陕西省咸阳市重点高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

咸阳市高新一中2022级高二年级第一学期期中考试(数学)
时间：120分钟 满分：150分
说明 ：1本试题分为四个部分，单选择题8个小题，共计40分，多项选题4个小题，共计20分，填空题4个小题，共计20分，解答题6个小题，共计70分
2 所有解答均作在答题卡指定位置，其余地方作答无效
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 椭圆 的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图, 在三棱柱 中,为的中点, 若, 则下列向量与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知双曲线 的一条渐近线方程为, 则（ ）
A. B.
C. D.3
4. 一条光线从点 射出, 与轴相交于点, 则反射光线所在直线在轴上的截距为（ ）
A. B.
C. D.
5. 在空间直角坐标系中, 已知点 , 则一定是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6. 圆 上的点到直线的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
7. 设 , 若直线与线段相交, 则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律, 其内容如下: 每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳, 而太阳则处在籿圆的一个焦点上. 将某行星 看作一个质点,绕太阳的运动轨迹近似成曲线, 行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离,距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是 18 (距离单位: 亿千米), 近日点距离和远日点距离之积是 16 , 则（ ）
A.39 B.52 C.86 D.97
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知圆 与圆外切, 则的值可以为（ ）
A. B. C.2 D.5
D.过 两点的直线方程为
11. 若方程 所表示的曲线为, 则下面四个说法中正确的是（ ）
A.曲线 可能是圆
B.若 , 则为椭圆
C.若 为椭圆, 且焦点在轴上, 则
D.若 为椭圆, 且焦点在轴上, 则
12. 如图所示, 棱长为 3 的正方体 中,为线段上的动点 (不含端点),则下列结论正确的是（ ）
A. B.与所成的角可能是
C.不是定值 D.当 时, 点到平面的距离为 1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 已知 , 且与垂直, 则______________.
14 已知过椭圆 的右焦点的直线交椭圆于两点,是椭圆的左焦点.若, 则弦的长为______________.
15已知直线 和圆相切, 则实数的值为______________.
16在四棱锥 中,,, 则这个四棱锥的高等于______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图, 在圆 上任取一点, 过点作轴的垂线段为垂足. 当点在圆上运动时, 求线段的中点的轨迹方程.
18.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)一个焦点为 , 且离心率为; (2)经过两点 .
19.已知直线 .
(1)若 , 求实数的值; (2)当 时, 求直线与之间的距离.
20.已知圆心为 的圆与直线相切.
(1)求圆 的标准方程;
(2)若圆 与圆相交于两点, 求直线的方程及弦长度.
21.如图, 在直三棱柱 中,是棱的中点.
(1)求证: 平面; (2)求平面 与平面所成角的大小.
22.已知椭圆 的一个顶点为, 离心率为, 过点,及左焦点的直线交椭圆于两点, 右焦点设为.
(1)求椭圆的方程; (2)求 的面积.
咸阳市高新一中2022级高二年级第一学期期中考试(数学)解析
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.【答案】B
【解析】将椭圆方程化为标准方程为 ,
焦点在轴上,,
长轴长 10 , 短轴长.
2.【答案】A
【解析】
.
3. 【答案】A【解析】由题设知, , 解得. 故选:A.
4.【答案】C
【解析】【分析】求出 点关于轴对称点坐标, 直线即为反射光线所在直线, 由直线方程中令得纵截距.
[解析] 关于轴的对称点为, 则反射光线所在直线为.
因为 , 所以反射光线所在直线的方程为.
令 , 得反射光线所在直线在轴上的截距为. 故选: C.
5. 【答案】C
【解析】 ,
,
,
,
,
一定为直角三角形.
6. 【答案】C
【解析】圆 化为标准方程得,圆心坐标为,
半径为 , 圆心到直线的距离为
所以圆上的点到直线 的最大距离为.故选:C.
7. 【答案】D
【解析】
如上图, 直线 过定点, 斜率为, 且与线段相交,
即过定点 , 斜率为的直线绕点从逆时针旋转到,
中间经过 轴, 则或,
,
则或, 即的取值范围是. 故选：D.
8. 【答案】D
【解析】根据椭圆方程 , 得长半轴, 半焦距,
近日点距离为 , 远日点距离为,
近日点距离和远日点距离之和是 ,
近日点距离和远日点距离之积是 ,
解得 , 则.
故选: D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 【答案】BC
【解析】圆 的圆心为, 圆的圆心为,
则 , 解得或.
10.【答案】ACD
【解析】【分析】对 A, 利用斜率得到角度; 对B, 根据斜率乘积为 , 计算可得; 对 C, 利用平行线之间的距离公式计算可判断; 对D, 直线方程两点式成立条件即可判断.
[解析]对A, 设直线倾斜角为 , 则, 所以倾斜角不是, 故错误;
对 B, 由两条直线垂直, 则 , 故正确;
对 C, 直线 , 即,
所以与直线 之间的距离是, 故错误;
对 D, 过 两点的直线方程为, 故错误.
故选: ACD
11. 【答案】AD
【解析】当 即时, 方程为,
表示圆心为原点, 半径为 1 的圆, 故选项 A 正确, 选项 B 错误;
若 为椭圆, 且焦点在轴上, 则, 解得, 故选项 C 错误;
若 为椭圆, 且焦点在轴上, 则, 解得, 故选项 D 正确.
故选: AD.
12. 【答案】AD
【解析】以 为原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向, 建立空间直角坐标系，
则 ,
设 ，则，
, 故 A 正确;
,
,
若 与所成的角是, 则,
得 , 整理得, 得, 与矛盾, 故 B 错误;
为定值, 故错误;
当 时,,
,
设平面 的法向量为,
由 , 令, 则,
点 到平面的距离为, 故 D 正确.
故选: AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【解析】13.由题意, 且与垂直,则,故, 则,故答案为:
【解析】14 由椭圆方程可得,
故由椭圆定义有,
又,
所以.
【解析】15先求出圆心和半径, 再由直线与圆相切, 可得圆心到直线的距离等于半径, 列方程可求出的值[解析]由, 得, 则圆心为, 半径为 1 ,因为直线和圆相切,所以, 得,
解得,故答案为:
【解析】16设平面的法向量为, 则即
不妨令 , 则, 可得, 所以四棱锥的高.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.【解析】设点 的坐标为, 点的坐标为, 则点
的坐标为 , 由点是线段的中点, 得.
因为点 在圆上,所以 . (1)
把 代入方程 (1), 得,即 .
所以点 的轨迹是椭圆
18.【解析】(1) 依题意可知, 双曲线的焦点在 轴上, 且,
又 ,故其标准方程为 .
(2) 设双曲线方程为 ，
把点 与点代入,有 , 解得:,
故所求双曲线的标准方程为: .
19.【解析】(1) 因为直线 , 且,所以, 所以所以.
(2) 当 时,, 解得,
此时 ,
所以 与的距离.
20.【解析】(1) 圆与直线相切,圆心到直线的距离等于圆的半径.
因此半径 , 圆的标准方程为.
(2) 由 两式相减得方程:,
圆与圆相交于两点,
直线的方程即为
21.【解析】(1)证明 如图所示建立空间直角坐标系.
由题意知 ,.
.
.
又 平面,
平面.
(2) 解 设 是平面的法向量,则 ,
又 ,
取, 得.
由(1)知, 是平面的一个法向量, 记平面与平面所成角为,
则 .
所求平面与平面所成角的大小是.
22.【解析】(1)由题意, 得 故椭圆方程为 .
,
直线的方程为,
由 消得.设 ,则
,
又点 到直线的距离,
故 .