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2023-2024学年度第一学期高三期中检测
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.A:2.B:3.D:4.C:5.D:6.D:7.A:8.C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ABD:10.AC;11.ABD;12.BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.40:14.号；15.4或516。-1
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)解：解法一：①②→③
由②得：a=√5c
…2分
又因①知：a2-c2=bc,解得b=2c
…5分
所以，4骨B-受C=召
…7分
2
6
所以b+bcosA=2c+c=3c,√5 asin B=√5.√5c1=3c
所以b+bcosA=√3 asin B
…10分
解法二：①③→②
由③得：sinB+sin Bcos A=5 sin Asin B
…2分
1
整理得：sin(A-乃)=号
…4分
62
所以A=工
…5分
由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2-bc
…7分
又由①知：a2-c2=bc,
整理得a=√5c
…9分
即：sinA=√5sinC.
…10分
解法三：②③→①
由③得：sinB+-sin Bcos A=√5 sin Asin B
…2分
高三数学试题
第1页（共6页）
整理得：sin(A
)=
…4分
6
所以A=骨
…5分
由②得：C=
,a=√3c
…7分
6
则B=T，b=2C
…9分
所以a2-c2=2c2=bc
…10分
18.(12分》解：))=（++).定义城为>-1且x≠0叫
fo-h0r小a0
…2分
由此可得f(1)=2ln2,f'()=1-ln2
…4分
所以函数y=f(x)在点(1，f(x)处的切线方程为y-2ln2=(1-ln2)(x-1)
即(1-ln2)x-y+3ln2-1=0
…5分
2)f()=-h+y,1-x-ln+)
x2
令H()=x-n(1+x,则H(x)=1-1=,x
1+x1+x
…7分
因为H(0)=0,
…8分
所以x∈(-1,0)，H'(x)<0,H(x)单调递减，H(x)>H(O)=0,
f'(x)>0,f(x)单调递增
…10分
x∈(0，+o),H'(x)>0,H(x)单调递增，H(x)>HO)=0,
∫'(x)>0,f(x)单调递增
所以，函数∫(x)的单调增区间为(-1,0)和(0，+0)
…12分
339
19.(12分)解：(1)第一回合甲得分，第二回合甲得分的概率为二×二=
…1分
5525
高三数学试题第2页（共6页）参照秘密级管理★启用前
淄博市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则复数z的虚部为（）
A． B． C． D．
3．命题“”的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
4．数列满足，，则（）
A． B．3 C．－2 D．
5．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的值为（）
A．1 B． C． D．
6．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需6从名管理者中选取4人分别到温州、金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（）
A．108种 B．216种 C．240种 D．252种
7．已知函数是R上的偶函数，，当时，，则（）
A．的图象关于直线对称 B．4是的一个周期
C． D．
8．设函数有7个不同的零点，则正实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识与能力．某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况，根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图．
所示，则（）
A．样本的众数为67.5 B．样本的80%分位数为72.5
C．样本的平均数为66 C．该校男生中不高于60公斤的学生大约为300人
10．正数a，b满足，，则（）
A． B． C． D．
11．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）
A． B． C．事件A与事件B相互独立 D．
12．已知偶函数的周期为π，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．不等式的解集为．
D．在上有两个相异实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在的展开式中含项的系数是______．
14．已知向量，，且，则______．
15．若项数为n的数列，满足：，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，…，是公差为－2的等差数列，数列的最小项等于－10，记数列的前项和为，若，则k的值为______．
16．若对任意的，，，恒成立，则实数a的最大值
为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个计分．
18．（12分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调增区间．
19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．
（1）求第三回合甲发球的概率；
（2）设前三个回合中，甲的总得分为X，求X的分布列及期望．
20．（12分）已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）删去数列中的第项（其中，2，3，……将剩余的项按从小到大的顺序排
成新数列，求数列的前n项和．
21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金（亿元）与年销售额（亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金和年销售额的数据，，2，…，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令，，经计算得如下数据：
20 66 770 200 460 4.20
3125000 21500 0308 14
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；
（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如下表：
比较喜欢 不太喜欢 合计
年龄小于30岁 200 100 300
年龄不小于30岁 150 150 300
合计 350 250 600
根据小概率的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关．
附：①相关系数，
回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，；
②，；
α 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
③参考数据：．
22．（12分）已知函数，a为实数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，
，证明：．
