27.1图形的相似 人教版初中数学九年级下册同步练习（含答案解析）

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27.1图形的相似人教版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形中，是相似形的是
( )
A. 所有平行四边形 B. 所有矩形 C. 所有菱形 D. 所有正方形
2.两个相似多边形的一组对应边的长分别为，，那么它们的相似比为
( )
A. B. C. D.
3.下列各组种的四条线段成比例的是( )
A. 、、、 B. 、、、
C. 、、、 D. 、、、
4.如果，那么下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.若，则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
8.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
9.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为，则它的宽约为( )
A. B. C. D.
10.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长约为
( )
A. B. C. D.
11.已知点把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是( )
A. B. C. D.
12.我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为，如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，在某校的年新年晚会中，舞台的长为米，主持人站在点处自然得体，已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 米．
14.有一张矩形风景画，长为，宽为，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为，左、右边衬的宽都为，那么 ．
15.在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即已知为米，则线段的长为 米．
16.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为________结果保留根号
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知，且，求的值．
18.本小题分
已知，，为的三边，，且，求的面积．
19.本小题分
如图，四边形∽四边形．
的度数为______ ，四边形与四边形的相似比为______ ；
分别求边与边的长度．
20.本小题分
已知线段，，求线段，的比例中项线段的长．
已知：：，求的值．
21.本小题分
如果是我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法如图：
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段．
求的度数：
在第题图中，延长交于，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为，若已知，求的长．
22.本小题分
如图，在中，，在边上截取，连接，若点恰好是线段的一个黄金分割点，且有且，求的度数．
23.本小题分
已知，，若是，的比例中项，求的值；
如图，点是线段的黄金分割点，已知，求的长．
24.本小题分
如图，已知矩形和矩形，，，，．
求和的值
线段，，，是成比例线段吗
25.本小题分
我们知道：如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点它们的比值为．
在图中，若，则的长为 ．
如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点的对应点为，得折痕试说明：是的黄金分割点．
如图，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取一点，连接，作，交于点，连接，延长，交于点他发现当与满足某种关系时，，恰好分别是，的黄金分割点请猜想小明的发现，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似变换的定义有关知识．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】
解：所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B.所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
C.所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D.所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似多边形相似比的定义：相似多边形对应边的比叫做相似比．根据相似多边形对应边的比叫做相似比即可求解．
【解答】
解：两个相似多边形的一组对应边分别为和，
它们的相似比为
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【详解】解： ，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B. ，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C. ，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D. ，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
4.【答案】
【解析】【分析】根据比例的性质解答即可．
【详解】解：、由 可得 ，与已知条件不符，不符合题意；
B、由 可得 ，与已知条件相符，符合题意；
C、由 可得 ，与已知条件不符，不符合题意；
D、由 可得 ，与已知条件不符，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟知两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
把代入，则，
故选：．
根据比例的性质解答即可．
此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质代入解答．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
利用等比性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键．直接利用比例的性质得出，之间关系进而得出答案．
【解答】
解：由得，故此项等式不成立；
B.由得，故此项等式不成立；
C.由得，故此项等式不成立；
D.由得，故此项等式成立，
故选D．
8.【答案】
【解析】解：，
设，则，
．
故选：．
直接用同一未知数表示出，的值，进而代入化简即可．
此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解答】
解：设书的宽为，则由题意得：
，
解之得：，
所以宽约为，
故选A．
10.【答案】
【解析】解：是的黄金分割点，线段的长为，
，
，
故选：．
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：是线段的黄金分割点，且，
，
．
故选：．
根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，从而得出答案．
本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质有关知识，根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解．
【解答】
解：在中，，，
，
平分，
，
，
，
，
和都是顶角为的等腰三角形，
顶角为的等腰三角形为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为，
，
即，
，
故选A．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可．
【解答】
解：点是线段上靠近点的黄金分割点，米，
米，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比；相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；相似多边形面积的比等于相似比的平方．
根据新的矩形的长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同得到得，根据新矩形的面积比原风景画的面积大得到，然后解关于、的方程组求出和的值，在计算即可．
【解答】
解：根据题意得
，解得，
，
，
整理得，
把代入得，
整理得，解得，舍去，
，
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】根据点是的黄金分割点，可得 ，代入数值得出答案．
【详解】点是的黄金分割点，
．
米，
米．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了比例线段，黄金分割的概念， 先利用黄金分割的定义计算出，然后计算即得到的长．
【解答】
解：为的黄金分割点，
，
，
故答案为．
17.【答案】解：设，则，，，
，
，
，
，，，
．
【解析】设，得出，，，再根据，求出的值，然后得出，，的值，从而得出的值．
此题考查比例的性质，关键是设，得出的值．
18.【答案】解：设，
所以，，，
把，，代入，
可得：，
解得：，
，，，
，，
，
是直角三角形，
的面积．
【解析】根据比例的性质得出，，的值，再根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理和三角形面积，关键是根据比例的性质得出，，的值解答．
19.【答案】解：，；
四边形∽四边形，
，
，．
【解析】【分析】
本题考查相似图形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是找准对应角对应边．
根据相似得到对应角相等，再根据四边形内角和定理即可得到答案；
根据相似得到对应线段成比例即可得到答案．
【解答】
解：四边形∽四边形，
，，，
，
相似比为：．
故答案为：，；
见答案．
20.【答案】解：由题意，
，
，
；
：：．
可以假设，，
原式．
【解析】根据比例中项的定义求解即可；
设，，代入求解即可．
本题考查比例线段，解题的关键是掌握比例中项的定义，学会利用参数解决问题．
21.【答案】解：如图，连接，
由折叠可得：，，垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
．
四边形为矩形，
，
；
如图：
是矩形纸片，，
，
黄金矩形以为宽，，
，
，
，
，
由勾股定理得，
．
【解析】连接，先证明为等边三角形，从而，由等边三角形的性质及矩形的性质即可求出的度数，即可得到；
先根据黄金矩形求出，再根据得到，然后根据度角的性质和勾股定理求出，然后作答即可．
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，度角的性质和勾股定理，能够根据折叠的性质证出是解题的关键．
22.【答案】解：，
，
，
，
点恰好是线段的一个黄金分割点，且有，
根据黄金分割可得：：：，
：：，
，
∽；
，
，
是的外角，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
【解析】根据两边成比例夹角相等，证明两三角形相似，然后利用相似三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
23.【答案】解：是，的比例中项，
，
；
点是线段的黄金分割点，
，
，
．
【解析】由是，的比例中项，得到，代入即可求出答案；
由黄金分割点的定义进行计算即可．
本题考查了黄金分割点的概念以及比例中项，正确运用黄金比进行计算是解题的关键．
24.【答案】解：，，，，
， ．
由知，，
，
线段，，，是成比例线段．

【解析】见答案
25.【答案】解：；
如图，
连接设，则．
四边形是正方形，
．
由折叠的性质，得，，，．
在中，
．
．
在中，
在中，，
，
解得，
即．
．
是的黄金分割点．
当时，，恰好分别是，的黄金分割点．
，
．
又，
．
，，
．
．
设，
则．
，
．
，
即．
，
解得或舍去．
．
．
，分别是，的黄金分割点．

【解析】【分析】
本题考查了翻折变换的性质，黄金分割，全等三角形的判定与性质．
由黄金分割点的概念可得出答案；
连接设，则根据勾股定理得，求得即，则可得出答案；
证明≌，由全等三角形的性质得出，证明得出，则可得出答案．
【解答】
解：由题意，得，，
所以．
见答案；
见答案．
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