辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 941.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-20 13:38:52 | ||
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文档简介
沈阳市郊联体2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷 选择题（共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知全集，集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（ ）
A.156 B.157 C.158 D.159
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知等比数列的首项为1，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧，所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，导函数为，若恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选或者多选不得分。）
9.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与所成的角的大小为
B.直线平面
C.平面平面
D.平面将正方体截成的两部分的体积之比为
10.设数列的前项和为，关于数列，下列命题中正确的是（ ）
A.若，则既是等差数列又是等比数列
B.若（，为常数），则是等差数列
C.若，则是等比数列
D.若是等比数列，则，，也成等比数列
11.已知函数，给出下列四个说法正确的是（ ）
A.的一条对称轴为；
B.的最小正周期为；
C.在区间上单调递增：
D.的图象关于点成中心对称.
12.已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A.若恰有2个零点，则或
B.若恰有3个零点，则
C.当时，恰有5个零点
D.当时，仅有1个零点
第II卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共计20分。）
13.已知向量，，若，则______.
14.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为攒尖，清代称攒尖，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑。如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为.则侧棱与底面外接圆的半径的比为______.
15.已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.
16.若曲线的一条切线为，其中，为正实数，则的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6个小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡相应位置上。）
17.已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为.
（1）求的单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.
18.如图①所示，在中，，，，，分别是线段，上的点，且，将沿折起到的位置.使，如图②.
（1）若点在线段上，且，求证：平面；
（2）若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
图① 图②
19.在中，内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角的正弦值：
（2）若，求边上的中线的最大值.
20.已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对数列，，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列的前2023项的和.
21.如图，在三棱柱中，，，，，，为中点，.
（1）求证：；
（2）线段上是否存在一点，使得与面的夹角正弦值为.
22.已知函数，.
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）若为函数的极值点，求证：
沈阳市郊联体2023-2024学年高三上学期期中考试
数学答案
一.单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.D 2.B 3.B 4.A5.A6.C7.B 8. C
二.多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选或者多选不得分）
9.AD 10.BC 11.AC 12.CD
三.填空题（本大题共4个小题，每题5分，共计20分）
13. 14. 15. 16.
四.解答题（方法不唯一，可酌情给分）
17（1），
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以，
令，
则，
所以的单调递减区间为；
（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，，则，
所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是
18（1）证明：在中，过作交于点.
因为，所以，
在三角形中，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以.又平面，平面，
所以平面
（2）解法一：
因为，，所以，所以，.
因为，，平面，所以平面，
所以平面.又由，可建立如图所示直角坐标系，
则，，，，，
则：，，
设平面的法向量为，则
，即，
令得，
可取平面的法向量，
设平面与平面所成角为，则
，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为
解法二：如图所示，因为，，所以，
所以，
因为，，平面，所以平面，
所以，又，，，平面
所以平面
在中，过作，交于点，
在平面中，过作交直线于点，
由平面可得平面，
所以即为平面与平面夹角.
在中，由为中点可得：，为中点，
在中，，所以，.
所以，所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
19.（1）∵，
∴
∴，又，∴.
（2）由余弦定理得：，
因为，所以，
（当且仅当时取等号），
∵，
∴
，
∴，即的最大值为
20.（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意，，
所以
①
当时，②，
①②可得，，
当时，，适合，
所以（不验证扣1分）
（2）因为，所以在数列中，从项开始到项为止，
共有项数为，
当时，；
当时，，
所以数列前2023项是项之后还有项为2，
所求和为
（另解）
21.（1）∵，，，∴
∵为中点，∴，∵
∴，∴
∵，∴
∵且为中点，∴，
∵，，平面，∴平面，
∵平面，∴
（2）如图，以为原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，
，，
令，则，
令面的法向量为，，
，
解得，（舍）
所以是靠近的三等分点
22.（1）定义域为，则，
当时，，
所以单调递增区间为，单调递减区间为；
若，即时，在上单调递减，故；
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，
故；
若，即时，则在上单调递增，故.
所以，
（2），
则，
因为是函数的极值点，所以，即，
要证，
只需证，即证：，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，即：，
所以，所以，
①当时，因为，，所以
②当时，因为，所以，
所以，要证，
只需证，
即证对任意的恒成立，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
即当时，成立
综上：原不等式成立.
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷 选择题（共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知全集，集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（ ）
A.156 B.157 C.158 D.159
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知等比数列的首项为1，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧，所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，导函数为，若恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选或者多选不得分。）
9.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与所成的角的大小为
B.直线平面
C.平面平面
D.平面将正方体截成的两部分的体积之比为
10.设数列的前项和为，关于数列，下列命题中正确的是（ ）
A.若，则既是等差数列又是等比数列
B.若（，为常数），则是等差数列
C.若，则是等比数列
D.若是等比数列，则，，也成等比数列
11.已知函数，给出下列四个说法正确的是（ ）
A.的一条对称轴为；
B.的最小正周期为；
C.在区间上单调递增：
D.的图象关于点成中心对称.
12.已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A.若恰有2个零点，则或
B.若恰有3个零点，则
C.当时，恰有5个零点
D.当时，仅有1个零点
第II卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共计20分。）
13.已知向量，，若，则______.
14.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为攒尖，清代称攒尖，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑。如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为.则侧棱与底面外接圆的半径的比为______.
15.已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.
16.若曲线的一条切线为，其中，为正实数，则的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6个小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡相应位置上。）
17.已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为.
（1）求的单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.
18.如图①所示，在中，，，，，分别是线段，上的点，且，将沿折起到的位置.使，如图②.
（1）若点在线段上，且，求证：平面；
（2）若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
图① 图②
19.在中，内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角的正弦值：
（2）若，求边上的中线的最大值.
20.已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对数列，，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列的前2023项的和.
21.如图，在三棱柱中，，，，，，为中点，.
（1）求证：；
（2）线段上是否存在一点，使得与面的夹角正弦值为.
22.已知函数，.
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）若为函数的极值点，求证：
沈阳市郊联体2023-2024学年高三上学期期中考试
数学答案
一.单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.D 2.B 3.B 4.A5.A6.C7.B 8. C
二.多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选或者多选不得分）
9.AD 10.BC 11.AC 12.CD
三.填空题（本大题共4个小题，每题5分，共计20分）
13. 14. 15. 16.
四.解答题（方法不唯一，可酌情给分）
17（1），
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以，
令，
则，
所以的单调递减区间为；
（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，，则，
所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是
18（1）证明：在中，过作交于点.
因为，所以，
在三角形中，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以.又平面，平面，
所以平面
（2）解法一：
因为，，所以，所以，.
因为，，平面，所以平面，
所以平面.又由，可建立如图所示直角坐标系，
则，，，，，
则：，，
设平面的法向量为，则
，即，
令得，
可取平面的法向量，
设平面与平面所成角为，则
，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为
解法二：如图所示，因为，，所以，
所以，
因为，，平面，所以平面，
所以，又，，，平面
所以平面
在中，过作，交于点，
在平面中，过作交直线于点，
由平面可得平面，
所以即为平面与平面夹角.
在中，由为中点可得：，为中点，
在中，，所以，.
所以，所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
19.（1）∵，
∴
∴，又，∴.
（2）由余弦定理得：，
因为，所以，
（当且仅当时取等号），
∵，
∴
，
∴，即的最大值为
20.（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意，，
所以
①
当时，②，
①②可得，，
当时，，适合，
所以（不验证扣1分）
（2）因为，所以在数列中，从项开始到项为止，
共有项数为，
当时，；
当时，，
所以数列前2023项是项之后还有项为2，
所求和为
（另解）
21.（1）∵，，，∴
∵为中点，∴，∵
∴，∴
∵，∴
∵且为中点，∴，
∵，，平面，∴平面，
∵平面，∴
（2）如图，以为原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，
，，
令，则，
令面的法向量为，，
，
解得，（舍）
所以是靠近的三等分点
22.（1）定义域为，则，
当时，，
所以单调递增区间为，单调递减区间为；
若，即时，在上单调递减，故；
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，
故；
若，即时，则在上单调递增，故.
所以，
（2），
则，
因为是函数的极值点，所以，即，
要证，
只需证，即证：，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，即：，
所以，所以，
①当时，因为，，所以
②当时，因为，所以，
所以，要证，
只需证，
即证对任意的恒成立，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
即当时，成立
综上：原不等式成立.
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