28.2解直角三角形及其应用 人教版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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28.2解直角三角形及其应用人教版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接若，则的长是
( )
A. B. C. D.
2.某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门测得历下亭在北偏东方向，继续向北走后到达游船码头，测得历下亭在游船码头的北偏东方向．请计算一下南门与历下亭之间的距离约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
3.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是( )
A. B. C. D.
4.“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长米且拉线与地面夹角为如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计，则风筝离地面的高度可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，，，点为边的中点，于点，连接，则的值为
( )
A. B. C. D.
6.苏州虎丘塔是我国江南著名的园林景点它建成于宋代年，共层，高米由于地基的原因，塔身自年前就开始向西北方向倾斜据测量，至今塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的角度为，被称为“东方比萨斜塔”如今虎丘塔塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的距离是
米( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下处乘缆车上山顶处，缆车索道与水平线所成的，若山的高度米，则缆车索道 的长为
( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.如图，在中，，，点是上一点，连接若，，则的长为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，梯子长度不变跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )
A. 的值越大，梯子越陡 B. 的值越大，梯子越陡
C. 的值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关
11.如图，小刚要测量斜坡旁一棵树的高度，已知在坡脚处测得树顶的仰角为，在坡顶处测得树顶的仰角为，若米，米，则树的高是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
12.如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作于点，连接并延长，交于点，过点作交于点，，现给出下列结论：；；；；其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，中，，，，，易知，聪明的小强想求的值，于是他在上取点，使得，则的值为 ．
14.如图，海上有一灯塔，位于小岛北偏东方向上，一艘轮船从小岛出发，由西向东航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔的正南方，此时轮船与灯塔的距离是______结果保留一位小数，约等于
15.如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是______米结果保留根号．
16.如图，在中，，，，求的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，测得，，根据测得的数据，求的长结果取整数．
参考数据：，，．
18.本小题分
热气球的探测器显示，从热气球处看大楼顶部的仰角为，看大楼底部的俯角为，热气球与该楼的水平距离为米，求大楼的高度．结果精确到米，参考数据：
19.本小题分
为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为、、、在同一直线上然后，小明沿坡度：的斜坡从走到处，此时正好与地面平行．
求点到直线的距离结果保留根号；
若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度结果精确到米，，．
20.本小题分
如图，南海某海域有两艘外国渔船、在小岛的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船沿北偏东的方向航行至小岛的正东方向海里处．
求渔船航行的距离；
此时，在处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中渔船在点的南偏西方向，渔船在点的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．注：结果保留根号
21.本小题分
如图所示，城市在城市正东方向，现计划在、两城市间修建一条高速公路即线段，经测量，森林保护区的中心在城市的北偏东方向上，在线段上距城市的处测得在北偏东方向上，已知森林保护区是以点为圆心，为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？参考数据：
22.本小题分
如图，是的边上一点，连接，作的外接圆，将沿直线折叠，点的对应点落在上．
求证：．
若，，，求的长．
23.本小题分
如图，为了测量某条河的对岸边，两点间的距离．在河的岸边与平行的直线上取两点，，测得，，，量得长为米．求，两点间的距离参考数据：，，
24.本小题分
如图，在中，以为直径的交于点，点在上，连接，，．
求证：是的切线；
若，，求的长．
25.本小题分
如图，已知是的直径，是的弦，点是外的一点，，垂足为点，与相交于点，连接，且，延长交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由条件知，
又，，
所以，．
所以．
2.【答案】
【解析】解：如图，作于设，．
在中，，即，
在中，，即，
解得，，
，
故选：．
如图，作于设，构建方程组求出，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】【分析】
设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这棵树的高度是米，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
在中，，
则米，
故选：．
过点作于，根据正弦的定义解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值利用等腰直角三角形的判定与性质推知，，然后通过解直角来求的值．
【解答】
解：在中，，，
，，
又点为边的中点，
．
于点，
，
．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：是至今塔顶的中心偏离底层中心的铅垂线，垂直于地基，
四边形是矩形，
在中，，
则米，
如今虎丘塔塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的距离是米，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】利用直角三角形的边角关系定理列出关系式即可得出结论．
【详解】解：在 中，
， ，
，
米，
故选：．
8.【答案】
【解析】在中，，，，由勾股定理得，，过点作于点，，
，，，．，，，在中，，．，，故选C．
9.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，，
矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
，
设，则
在中，，
，解得，
，
，
故选：．
先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，进一步得到的长，再根据余弦函数的定义即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡．
故选：．
锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．
本题主要考查解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数值的变化规律．
11.【答案】
【解析】在中，米，米，，．，．，．，在中，米在中，米，树的高是米，故选C．
12.【答案】
【解析】解：如图，过点作交于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，
四边形是正方形，
，
，，
．
，
，
，
，
≌，
，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，故正确；
，
，
．
，
≌，
，故正确；
，
，
，故正确；
，
即，
，
，故错误；
正确的有．
故选：．
直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；过点作交于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，首先根据四边形的面积求出正方形的边长，利用勾股定理求出，，的长度，再利用平行线分线段成比例分别求出，的长度，然后利用即可判断；利用平行线分线段成比例得出，然后利用勾股定理求出的长度，进而的长度可求；直接利用平行线的性质证明≌，即可得出结论．
本题主要考查了四边形综合，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数是解题的关键
13.【答案】
【解析】【分析】
根据等边对等角可得，再利用三角形的外角性质可知，然后在中利用勾股定理先求出，最后利用正切定义即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的外角性质等知识点，根据题目的已知条件得到是解题的关键．
【解答】
解：，
，
是的外角，
，
在中，设为，则，
，
，
整理，得，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出高线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
过作于，易证是等腰三角形，得到然后在直角中，利用三角函数的定义求得的长即可．
【解答】
解：过作于．
，，
，
．
在直角中，．
即此时轮船与灯塔的距离约为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形应用．
首先通过分析图形构造直角三角形：与，进而可解即可求出答案．
【解答】
解：过点作于点，
在中，，，
可得米．
在中，，，
可得米．
故教学楼的高度是米．
16.【答案】
【解析】【分析】
作于，根据含度的直角三角形三边的关系得到，，再在中根据正切的定义可计算出，然后把与相加即可．
本题考查了解直角三角形、含角的直角三角形的性质、三角函数定义等知识；熟练掌握含角的直角三角形的性质和三角函数定义是解题的关键．
【解答】
解：作于，如图，
在中，，，
，，
在中，，
，
；
故答案为：．
17.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
，
，
设，
在中，，，
又，即，
，
解得，，
答：的长约为．
【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
18.【答案】解：由题意可得，米，，
在中，，米，
，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
即这栋楼的高度是米．
【解析】在直角三角形中和直角三角形中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
19.【答案】解：过点作于，
依题意知，，；
四边形是矩形；
；
在中，
；
米；
点到地面的距离为 米；
斜坡的坡比：．
中，米，
米．
在中，
米．
．
米．
答：宣传牌的高度约为米．
【解析】过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论；
解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：由题意得，，，，
海里，
答：渔船航行的距离是海里；
过作于，过作于，延长交于，
则四边形和四边形是矩形，
海里，海里，
设海里，
海里，
由题意得，，，
，，
，
解得：，
，海里，
海里，
海里，
答：中国渔政船此时到外国渔船的距离是海里，到外国渔船的距离是海里．
【解析】由题意得到，，，根据直角三角形的性质即可得到结论；
过作于，过作于，延长交于，得到四边形和四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，设，求得，解直角三角形即可得到结论．
本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
21.【答案】解：结论；不会．理由如下：
作于．
由题意可知：，，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
这条高速公路不会穿越保护区．
【解析】作于求出与比较即可解决问题．
本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
22.【答案】解：由折叠的性质可知，≌，
，，
，
，
，
；
如图，过作于点，
，，
，
，，
，
．
，
，，
．
【解析】由折叠得出、，结合知，从而得出，据此得证；
作，由且知，根据知，据此得，利用勾股定理可得答案．
本题主要考查三角形的外接圆，解题的关键是掌握折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点．
23.【答案】解：过点、分别作，，垂足为、，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
，
答：，两点间的距离为米，
【解析】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系以及几个直角三角形之间的关系是正确解答的关键．
通过作辅助线，在三个直角三角形中，根据边角关系，分别求出、、、，进而求出答案．
24.【答案】证明：是的直径，
。
，，
，
．
是的半径，且，
是的切线．
解：，，
．
设，则，
，
，解得，
．
，
，
．
，
，
或不符合题意，舍去，
的长是．
【解析】由是的直径，得，由，得，即可证明是的切线．
由，，得，设，则，，所以，则，所以，由，得，则，即可求得．
此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键．
25.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
在中，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
．
【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，根据切线的判定定理即可得到是的切线；
连接，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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