2023年温德克英联盟湖北部分县市地区普通高中高二年级11月期中综合性选拔考试
答案和解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C C A C C A B BCD ACD
11 12
BD ABC
1.【答案】
【解答】
解：直线，故直线的斜率等于，
设直线的倾斜角等于，则，
且，故，
同理直线的倾斜角为，
所以直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是．
故选B．
2.【答案】
【解答】
解：设椭圆方程，．
由消得，
，整理得，
即．
又，焦点在轴上，，
由解得，．
长轴长为．
故选：
3.【答案】
【解答】
解：由 与 三点共面以及 ，
可得， ，所以 ．
故选：．
4.【答案】
【解答】
解：由题意，灯泡不亮包括个开关都打开，开，
都开且中有一个开，另一个闭，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，
所以灯泡不亮的概率为，
所以灯泡亮的概率为
故答案选：．
5.【答案】
【解答】
解：设椭圆 的长半轴为 ，则
设 关于 平分线的对称点为，
由椭圆对称性及角平分线性质可知， ，三点共线且
又因为 ，所以 是正三角形，
设 ，
由椭圆定义可得 ， ，
又 ，
所以 ，
所以 ，即 ， ，
所以 的面积 ．
故选：．
6.【答案】
【解答】
解：如图，连接，交于点，连接，易知过点，取的中点，连接，，根据正八面体的几何特征，
可知，，又 平面， 平面，平面 平面，为二面角的平面角易知平面，则，是直角三角形，又 ，， ， 在等边三角形中， ，同理 ．
在中， ，故选C．
7.【答案】
【解答】
解：设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，由题意知，即，
底面外接圆半径，
由球的截面圆性质知，
当且仅当时取等号，
将三棱柱补成一四棱柱，
如图，
知，即为异面直线与所成角或补角，
，，
所以．
故选A．
8.【答案】
【解答】
解：设，，为坐标原点，
，，
由，，，
可得，两点在圆上，
且，
即有，
即三角形为等边三角形，，
的几何意义为：
点，两点到直线的距离与之和，
设中点为，则距离与之和等于到直线的距离的倍，
圆心到线段中点的距离，
圆心到直线的距离，
到直线的距离的最大值为，
的最大值为，
故选D．
9.【答案】
【解答】解：当取的是一支一等品和一支二等品时，选择中两事件可同时发生，故A错；
至少有一支一等品的对立事件是两个都是二等品，故B正确；
至多有一支一等品包含两支都是二等品这种情况，故C正确；
对于，当事件同时发生时，即取的是一支一等品和一支二等品，
，故D错误．
故选BC．
10.【答案】
【解答】
解：，，，
因为所以A正确；
，
在方向上的投影向量为，所以B错误；
在方向上的投影向量的长度，
点到直线的距离为故C正确；
，
的面积
，故D正确故选ACD．
11.【答案】
【解答】
解：对于，由已知及椭圆的对称性得点必在上，且，
所以，故A错误
对于，因为点在内，所以，所以，又，所以，
则的离心率，故B正确
对于，当点在短轴端点时，最大，此时，
所以，故C错误
对于，当的离心率时，，所以，则，
又，
当且仅当，，三点共线且点位于线段上时等号成立，
所以，故D正确．
故选BD．
12.【答案】
【解答】
解：取中点，中点，中点，
由题意可得，，
又平面，平面，
可得平面，
同理可得平面，
，，平面，
平面平面，
若平面，则点的轨迹为线段，
已知正方体的棱长为，故点的轨迹的长度为，A正确；
当时，，点在线段上运动，
由题意易得，故点到的距离是定值，
所以的面积为定值，故B正确；
三角形是边长为的等边三角形，面积为定值，
当时，点满足，其中，，
中点为，中点为，
由题意可得点在线段上运动，且，
平面，平面，
所以平面，
可得点到平面的距离是定值，
可得三棱锥的体积为定值，
故C正确；
以点为原点，分别，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，
，
若存在点使得平面，
那么，
而，
故当时，不存在点使得平面，故D选项错误
13.【答案】
【解答】
解：因为点关于轴的对称点是，
已知点关于轴的对称点是，
，，，即，
故点坐标为，
故所求距离．
故答案为．
14.【答案】
【解答】
解：与关于对称，是 的垂直平分线，
，，
，
，
，其中为的中点，
，
，，
，
，
，
而，
，
，解得，
，
的方程为．
故答案为： ．
15.【答案】
【解答】
解：圆的方程为：，
圆心，半径．
根据题意，
设圆心到直线的距离为
则当时，四边形面积取最小值
圆心到直线的距离为．
由，
，解得，
，
所求直线的斜率为：．
故答案为．
16.【答案】
【解答】
解：当前两天 部、 部的比分为 和 时，
先从两天中选出一天，比赛比分为 ，三场比赛前两场， 部一胜一负，第三场比赛 获胜，另外一天比赛比分为 ，
故概率为 ，
当前两天 部、 部的比分为 和 ，附加赛 部获胜时，两天中选出一天，比赛比分为 ，
故概率为 ，
故比赛进行 局且 部获得最终冠军的概率为 ．
故答案为：
17.【答案】解：“两次数字之和为偶数”则数字同奇或同偶，符合条件的有，，，，，，，，故概率为．
因为，
所以，故B与是独立事件．
18.【答案】解：证明：，，，，
则．
平面，．
，平面，
平面．
解法一：以为原点，分别以和的方向为轴，轴和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，设，
则，，
由，得到，可求得，
所以，
设平面的法向量为，
则令，则，
设和平面所成角为，
所以．
解法二：连接，平面，平面，．
，且，平面，，
在平行四边形中，设，则，
可得，
，
由，解得则，易得．
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
，，易得，
，，，故为直角三角形，所以，
又，设和平面所成角为，
．
【多种解法】解法一，利用向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设和平面所成角为，即可求出和平面所成角的正弦值；
解法二：由余弦定理求出，则，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，由得，设和平面所成角为，即可求出和平面所成角的正弦值．
19.【答案】解：因为，两点分别在直线，上运动， 所以的中点的轨迹为与，平行且到，距离相等的直线， 设其方程为： ，与轴的交点分别为，，此两点的中点为， 因为点在直线上，所以，解得， 所以：， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离．
若直线过点且与轴垂直，则的方程为， 直线与，的交点分别为和， 两交点之间的距离为，不符合题意， 所以设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，得， 即直线与的交点坐标为， 联立，得， 即直线与的交点坐标为， 所以两交点之间的距离为， 解得或， 故所求直线的方程为或， 即或．
20.【答案】解：由题意，可得，，，
所以，
所以椭圆的方程为，
所以离心率为；
当直线斜率存在时，可设：，
代入椭圆方程，得，
设，，则，
因为直线，垂直，斜率之积为，所以，
所以，
将代入，整理化简得，
所以或，
由直线：，
当时，直线经过，与点重合，舍去，
当时，直线经过定点，
当直线斜率不存在时，可设：，
则，
因为，所以，解得舍去，
综上所述，直线经过定点，
而在上的射影的轨迹为以为直径的圆，
其中，
所以圆心，半径，
所以圆的方程为，即为点的轨迹方程．
21.【答案】解：军营所在区域为：，
圆：的圆心为原点，半径为，
设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点，
因为，所以线段的中点为，
则，
又，
联立解得：
即．
所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，
即为．
过点倾斜角为的直线方程为：，
设点，，
联立，消去得．
所以；
则
．
22.【答案】解：如图，过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，
所以，又为弧的中点，则是弧的中点，
所以，而由题设知：，则，
所以，即，
由底面，面，得，又，平面，
所以面，又面，
所以面面．
由题意可构建如图所示的空间直角坐标系，
令半圆柱半径为，高为，则，，，，
所以，，，，
若是面的一个法向量，
则，
令，则，
若是面的一个法向量，
则，
令，则，
所以，，
整理可得，则，
由题设可知，此时点，，，
则
所以点到直线的距离． 绝密★启用前
2023年温德克英联盟湖北部分县市地区普通高中高二年级11月期中综合性选拔考试
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是．( )
A. B. C. D.
2.已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
3.已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于( )
A. B. C. D.
4.如图，已知电路中有个开关，开关闭合的概率为，其它开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左、右焦点分別为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为
( )
A. B. C. D.
6.十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐。我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体如图。假设该正八面体的所有棱长均为，则二面角的余弦为( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱柱的侧面积为，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
8.已知实数、、、满足：，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.一个盒子中装有支钢笔，其中支一等品，支二等品，从中不放回的依次随机取出支，则下列说法正确的是( )
A. 事件“至少有一支一等品”与“至少有一支二等品”是互斥事件
B. 事件“至少有一支一等品”与“都是二等品”是对立事件
C. 记事件“至多有一支一等品”，事件“两支都是二等品”，则A.
D. 记事件“至多有一支一等品”，事件“至多有一支二等品”，则
10.已知空间三点，，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 点到直线的距离为
D. 的面积为
11.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在内，若点为上任意一点，则下列结论正确的是( )
A. 当，关于坐标原点对称时，
B. 的离心率的取值范围是
C. 在上存在点，使大于
D. 当的离心率为时，的最大值为
12.已知正方体的棱长为，点满足，其中，，为棱的中点，则下列说法正确的有( )
A. 若平面，则点的轨迹的长度为
B. 当时，的面积为定值
C. 当时，三棱锥的体积为定值
D. 当时，存在点使得平面
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是，则点到坐标原点的距离 ．
14.已知椭圆：的两个焦点为和，直线过点，点关于的对称点在上，且，则的方程为 ．
15.已知点是直线上一动点，，是圆：的两条切线，，为切点，若四边形的最小面积是，则的值为 ．
16.为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部、进行体育比赛，由部、部争夺最后的冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若部、部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天部、部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．则比赛进行局且部获得最终冠军的概率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
一个质地均匀的正四面体的四个面分别标有数字，，，，连续抛掷这个正四面体两次，并记录正四面体朝下的数字．
记事件“两次数字之和为偶数”，求
记事件“第一次数字为奇数”，事件“第二次数字为偶数”，求与并判断事件与是否相互独立．
18.本小题分
在三棱柱中，平面，已知，．
求证：平面；
在棱不包含端点上，且，求和平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知直线：与：．
若，两点分别在直线，上运动，求的中点到原点的最短距离；
若直线过点，且被直线，截得的线段长为，求直线的方程．
20.本小题分
已知椭圆：的长轴长为，左顶点到上顶点的距离为，为右焦点．
求椭圆的方程和离心率；
设直线与椭圆交于不同的两点，不同于，两点，且直线时，求在上的射影的轨迹方程．
21.本小题分
唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营．军营所在区域可表示为：．
求“将军饮马”的最短总路程；
因军情紧急，将军来不及饮马，直接从点沿倾斜角为的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为，，军营中心与，连线的斜率分别为，，试求的值．
22.本小题分
如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面．
证明：平面平面；
若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为，求点到直线的距离．
