湖南部分校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占20％，必修第二册占30％ ，选择性必修第一册占50％。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x||x-1|<2}，N={x|x<2}，则M∩N=
A．(0，2) B．(-1，1) C．(-1，2) D．(1，2)
2.设直线，若，则
3．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且.则向量的模长为
A.
B.34
C.52
D.
4．已知函数 的图象过定点，则函数 在区间上的值域为
A． B． C． D．
5．已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是
A． B． C． D．
6 .已知抛物线的焦点为F(0,1)，动点P在抛物线C上，点A(2,3)，则的最小值为
A． 2 B．3 C．4 D．5
7. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知，P为内一点，记，则的最小值为
8．在三棱锥中，平面BCD， 则已知三棱锥外接球表面积的最小值为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列各对事件中,为相互独立事件的是
A．甲组3名男生,2名女生；乙组2名男生,3名女生,现从甲 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”
B．袋中有3白 2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两次球，每次摸一个球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白 2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两次球，每次摸一个球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
10．设正实数x，y满足，则下列说法正确的是
A．的最小值为1 B．的最小值为2
C．的最大值为2 D．的最大值为2
11.已知（）.则下列判断正确的是
A．若，，且，则 ；
B．若在上恰有9个零点，则的取值范围为；
C．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
D．若在上单调递增，则的取值范围为.
12．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是体对角线上的动点（包括端点），则下列结论正确的是
A．存在某一位置，与垂直
B．三棱锥体积的最大值是
C．二面角的正切值是
D．当最大时，三棱锥的外接球表面积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．设，则 .
14.已知向量满足，，且，则=_________.
15．，对于，，都有成立，则的取值范围是__________.
16．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是___________.
四、解答题:本题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.已知圆C：，直线.
（1）求证直线恒过定点；
（2）直线被圆C截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
18．“山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行.开幕式期间，湖南卫视全程直播.学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：分钟），将其按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为和的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在内的概率.
19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点．
（1）求证：平面C1BD；
（2）AC＝BC＝1，AB= , AA1＝2，求二面角B﹣DC1﹣C的正切值．
20.如图，在四边形中，
（1）求证：
（2）若，求的面积.
21.如图，四面体中，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2），点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
22．椭圆的焦距为，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.高二数学试卷参考答案
1. C
2. A
3. D
4. B
5. B
6. C
7. A【解析】设O(0,0)为坐标原点，由 A(-3,0)，B(3,0),C(0,4),所以 A, C BC 5 ， 易得 ABC为锐角三角
形，则费马点 F 在线段OC上，设F(0,h)，则 FAB为顶角是 120°的等腰三角形，故
h OB tan 30。 3，所以F（0，3）
故 f P min f F FA FB FC 4 3 3
8.B 【详解】如图，设 ABD ， CBD ，K为△BCD的外心，O为三棱锥 A BCD外接球的球心，
则OK 平面 BCD，又 AD 平面 BCD，所以OK // AD， KD 平面 BCD，则OK DK，四边形OKDA是
直角梯形，
设OK h，DK r，OD R，
由 AD 平面 BCD， BD 平面 BCD，得 AD BD，
1
CD 2sin 2sin
1
则 AD tan
r
tan ， ，2r 2 ，即 2cos
，
2 sin 2
h2 r2 R2 1
又 2 2 2 ，则 h AD，
(AD h) r R 2
2
R2 r 2 ( AD)2 1 1 1 cos 1 3 2cos 2 2 2
2
4cos2 4 tan 2(1 cos ) 4(1 cos ) 4 4(1 cos ) ，
2
令 t 3 2cos ，则 cos
3 t
， t (1,3)，
2
R2 1 t 1 1 1 1 1 1 5 1 5
4 t 2 6t 5 4 t 5 6 4 5 4 2(3 5) 8 ，当且仅当 t ，即 时
t 2 t 6 t
t 5
t
等号成立，所以三棱锥 A BCD外接球表面积 S 4 R2 4 5 1 5 1 ，故选：B．
8 2
9.ABD
10.BC 【详解】对于 A 中，因为正实数 x, y满足 x y 2，由 x y 2 xy，所以 2 xy 2，
解得 xy 1，当且仅当 x y 1时，等号成立，所以 xy的最大值为1，所以 A 错误；
1 1 1 1 1 y x
对于 B 中，由 ( )(x y)
1 y x 1 y x
(2 ) (2 2 ) 2，当且仅当 时，即 x y 1
x y 2 x y 2 x y 2 x y x y
1 1
时，等号成立，所以 x y的最小值为 2，所以 B 正确；
高二数学试卷参考答案 第 1 页 共 8 页
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对于 C 中，由 x y 2 x y 2 xy 2 2 4 ，当且仅当 x y 1时，等号成立，所以 x y 的最大
值为 2，所以 C 正确；
对于 D 中，由 x2 y2 (x y )2 2xy 4 2 2 2 2，当且仅当 x y 1时，等号成立，所以 x y 的最小值为 2，
所以 D 错误，故选：BC.
11. AC
12. ACD
【详解】对于 A，当 P点与 B点重合时， EF 平面 ABB1A1，而 PQ 平面 ABB1A1，所以 PQ与 EF 垂直，
即 A 正确；
对于 B，如下图所示
易知 BQ EF，
1
所以 S QEF BQ EF ，且为定值，2
三棱锥 E PQF 的体积最大时，只需满足点 P到平面QEF 的距离最大即可，
取DD1的中点为G，则平面QEF 与平面 BCGQ是同一平面；
易知，当点 P与D1重合时，点 P到平面QEF 的距离最大，
作 PH CG于H，易知QG 平面CDD1C1，所以PH即为点 P到平面QEF 的距离，
PH DC 4 5
由三角形相似可得 2，且 2 2 2 ，得
GH DG PH GH DG 4 PH 5
E PQF V 1 S 1 1 1 4 5 2因此三棱锥 体积
3 QEF
PH 2 5 ，故选项 B 错误；
3 2 2 5 3
对于 C，连接D1C ,GC，二面角 P EF Q即为平面D1BC与平面GBC所成的角，如下图所示：
易得D1C BC ,GC BC ，
高二数学试卷参考答案 第 2 页 共 8 页
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所以 D1GC即为二面角 P EF Q的平面角，由于D1C 4 2,D1G 2,CG 2 5，
DC 2 CG 2 DG 2 32 20 4 3
由余弦定理可得 cos D 1 11GC ，2 D1C CG 16 10 10
所以 sin D1GC
1
，即 tan D1GC
1
，
10 3
1
所以二面角 P EF Q的正切值是 .即选项 C 正确，
3
对于 D，由余弦定理得
PE 2 PF 2 1 PE 2 PF 2 EF 2
PE PF PE PF cos EPF 4 ，
2 2
易知当 PE PF 最大时，满足 E与 B重合， P与D1重合，如下图所示
以A为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，则 E(4,0,0),F (4,
1,0),Q(0,0, 2),P(0, 4, 4), 设外接球球心坐标
2
为O(x, y, z)
则 x2 y2 (z 2)2 (x 4)2 y2 z2 x2 (y 4)2 (z 4)2
19 1 13 19 2 1 2 13 2 686
联立解得 x , y , z ，得外接球半径为
4 4 2 R
2 ，
4 4 2 4
343
所以三棱锥 E PQF 的外接球表面积是 ，所以 D 正确；
2
故选：ACD.
13.i
14. 7
1 1 f x f x
15. , 【详解】因为定义在R 上的函数 f x
2 1
满足对 x1, x2 R ， x1 x2 ，都有 0，
5 2 x2 x1
2a 1 x 4a x 1
所以函数 f x a 是R 上的减函数，则函数 y 2a 1 x 4a x 1 a和 y
x 1 均为减
x 1 x x
高二数学试卷参考答案 第 3 页 共 8 页
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2a 1 0
a 1 1 1 1
函数，且有 2a 1 1 4a ，即 a 0 ，解得 a ，因此，实数 a的取值范围是 ,1 5 2 5 2 .
2a 1 1 4a a
16. 1,
2 3
【详解】设双曲线的右焦点为 F c,0 , A x1, y1 ,B x2 , y2 ，则直线 l : y k x c ，
3
x2 y2
2 1联立方程 a b2 ，消去 y 得： b2 a2k 2 x2 2a2k 2cx a2 k 2c2 b2 0 ，
y k x c
2 2 a2 k 2c2 b22 2 2 则可得b a k 0, 0, x1 x 2a k c2 , x x ，b2 a2k 2 1 2 b2 a2k 2
2 2 2 2 2 2
2a2k 2c a k c b 2ab 1 k 2AB 1 k2 则 4 b2 a2 ， k 2 2 2 2 2 b a k b a2k 2
x x a2k 2c a2k 2c b2kc
设线段 AB的中点 M x ,y ，则 x0 1 2 0 0 2 b2 2 2 ,y0 k x a k 0 c k 2 c ， b a2k 2 2 2 2 b a k
2 2 2
即M
a k c b kc
b2 a2k 2
,
b2 a2k 2 ，
1
且 k 0，线段 AB的中垂线的斜率为 ，
k
b2kc 1 a2k 2c
则线段 AB的中垂线所在直线方程为 y b2 a2k 2
x k b2 ， a
2k 2
2 2 2 2 3
令 y 0
b kc 1 a k c
k c，则 b2 2
x x
a k 2 k b2 a
2k 2 ，解得 2 2 2 ， b a k
k 2c3 k 2c3 b
2c 1 k 2
即D 2 2 2 ,0 ，则 DF 2 2 2 c ，
b a k b a k b2 a2k 2
2ab2 1 k 2 3b2c 1 k 2
由题意可得： AB 3 DF ，即
b2 a2
，
k 2 b2 a2k 2
c 2 2 3
整理得 2a 3c，则 e a ，3 3
注意到双曲线的离心率 e 1，
2 3
∴双曲线的离心率取值范围是 1, .
3
17. （1）直线过定点（0，3）
（2）m= -1;最短弦长为 4
18.【详解】（1）由0.005 20 0.005 20 0.0075 20 0.02 20 a 20 0.0025 20 1，
得a=0.01.
观看时长在：
30,50 频率0.0050 20 0.1，
高二数学试卷参考答案 第 4 页 共 8 页
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50,70 频率0.0050 20 0.1，
70,90 频率0.0075 20 0.15，
90,110 频率0.0200 20 0.4，
110,130 频率0.0100 20 0.2，
130,150 频率0.0025 20 0.05，
样本平均值为：40 0.1 60 0.1 80 0.15 100 0.4 120 0.2 140 0.05 93
可以估计样本数据中平均值为 93 分．
（2）由题意可知，观看时长在 50,70 的人数为100 0.1 10（人），
在 70,90 的人数为100 0.15 15（人）.
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 5 名学生，
则需在 50,70 内抽 2 人，分别记为 A1, A2 ，
需在 70,90 内抽 3 人，分别记为 B1,B2 ,B3 .
设“从样本中任取 2 人，至少有 1 人在 50,70 内”为事件 A，
则样本空间 A1A2 , A1B1, A1B2 , A1B3, A2B1, A2B2 , A2B3,B1B2 ,B1B3,B2B3 共包含 10 个样本点而 A 的对立事件
A B1B2 ,B1B3,B2B3 包含 3 个样本点，
3 7
所以 P(A) , P(A) 1 P(A) ．
10 10
7
即抽取的这 2 名学生至少有 1 人在 50,70 内的概率为
10
19.【详解】（1）连接 BC1交于CB1于 F ，连接 EF ，
因为 E,F
1
是中点，所以 EF / /CC1，且 EF CC1，2
1
又因为 D是 AA1的中点，所以有 A1D / /CC1 ，且 A1D CC2 1
，
所以 A1D / /EF ，且 A1D EF ，
因此四边形 A1DFE是平行四边形，
所以 A1E / /DF，而 A1E 平面 C1BD，DF 平面 C1BD，
所以 A1E / /平面 C1BD；
高二数学试卷参考答案 第 5 页 共 8 页
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（2）法一：（建系）因为三棱柱为直三棱柱，所以 CC1 AC,CC1 BC ,
因为AC 2 CB2 AB2 ,所以AC BC
以 C 为原点，分别以 CA、CB、CC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以1
B 0,1,0 ,D 1,0,1 ,C1 0,0,2
，设平面BDC1的一个法向量为n x, y, z
所以n 1,2,1 ,平面DCC 1的一个法向量为m 0,1,0 ,
设B DC1 C二面角的大小为 ，
cos 2 , tan 2所以 所以
6 2
法二：因为 AD AC 1， AD AC，CC1⊥AC
π π
所以 DCA DCC1 ，4 CD 1
2 12 2，同理可得 DC1C ，4
因此 C1DC
π
，即CD DC1，又2 DC1 2,DB 3,BC1 5
所以 DC1⊥BD，
所以 CDB是二面角 B﹣DC1﹣C的平面角，
因为CD BD D,CD,BD 平面CDB，
所以DC1 平面CDB，而CB 平面CDB，
因此DC1 CB，因为CC1 平面 ABC，而CB平面 ABC，
所以CC1 BC，因为DC1 CC1 C1 ,DC1 ,CC1 平面 ACC1A1，
所以 BC 平面 ACC1A1，而CD 平面 ACC1A1，
BC CD tan CDB BC 1 2所以 ，所以 .
CD 2 2
20.【详解】(1) 设 ABD ,因为AB //CD,所以 BDC
ABD AD BD在 中， ,所以AD sin A BD sin
sin sin A
在 BDC中，同理可得BC sinC BD sin
所以AD sin A BC sinC
又AB BC，所以AD sin A AB sinC.
（2） DC 3 13;
S 3 3 39 BCD .2
21.【详解】（1）因为 AD CD，E 为 AC的中点，所以 AC DE；
因为 AB CB，又因为 E 为 AC的中点，所以 AC BE；
高二数学试卷参考答案 第 6 页 共 8 页
{#{QQABLQCAogCoQAJAARhCAwUwCgEQkBCACKoGgBAEsAAAgRFABCA=}#}
又因为DE,BE 平面 BED，DE BE E，所以 AC 平面 BED，
因为 AC 平面 ACD，所以平面 BED 平面 ACD .
（2）连接 EF ，由（1）知， AC 平面 BED，因为 EF 平面 BED，
1
所以 AC EF，所以 S△AFC= AC EF，2
当EF BD时， EF 最小，即△AFC的面积最小.
因为△ABD≌△CBD，所以CB AB 2，
又因为 ACB 60 ，所以 ABC是等边三角形，
因为 E 为 AC的中点，所以 AE EC 1， BE 3，
1
因为 AD CD，所以DE AC 1 ,
2
在 DEB中，DE 2 BE 2 BD2，所以 BE DE .
以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz，
则 A 1,0,0 ,B 0, 3,0 ,D 0,0,1 ，所以 AD 1,0,1 , AB 1, 3,0 ，
设平面 ABD的一个法向量为 n x, y, z ，
n AD x z 0
则 ，取 y 3，则 n 3, 3,3 ，
n AB x 3y 0
又因为C 1,0,0 ,F 3 0, ,
3
，所以CF 1,
3 , 3
4 4 4 4
，
cos n,CF n C F 6 4 3
所以 n CF 7 7 ，21
4
设CF与平面 ABD所成的角的正弦值为 0 ，
2
4 3
所以 sin cos n,CF ，
7
4 3
所以CF与平面 ABD所成的角的正弦值为 .
7
x2 y2
22.【解析】(1) 14 2
（2）当 l平行于 x轴时，设直线与椭圆相交于C,D两点，如果存在点Q满足条件，
|QC | | PC |
则有 1，即 QC QD ，所以Q点在 y轴上，可设Q 0, y|QD | | PD | 的坐标为 0 ；
当 l垂直于 x轴时，设直线与椭圆相交于M ,N两点，如果存在点Q满足条件，
|QM | | PM | y0 2
2 1则有 |QN | | PN | ，即
，解得 y0 1或 y0 2，
y0 2 2 1
高二数学试卷参考答案 第 7 页 共 8 页
{#{QQABLQCAogCoQAJAARhCAwUwCgEQkBCACKoGgBAEsAAAgRFABCA=}#}
所以若存在不同于点 P的定点Q满足条件，则点Q的坐标为 0,2 ；
当 l不平行于 x轴且不垂直于 x轴时，设直线 l方程为 y kx 1，设 A x1, y1 ,B x2 , y2
y kx 1
联立 x2 y2 ，消去 y，得 1 2k 2 x2 4kx 2 0，
1 4 2
因为直线 l恒过椭圆内定点 P 0,1 4k 2，故 0恒成立， x1 x2 , x x ，1 2k 2 1 2 1 2k 2
又因为点 B关于 y轴的对称点 B 的坐标为 x2 , y2 ，
k y1 2 kx1 1 k 1 k y2 2 kx 1 1又 QA ， QB 2 k x1 x1 x1 x2 x x
，
2 2
x1 x2
则 kQA kQB 2k 0x x ，1 2
QA QA x PA
所以 kQA kQB ，则Q, A,B
1
三点共线，所以 QB QB x2 PB
；
QA PA
综上：存在与点 P不同的定点Q，使 恒成立，且Q 0, 2 QB PB .
高二数学试卷参考答案 第 8 页 共 8 页
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