26.2实际问题与反比例函数 人教版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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26.2实际问题与反比例函数人教版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.年月，长沙晚报对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度单位天与完成运送任务所需时间单位：天之间的函数关系式是( )
A. B. C. D.
2.防汛期间，下表记录了某水库内水位的变化情况，其中表示时间单位：，表示水位高度单位：，当时，达到警戒水位，开始开闸放水，该阶段与满足我们学过的某种函数关系，其中开闸放水后有一组数据记录错误，它是( )
A. 第小时 B. 第小时 C. 第小时 D. 第小时
3.公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡后来人们把它归纳为“杠杆原理”通俗地说，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，动力臂为，则撬动这块大石头至少需要的动力是( )
A. B. C. D.
4.我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线部分，则当时，大棚内的温度约为( )
A. B. C. D.
5.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热，水温开始下降，此时水温单位：与开机后用时单位：成反比例关系，直至水温降至，饮水机重新开始加热，重复上述过程．若在水温为时，接通电源后，水温单位：和时间单位：的关系如图，为了在上午第一节下课时能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的
( )
A. B. C. D.
6.某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积至少为( )
A. B. C. D.
7.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自年月开始限产进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是( )
A. 月份的利润为万元
B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C. 治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
D. 月份该厂利润达到万元
8.远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数度是关于镜片焦距的反比例函数，当时，下列说法中，错误的是( )
A. 与的函数关系式为
B. 随的增大而减小
C. 当远视眼镜的镜片焦距是时，该镜片是度
D. 若一副远视眼镜的度数不大于度，则焦距不大于
9.为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积一定的污水处理池，池的底面积与其深度满足关系式：，则关于的函数图象大致是
( )
A. B. C. D.
10.地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是( )
A. 海拔越高，大气压越大
B. 图中曲线是反比例函数的图象
C. 海拔为千米时，大气压约为千帕
D. 图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
11.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，如图，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球体积应．( )
A. B. C. D.
12.已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应( )
A. 不小于
B. 小于
C. 不小于
D. 小于
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.设矩形的两条邻边长分别为，，且满足，若此矩形能被分割成个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ．
14.在对物体做功一定的情况下，力牛与此物体在力的方向上移动的距离米成反比例函数关系，其图象如图所示，点在图象上，则当力达到牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米．
15.一货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时吨，一共装了小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时吨，设卸货的时间是小时，则与之间的函数关系式是 不必写自变量取值范围．
16.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数统计数据见下表已知该运动鞋的进价为元双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为 元
售价元双
销售量双
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量毫克百毫升与时间时变化的图象如图图象由线段与部分双曲线组成所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于毫克百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
求部分双曲线的函数表达式；
参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上：在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上：能否驾车去上班？请说明理由．
18.本小题分
一辆客车从地出发前往地，平均速度千米小时与所用时间小时的函数关系如图所示，其中．
求与的函数关系式及的取值范围；
客车上午点从地出发客车需在当天点至点分含点与点分间到达地，求客车行驶速度的取值范围．
19.本小题分
教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温与时间的关系如图所示：
分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；
怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待______？
20.本小题分
教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序若在水温为时接通电源，水温与时间的关系如图所示．
分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式．怡萱同学想接高于的水，请问她最多需要等待多长时间
21.本小题分
已知在中，边的长为，边上的高为，的面积为．
与的函数解析式为______ ，的取值范围是______ ；
请在图中，画出该函数的图象；
若，是图象上的两个点，且，试判断，的大小．
22.本小题分
根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．

关于的函数关系式为 ．
求当时，物体所受的压强是 ．
当时，求受力面积的变化范围．
23.本小题分
某燃气公司计划在地下修建一个容积为为定值，单位：的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积单位：与其深度单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．
求储存室的容积的值；
受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积的取值范围．
24.本小题分
为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成间办公室和间教室的药物喷洒要；完成间办公室和间教室的药物喷洒要．
校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
消毒药物在一间教室内空气中的浓度单位：与时间单位：的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室共间进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
25.本小题分
通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标随时间分钟变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
求点对应的指标值；
张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：运送土石方总量平均运送土石方的速度完成运送任务所需时间，
，
，
故选：．
按照运送土石方总量平均运送土石方的速度完成运送任务所需时间，列出等式，然后变形得出关于的函数，观察选项可得答案．
本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键．
2.【答案】
【解析】解：设与的函数表达式为，由记录表得：，
，
当时，，
故第小时这一组数据记录错误，
故选：．
根据记录表由待定系数法就可以求出与的函数表达式．
考查了待定系数法求反比例函数的解析式，在解答时求出函数的解析式是关键．
3.【答案】
【解析】解：根据“杠杆定律”有，
函数的解析式为，
当时，，
因此，撬动石头需要，
故选：．
根据杠杆定律求得函数的解析式后代入求得力的大小即可．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．
4.【答案】
【解析】解：由题意，点在双曲线的图象上，且点的坐标为，
，
解得：，
双曲线的解析式为；
当时，，
即当时，大棚内的温度约为．
故选：．
观察图象可得点的坐标为，根据点求出双曲线的解析式，然后把代入求出此时的温度即可．
本题主要考查了反比例函数的应用，能够结合函数图象并利用待定系数法求解析式是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的应用先求出一次函数，令，得，和反比例函数，令， ，解得，得饮水机的一个循环周期为，循环周期内，在及时间段内，水温不超过，逐个分析即可．
．
【解答】
解：开机加热时每分钟上升，从到需，
设一次函数表达式把、代入得解得，令，得，
设反比例函数为把代入得，把代入，得，，令， ，解得，
饮水机的一个循环周期为，每一个循环周期内，在及时间段内，水温不超过，
选项A中，有，，在间，可行；
而中有，，不在或间，故B不行；
中，有，不在或这个时段内，故C不行；
中，有，，不在或这个时段内，故D不行，
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系．然后再根据题意确定变量的取值范围．
先求出反比例函数关系式，再根据题意列出不等式求解即可．
【解答】
解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过
，
，
当时，，
解得．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案．
【解答】
解：、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
月份的利润为万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，
故每月利润比前一个月增加万元，故此选项正确，不合题意；
C、当时，则，
解得：，
设一次函数解析式为：，
则，解得：
故一次函数解析式为：，
当时，则，
则只有月，月，月，共个月的利润低于万元，故此选项不正确，符合题意．
D、一次函数解析式为：，
故时，，
解得：，
则治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，故此选项正确，不合题意．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：镜片的度数度是关于镜片焦距的反比例函数，当时，，
，
与的函数关系式为，
故A不符合题意；
，，
随着增大而减小，
故B不符合题意；
当时，，
故C不符合题意；
一副远视眼镜的度数不大于度，随着增大而减小，
焦距不小于，
故D符合题意，
故选：．
根据题意求出与的函数关系式，再根据反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征分别判断即可．
本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限先根据得出关于的函数解析式，再根据反比例函数的性质解答，注意深度的取值范围．
【解答】
解：为不等于的常数，
，是的反比例函数．
依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．
故选C．
10.【答案】
【解析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式．首先设与的函数解析式为，然后把点代入可得与的函数解析式，把代入可得的值，进而可得答案．
【解答】
解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过点
，
即在第一象限内，随的增大而减小，
当时，．
为了安全起见，气体体积应不小于．
故选A．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当，可判断．
考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
【解答】
解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为
图象过点
即，
在第一象限内，随的增大而减小，
当时，．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由可得，，
矩形的面积，
此时矩形能被分割成个全等的正方形，
则正方形面积为，边长也为，
那么图形只有下面一种情况，
其对角线长为，
故答案为：
根据全等图形和矩形的性质解答即可．
此题考查全等图形，关键是根据全等图形的概念解答．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
根据图象可知，反比例函数图象上的点满足函数关系式，从而求得函数解析式，再求当时，的值．
【解答】
解：设力牛与此物体在力的方向上移动的距离米的函数关系式为
，
把点代入得
则
所以当牛时，米．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
根据甲港的装货速度是每小时吨，一共装了小时，可以得到这批货物总的吨数，然后根据时间总量速度，即可写出与之间的函数关系式
本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式．
【解答】
解：由题意可得，．
即与的函数关系式是．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．根据表格中与的值，确定出关系式，根据利润售价进价销售量表示出利润，由已知利润列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】
解：由表中数据得：，
，
则所求函数关系式为；
由题意得：，
把代入得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：若计划每天的销售利润为元，则其单价应定为元．
故答案为．
17.【答案】解：依题意，直线过，则直线的解析式为，
当时，，即，
设双曲线的解析式为，将点代入得：，
；
由得当时，，
从晚上：到第二天早上：时间间距为小时，
，
第二天早上：不能驾车去上班．

【解析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
先求出的函数解析式，得出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
令，求出的值，计算出从晚上：到第二天早上：的时间间距，再比较即可．
18.【答案】解：设与的函数关系式为，将代入，
得：，
解得：，
与的函数表达式为；
当点到下午点时，
千米小时，
当时，千米小时，
客车行驶速度的范围为千米小时千米小时．
【解析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键正确理解题意，利用待定系数法求出反比例函数关系式．
用待定系数法即可求解；
当点到下午点时，千米小时，当时，千米小时，即可求解．
19.【答案】解：观察图象，可知：当时，水温，
当时，设关于的函数关系式为：，
，
解得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，，
与的函数关系式为：，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
．
【解析】解：见答案；
将代入，得，
将代入，得，
，，
怡萱同学想喝高于的水，她最多需要等待，
故答案为：．
根据函数图象和题意可以求得关于的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
根据中的函数解析式可以解答本题．
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
20.【答案】解：观察图象，可知：当时，水温，
当时，设关于的函数关系式为，
易得解得
即水温上升阶段，关于的函数表达式为
当时，设，得，解得，
即水温下降阶段，关于的函数表达式为．
将代入，得，
将代入，得．
时，，
，
怡萱同学想接高于的水，她最多需要等待．

【解析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
根据待定系数法求出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式即可；
根据中的函数解析式可以解答本题．
21.【答案】
【解析】解：由题意，得：，
，
是边上的高，
；
故答案为：，；
，；
列表如下：
画图如下：
由图象可知，
随的增大而减小．
，
．
利用三角形的面积公式，求出函数解析式即可；
画出反比例函数的图象即可；
根据图象和反比例函数的性质，进行求解即可．
本题考查反比例函数的应用．根据题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用，列表，描点，连线画出图象，是解题的关键．
22.【答案】解：设，
点在这个函数的图象上，
．
．
与的函数关系式为，．
当时，．
令，，
令，，
当时，．
【解析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
观察图象易知与之间的是反比例函数关系，所以可以设，依据图象上点的坐标可以求得与之间的函数关系式．
将代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强．
将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围．
23.【答案】解：设底面积与深度的反比例函数解析式为，
把点代入解析式得，
由得，
当时，，
当时，，
当时，．
【解析】此题主要考查反比例函数的应用，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中．
设底面积与深度的反比例函数解析式为，把点代入解析式求出的值；
由的范围和图象的性质求出的范围即可．
24.【答案】解：设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒分别要和，
则，解得，
故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒分别要和．
一间教室的药物喷洒时间为，则个房间需要，
当时，，故点坐标为，
设反比例函数表达式为，
将点的坐标代入上式并解得，
故反比例函数表达式为，
当时，，
故一班学生能安全进入教室．
【解析】本题主要考查反比例函数的应用．
设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒分别要和，则，即可求解；
由点，则反比例函数表达式为，当时，，即可求解．
25.【答案】解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入
得：，
解得：，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
，
，即对应的指标值为；
设当时，的解析式为，将、代入
得：，
解得：，
的解析式为：，
当时，，解得：，
由得反比例函数的解析式为：，
当时，，解得：，
时，注意力指标都不低于，
而，
张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于．
【解析】设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值；
求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．
本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式．
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