1.1空间向量及其运算 同步练习（含解析）

1.1空间向量及其运算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知空间向量，若，则（ ）
A． B．3 C．4 D．5
2．已知向量，若，则的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
3．在空间直角坐标系中，已知点，求点关于轴的对称点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在平行六面体中，M为与的交点，，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A． B．
C． D．
6．空间直角坐标系中，已知，，点关于平面对称的点为，则B，C两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．4
7．求为（ ）
A． B．
C． D．
8．在空间直角坐标系中，点，点B关于y轴对称的点为C，则=（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若向量，，，则，，共面
B．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则
C．若向量，，则在上的投影向量为
D．若空间三点，，，则点C到直线AB的距离为3
10．在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．向量，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．当时，在方向上的投影向量为
12．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（ ）

A．6 B．8 C． D．
三、填空题
13．已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 .
14．已知点，，，则向量与的夹角为 ．
15．已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ．
四、解答题
16．已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，.

(1)分别用，，来表示向量，；
(2)若，，是两两垂直的单位向量，求向量与的数量积.
17．如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面.
18．三棱柱中，，．设，，．
(1)试用表示向量；
(2)若，，求的长．
19．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量．
(3)试写出的相反向量．
20．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于1，E，F，G分别是棱AB，AD，BC的中点.

(1)求；
(2)求直线GE，GF夹角的余弦值.
21．已知向量．
(1)求；
(2)若向量与垂直，求实数的值．
参考答案：
1．A
【分析】利用空间向量的坐标表示计算即可.
【详解】由题意可知.
故选：A
2．C
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由得，
所以，
故选：C
3．D
【分析】根据空间坐标系下点关于轴的对称点的坐标特点，即可得出答案.
【详解】根据空间坐标系下点关于轴的对称点的坐标特点可知，
点关于轴的对称点坐标为.
故选：D.
4．C
【分析】利用空间向量共面的结论，对各选项逐一判断即可得解.
【详解】对于A，，所以共面，故A错误；
对于B，，所以共面，故B错误；
对于C，假设共面，
则存在，使得，
则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾，
所以不共面，故C正确；
对于D，，所以共面，故D错误.
故选：C.
5．A
【分析】利用空间向量的线性运算进行求解．
【详解】．
故选：A．
6．A
【分析】根据对称关系得，应用两点距离公式求B，C两点间的距离.
【详解】由题设可知，又，
所以.
故选：A
7．B
【分析】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案.
【详解】原式.
故选：B.
8．C
【详解】首先确定B关于y轴对称的点坐标，再应用空间两点距离公式求.
【分析】由题设，故.
故选：C
9．AC
【分析】根据向量共面定理可判断A项；根据直线方向向量和平面法向量垂直，即可判断B项；由投影向量的求法可判断C项；根据在上的投影结合勾股定理可判断D项.
【详解】A中，，所以，，共面，故A正确；
B中，，所以，所以，所以B错误；
C中，在上的投影向量为，故C正确；
D中，，，所以，
，，
所以在上的投影为，
所以点C到直线AB的距离为，所以D错误.
故选：AC
10．AC
【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.
【详解】由题意得：如下图所示：

对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确；
对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误；
对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确；
对于D项：，
所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误.
故选：AC.
11．BCD
【分析】若得，使，列出方程组，即可判断A；由空间向量模的坐标运算公式即可判断B；由空间向量垂直，得，即可判断C；由空间向量的投影向量计算公式即可判断D．
【详解】对于A，若，则，使，即，显然无解，故A错误；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，若，得，
则在方向上的投影向量为，故D正确；
故选：BCD．
12．AC
【分析】依题意，，两边同时平方后，利用空间向量的数量积，代入已知数据计算，即可求解．
【详解】依题意，，
平方得.
因为a，b所成的角为，或.
当时，，，
代入数据可得，
所以，，所以；
当时，，，
代入数据可得，
所以，，所以.
综上所述，或，即OC的长为6或.
故选：AC.
13．4
【分析】变形得到，从而得到方程组，求出答案.
【详解】，
又，所以，
故.
故答案为：4
14．
【分析】先求向量的坐标，再利用向量的数量积坐标运算求夹角.
【详解】由，，，
则，
则，
所以向量与的夹角为.
故答案为：.
15．
【分析】根据向量的夹角公式计算，再计算面积得到答案.
【详解】，，则，
，，
面积为.
故答案为：.
16．(1)，；
(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算计算即可；
（2）利用空间向量的数量积运算律计算即可.
【详解】（1）由题意可知，
；
（2）由（1）可知，
若，，是两两垂直的单位向量，则，
所以.
17．证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，根据条件写出相应点的坐标，利用空间向量基本定理即可求证即可.
【详解】证明：由，且，
取的中点，连接，则，且，
所以，
又是以为直角的等腰直角三角形，所以.
过点作，垂足为，则点为的中点，且，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
故以所在的直线分别为轴，轴，过点作垂直于平面的轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
因为为棱的中点，所以，又因为点在棱上，且，
所以，则，，，
令，
则，
则，解得，
故，则共面，且向量有公共点，
所以四点共面.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；
（2）根据向量的数量积运算，可得答案.
【详解】（1）由，则，由，则，
由图形知
．
（2）由题设条件：，同理可得，
则
，
∴.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可；
（2）根据相等向量的定义写出即可；
（3）根据相反向量的定义写出即可.
【详解】（1）由题意，单位向量有共个；
（2）由题意，与相等有；
（3）由题意，的相反向量有.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理，以三个不共面的向量为基底，表示出向量，利用即可得；
（2）利用向量的数量积求夹角即可.
【详解】（1）.
因为四面体的所有棱长都等于1，所以，
所以.
.
∴
（2）
，
，
所以，GE，GF夹角的余弦值为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）先求出的坐标，再根据空间向量模长的坐标运算计算即可；
（2）先表示出，再根据向量垂直，数量积为零列出方程求解即可．
【详解】（1）由已知得，，
所以．
（2）由已知得，，
因为，
所以，解得．
答案第1页，共2页
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