令x=1得，
令x=－1得，
因此=
，选择A。
3、解：①对，两事件对立是两事件互斥的充分非必要条件。②对。③对。④对。⑤错。。选择D。
4、解：同时抛两枚硬币，出现四个结果，即{正正，正反，反正，反反}，因此至少有一个正面的概率为，选择D。
5、C。
6、解：如图所示，设△ABC的边BC上的高为AD，在AB边上任取一点P，由点P作PE⊥BC，垂足为E，则易知当PE>AD时，△PBC的面积大于，即当时，△PBC的面积大于，记“△PBC的面积大于”为事件A，则由几何概型的概率公式，得。
选择B。
7、解：连续掷两次骰子共得到36个结果，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）；（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）；（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）；（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）；（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）；（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），其中共有21个点落在圆x2+y2=25外，其概率为，选择B。
8、解：依题意，，解得p=，选择A。
9、解：，
，选择B。
10、解：∈{3，4，5}，，，，
，选择C。
11、解：因为X~ N(90，100)，所以μ=90，σ=10，μ－2σ=70，μ+2σ=110，分数在70~110分的考生占总考生数的百分比是95.44%。选B。
12解：依题意，图象最高点的坐标是(10,0.5)，即函数的最大值是0.5，因此，所以。所以方差为。选C。
13、解：的展开式中x3项的系数为。
14、分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域。当点M位于图中的线段上时，AM解：在AB上截取，于是P(AM。答：AM的长小于AC的长的概率为。
15、解：该公司投资获利为X元，则X∈{6000，－25000}，则P（X=6000）=0.96，P（X=－25000）=0.04，则该公司一年后估计可获收益的期望是6000×0.96－25000×0.04=4760。
16、解：设第一次抽到A为事件B，第二次抽到A为事件C，则第1次和第2次都抽到A为事件BC。解法1 在第一次抽到A的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A，所以在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为。
解法2 在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为。
解法3 在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为。
17、解：（1）设A＝“取出的两球是相同颜色”，B＝“取出的两球是不同颜色”，则事件A的概率为： P（A）＝＝。 由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率为： P（B）＝1－P（A）＝1－＝
（2）随机模拟的步骤：第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数。用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球。第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n。第3步：计算的值。则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值。
18、解：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为。
记“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则事件A所占区域面积为；事件B所占区域面积为；事件C所占区域面积为。
由几何概型的概率公式，得(1) ；(2) ；
(3) 。
评析：对于（3）的求解，也可以直接应用对立事件的性质求解。
19、解：4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：
（种）
（1）指定的4个房间每间1人共有种不同住法
（2）恰有4个房间每间1人共有种不同住法
（3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：（种），
（4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为：（种），
20、解：记“A发生”为事件A，“B发生”为事件B，“C发生”为事件C
（1） （2）
（3）
21、解：（1） （2），
，，
，。ξ分布列：
，
22、解：比较三者费用的期望值即可。 A方案：费用为3800。
2000
6200
P
0.99
0.01
B方案：设为费用，则列出分布列如下：
所以
C方案：设为费用，则列出分布列如下：
10000
60000
P
0.74
0.25
0.01
所以。
经比较，应选择方案2。
