济南天桥区高二数学上学期期中考试试题（含答案）

山东名校考试联盟2023-2024学年高二年级上学期期中检测
数学试题
本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x－y－1=0的倾斜角为（ ）.
A. B. C. D.
2.已知椭圆C的焦点为（﹣1，0）和（1，0），离心率为，则C的方程为（ ）
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
3.在四面体ABCD中，点M，N满足=2，=2，若=x+y+z，则x+y+z=（ ）
A.﹣ B. C. D.1
4.已知圆C:x2+y2=4，直线l过点（0.1)，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值为（ ）
A.1 B. C.2 D.2
5.在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=，则AC1的长为（ ）
A.2 B.2 C.12 D.20
6.已知点M是直线y=x+1上一点，A(1，0)，B(2，1)，则|AM|+|BM|的最小值为（ ）
A. B.2 C.1+ D.
7.将直线3x－y+a=0向上平移1个单位，所得直线与圆x2+y2－2x+6y=0相切，则实数a的值为（ ）
A.5或﹣15 B.﹣5或15 C.3或﹣17 D.﹣3或17
8.已知焦点在 x轴上的椭圆C：+=1，点P(x，0)，当r0≥1时，C上有且仅有一点到点P的距离最小，则C的离心率的取值范围为（ ）
A.(0，] B.(0，] C.[，1） D.[，1）
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知直线l1:ax+y+2a=0，直线l2:a2x－y+2a=0，则（ ）
A.l1恒过定点（-2，0) B.当l1⊥l2时，a=1
C.当l1∥l2时，a=0或a=﹣1 D.点（1，4）到l1距离的最大值为4
10.已知F1和F2是椭圆C：＋y2=1的两个焦点，点P在C上，∠F1PF2=，则（ ）
A.△PF1F2的周长为6 B.△PF1F2的面积为
C.△PF1F2内切圆的半径为－1 D.=
11.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆C:＋y2=1，其蒙日圆为圆M，过直线l：x+y－3=0上一点P作M的两条切线，切点分别为A和B，则（ ）
A.M的方程为x2+y2=4 B.四边形PAMB面积的最小值为
C.·的最小值为812 D.当点P坐标为（1，2）时，直线AB方程为x+2y－4=0
12.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F为线段A1B1的中点，点M、N分别为线段AC1与线段B1C上一点，则（ ）
A.直线C1F与直线DE所成角的余弦值为 B.点D到直线C1F的距离为
C.当=，=，MN∥平面ABCD时，+=1 D.MN的最小值为
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若方程x2+y2+2(a+1)x+2ay+1=0表示圆，则a的取值范围为 .
14.将边长为2的等边△ABC沿BC边中线AD折起得到三棱锥A—BCD，当所得三棱锥体积最大时，点D到平面ABC的距离为 .
15.华罗庚先生说："数缺形时少直观，形少数时难入微，"数形结合对于解决部分数学问题有着事半功倍的效果，已知x，y∈R，则+++的最小值是 .
16.四边形ABCD和ADPQ均为边长为2的正方形，且它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为QP、AB、BC的中点，则四面体AEFM外接球的表面积为 .
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(10分)
已知直线l过点（1，2）。
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)设O为坐标原点，若l与x轴正半轴交于点A，l与y轴正半轴交于点B，求△OAB面积的最小值．
18.(12分)
已知三棱台ABC—A1B1C1中，AA1=2，AC=4，A1C1=2，A1B1=1，AA1⊥AC，AC⊥AB，平面ACC1A1⊥平面ABC，点D为CC1中点。
(1)求证：AA1⊥BC.
(2)求二面角A—BD—C的正弦值．
19.(12分)
已知椭圆C:：+=1的左、右顶点分别为B1，B2.
(1)设P为C上异于B1，B2的任意一点，求直线PB1与直线PB2斜率之积；
(2)已知Q(4，6)，直线QB1，QB2分别与C交于M，N（异于B1，B2)，求直线MN方程．
20.(12分)
已知点A(1，0)，B(4，0)，曲线C上任意一点M均满足|MB|=2|MA|.
(1)求C的轨迹方程；
(2)过点A的直线l与C交于P，Q两点，证明：∠PBA=∠QBA.
、
21.(12分)
如图，在四棱锥A—BCDE中，侧面ABC为等边三角形，底面BCDE为菱形，∠BCD=，BC=2，AD=.
(1)设平面ABC与平面ADE的交线为l，求证：l//BC.
(2)若点F在棱DE上，且直线AF与平面ABD所成用的正弦值为，求DF.
22.(12分)
已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(，)，B(0，1)．过点P（1，1）的直线l交直线AB于点D，交C于M，N两点。
(1)求C的方程.
(2)是否存在实数使得=+？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
答案
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x－y－1=0的倾斜角为（ A ）.
A. B. C. D.
2.已知椭圆C的焦点为（﹣1，0）和（1，0），离心率为，则C的方程为（ B ）
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
3.在四面体ABCD中，点M，N满足=2，=2，若=x+y+z，则x+y+z=（ B ）
A.﹣ B. C. D.1
4.已知圆C:x2+y2=4，直线l过点（0.1)，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值为（ D ）
A.1 B. C.2 D.2
5.在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=，则AC1的长为（ B ）
A.2 B.2 C.12 D.20
6.已知点M是直线y=x+1上一点，A(1，0)，B(2，1)，则|AM|+|BM|的最小值为（ D ）
A. B.2 C.1+ D.
7.将直线3x－y+a=0向上平移1个单位，所得直线与圆x2+y2－2x+6y=0相切，则实数a的值为（ C ）
A.5或﹣15 B.﹣5或15 C.3或﹣17 D.﹣3或17
8.已知焦点在 x轴上的椭圆C：+=1，点P(x，0)，当r0≥1时，C上有且仅有一点到点P的距离最小，则C的离心率的取值范围为（ A ）
A.(0，] B.(0，] C.[，1） D.[，1）
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知直线l1:ax+y+2a=0，直线l2:a2x－y+2a=0，则（ AD ）
A.l1恒过定点（-2，0) B.当l1⊥l2时，a=1
C.当l1∥l2时，a=0或a=﹣1 D.点（1，4）到l1距离的最大值为4
10.已知F1和F2是椭圆C：＋y2=1的两个焦点，点P在C上，∠F1PF2=，则（ BC ）
A.△PF1F2的周长为6 B.△PF1F2的面积为
C.△PF1F2内切圆的半径为－1 D.=
11.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆C:＋y2=1，其蒙日圆为圆M，过直线l：x+y－3=0上一点P作M的两条切线，切点分别为A和B，则（ ACD ）
A.M的方程为x2+y2=4 B.四边形PAMB面积的最小值为
C.·的最小值为812 D.当点P坐标为（1，2）时，直线AB方程为x+2y－4=0
12.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F为线段A1B1的中点，点M、N分别为线段AC1与线段B1C上一点，则（ ACD ）
A.直线C1F与直线DE所成角的余弦值为 B.点D到直线C1F的距离为
C.当=，=，MN∥平面ABCD时，+=1 D.MN的最小值为
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若方程x2+y2+2(a+1)x+2ay+1=0表示圆，则a的取值范围为 （0，+）∪（﹣，﹣1） .
14.将边长为2的等边△ABC沿BC边中线AD折起得到三棱锥A—BCD，当所得三棱锥体积最大时，点D到平面ABC的距离为 .
15.华罗庚先生说："数缺形时少直观，形少数时难入微，"数形结合对于解决部分数学问题有着事半功倍的效果，已知x，y∈R，则+++的最小值是 10 .
16.四边形ABCD和ADPQ均为边长为2的正方形，且它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为QP、AB、BC的中点，则四面体AEFM外接球的表面积为 11π .
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(10分)
已知直线l过点（1，2）。
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)设O为坐标原点，若l与x轴正半轴交于点A，l与y轴正半轴交于点B，求△OAB面积的最小值．
（1）∵l在两坐标轴上的截距相等
∴l的斜率的绝对值为1，设直线l方程：y=k（x－1）+2
∴L的方程为y=x+1或y=﹣x+3
（2）设直线l方程：y=k（x－1）+2
当x=0时，y=2－k，当y=0时，x=1－
△OAB面积为=（2－k）（1－）=（4－k－）
∵k+≤﹣4或k+≥4（舍去）
∴面积最小值为4.
18.(12分)
已知三棱台ABC—A1B1C1中，AA1=2，AC=4，A1C1=2，A1B1=1，AA1⊥AC，AC⊥AB，平面ACC1A1⊥平面ABC，点D为CC1中点。
(1)求证：AA1⊥BC.
(2)求二面角A—BD—C的正弦值．
（1）∵平面ACC1A1⊥平面ABC 且AC是平面ACC1A1和平面ABC交线且AA1⊥AC
∴AA1⊥底面ABC
∵BC平面ABC
∴AA1⊥BC
（2）略
19.(12分)
已知椭圆C:：+=1的左、右顶点分别为B1，B2.
(1)设P为C上异于B1，B2的任意一点，求直线PB1与直线PB2斜率之积；
(2)已知Q(4，6)，直线QB1，QB2分别与C交于M，N（异于B1，B2)，求直线MN方程．
（1）令y=0代入+=1得
x2=4
x=±2
∴B1（﹣2，0） B2（2，0）
设P（m，n）
KPB1=，KPB2=
KPB1·KPB2=·===﹣
（2）∵B1（﹣2，0） B2（2，0） Q(4，6)
直线QB1的方程为=，QB2的方程为=。
即直线QB1的方程为y=x+2，QB2的方程为y=3x－6。
联立和
解得M（﹣，） N（，﹣）
直线MN的方程为=
即：直线MN的方程4x+3y－4=0
20.(12分)
已知点A(1，0)，B(4，0)，曲线C上任意一点M均满足|MB|=2|MA|.
(1)求C的轨迹方程；
(2)过点A的直线l与C交于P，Q两点，证明：∠PBA=∠QBA.
（1）设点M（x，y）
∵|MB|=2|MA| A(1，0)，B(4，0)
∴=2
即C的轨迹方程为x2+y2=4
（2）①当直线l⊥轴时，点P和点Q关于x轴对称，当B在x轴上时，显然∠PBA=∠QBA
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y=k（x－1）
联立
消去y得：（k2+1）x2－2kx+k2－4=0
设P（x1，y1） Q（x2，y2）
则x1+x2= x1·x2=
故KBP+KBQ=+==0
即∠PBA=∠QBA
综上所述：∠PBA=∠QBA
21.(12分)
如图，在四棱锥A—BCDE中，侧面ABC为等边三角形，底面BCDE为菱形，∠BCD=，BC=2，AD=.
(1)设平面ABC与平面ADE的交线为l，求证：l//BC.
(2)若点F在棱DE上，且直线AF与平面ABD所成用的正弦值为，求DF.
（1）∵四边形BCDE为菱形
∴BC∥DE
∵BC面ABC DE面ADE
平面ABC与平面ADE的交线为l
∴l∥BC∥DE
∴l∥BC
（2）取BC的中点H，连接AH，DH
∵△ABC是等边三角形
∴AH⊥BC
∵∠BCD=
∴DH⊥BC
∵BC=2
∴AH=DH=
∵AD=
∴AH2+DH2=AD2
∴AH⊥DH
BC与DH包含于面ABCD且相交于H点
故AH⊥面ABCD
∴面ABL⊥面ABCD
可建立如图坐标系
设DF=xDE(0≤x≤1)
则A（0，0，） B(﹣1，D，D) D(0，,0)
=(0，，﹣) =(﹣1，0，﹣)
∴=(﹣2x，，﹣)
设面ADB的一个法向量示＝(a，b，c)
DF=1.
22.(12分)
已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(，)，B(0，1)．过点P（1，1）的直线l交直线AB于点D，交C于M，N两点。
(1)求C的方程.
(2)是否存在实数使得=+？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
（1）将A(，)，B(0，1)代入+=1得
解得：
∴+=1
（2）存在 =2