3.1.2椭圆的几何性质 (第一节课用) 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
椭圆的几何性质
课本P41例3
P42练习4
一. 求点的轨迹方程
复习练习
如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’中点M的轨迹。
解：设M(x,y), P(x0,y0)
所以M点的轨迹是一个椭圆。
复习练习
P为椭圆 + =1上一点,F1、F2是其左、右焦点
（1）若|PF1|=3,则|PF2|=_________________
（2）过左焦点F1任作一条弦AB，
则⊿ABF2的周长为___
（3）若点P在椭圆上运动,
则|PF1| |PF2|的最大值为___
y
x
0
F2
F1
P
B
A
P
二、椭圆 简单的几何性质
1、范围：
-a≤x≤a, -b≤y≤b
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
2、椭圆的顶点
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ ），
令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ）。
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1
A2(a,0)
0, ±b
±a, 0
*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
焦点总在长轴上!
3.椭圆的对称性
Y
X
O
P（x，y）
P1（-x，y）
P2（-x，-y）
3、椭圆的对称性
把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称；
把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称；
把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于( )对称；
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
o
x
y
所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
Y
X
原点
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
（2）
A1
B1
A2
B2
B2
A2
B1
A1
4、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：
叫做椭圆的离心率。
[1]离心率的取值范围：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁
因为 a > c > 0，所以0[2]离心率对椭圆形状的影响：
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）
y
O
x
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
a2=b2+c2
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
内容升华
4
一个范围，三对称
四个顶点，离心率
例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则
它的长轴长是： ；短轴长是： ；
焦距是： ；离心率等于： ；
焦点坐标是： ；顶点坐标是： ；
外切矩形的面积等于： ；
10
8
6
80
解题步骤：
1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：
2、确定焦点的位置和长轴的位置.
<例题2>求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a=6, e= , 焦点在x轴上
(2) 离心率 e=0.8, 焦距为8
(3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6)
求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量（a、b）
当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！
(4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，
且焦距为6
练习2：过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点 、 ；
（2）长轴长等于 ,离心率等于 ．
解:（1）由题意， ,又∵长轴在
轴上，所以，椭圆的标准方程为 ．
（2）由已知， ，
∴ ， ，∴ ，
所以椭圆的标准方程为 或 ．
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。
例4 如图.一种电影放映灯泡的放射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2,已知
求截口BAC所在椭圆的方程.
x
y
o
F1
F2
A
B
C
〈例题3〉离心率 e
(1).若椭圆 + =1的离心率为 0.5，则：k=_____
(2).若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
则其离心率e=__________
例5 点M（x,y)与定点F（4，0）的距离和它到定直线
l: 的距离的比为 ，求点M的轨迹.
例5、
解：如图，设d是点M到直线L的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：
由此得 ：
这是一个椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。
点M（x,y）与定点F（c,0）的距离 和它到定直线
的距离比是常数
求M点的轨迹。
平方，化简得 ：
椭圆的准线与离心率
离心率：
椭圆的准线 ：
o
x
y
M
L
L’
F
F’
离心率的范围：
相对应焦点F（c,0），准线是：
相对应焦点F（- c,0），准线是：
<例题6>
F为椭圆 的右焦点, P为椭圆上一
动点, 求|PF|的最大值和最小值
1.基本量: a、b、c、e
几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；
相互关系：
椭圆中的基本元素
2.基本点：顶点、焦点、中心
3.基本线: 对称轴（共两条线）
焦点总在长轴上!