27.2相似三角形 人教版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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27.2相似三角形人教版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，∽，若，，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，已知零件的外径是，现用一个交叉卡钳两条尺长和相等测量零件的内孔直径如果：：：，且量得，则零件的厚度为．( )
A. B. C. D.
3.如图，在一块斜边长的直角三角形木板上截取一个正方形，点在边上，点在斜边上，点在边上，若：：，则这块木板截取正方形后，剩余部分的面积为( )
A. B. C. D.
4.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为米的竹竿的影子是米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，他们测得落在地面的影长为米，台阶总的高度为米，台阶水平总宽度为米．则树高为( )
A. B. C. D.
5.如图，矩形纸片，：：，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在平行四边形中，是上的点，，连接交于点，则与的面积之比为( )
A. B. C. D.
7.如图，，分别是的边，上的点，且，交于点，则的值为
( )
A. B. C. D. 以上答案都不对
8.如图，在 中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，，点在上，点在上，、、相交于点，则图中相似三角形共有( )
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
10.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度长为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，在中，点、、分别是边、、上的点，，，且：：，那么：等于( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
12.如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.已知正方形的边长为，，分别是，上的两个动点，且始终保持当 时，四边形的面积最大．
14.如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ．
15.如图，在中，，，，，的平分线交于点，则______．
16.如图，在中，为上一点，，则：的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
求证：∽；
若，，，求 的长．
18.本小题分
小强在周末搞了一次校外测量活动，他找到了一工厂的烟囱，正好阳光明媚，他就考虑用测量影子的方法去计算这个工厂烟囱的高度，但他发现烟囱的影子没有完全落在平地上，如图，影子一直落在了前面低洼处的点，测得当时是米，为米，为米点、、、在一条水平线上，、在一条水平线上，他自己的身高是米，当时他在阳光下的影长为米．求这座烟囱的高度为多少米．结果精确到米
19.本小题分
如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示；他在地面上的影子如图中线段所示，路灯灯泡在点正上方．
如果小明身高，他的影子长，他到路灯的距离，求灯泡高；
在的条件下当小明越过路灯到达时，发现影长和身高相等，求小明前行的路程．
20.本小题分
一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．
求这个正方形零件的边长；
如果把它加工成矩形零件如图，问这个矩形的最大面积是多少？
21.本小题分
已知：中，为边上的中线，点在上，且，射线交于点，求的值．
22.本小题分
如图，已知，求证：。
23.本小题分
如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
如果，，，求的长；
如果：：，，，求的长．
24.本小题分
如图，在中，，是斜边上的高．

求证：；
若，，求的长．
25.本小题分
在中，，现有动点从点出发，
沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，
如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，
当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为秒，求：
用含的代数式表示，；
当为多少时，的长度等于？
当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．
直接利用相似三角形的性质，得出 ，进而得出答案．
【解答】
解：因为 ∽，所以 ，即 ，解得．
所以的长是．
2.【答案】
【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得的值．
【解答】解：：：，，
∽，
：，
，
，
某零件的外径为，
零件的厚度为：，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设，则，
四边形为正方形，
，，
∽，
，
，
在中，，即，
解得，，
，，，
剩余部分的面积，
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的对应边成比例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形对应边成比例，通过解方程求解，加上的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
【解答】
解：过点作于点，如图．
，，，
，
，
．
．
米，
则树高为米．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作于点，设与交于点，
由折叠可知，点与点对应，则，
，，
，即，
又，
∽，
．
故选A．
过点作于点，设与交于点，利用两角对应相等求证∽，即可求出的值．
本题考查翻折变换，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．
6.【答案】
【解析】【分析】此题主要考查平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，根据平行四边形对边平行且相等和已知的，求得两相似三角形对应边的比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解．
【解答】
解：因为四边形为平行四边形，所以，．
所以∽因为，
所以，即．
所以与的面积比为．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：由∽，求得，
再由∽，求得．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．
【解答】解：在 中，，，
四边形为平行四边形，，，
易得∽∽，
，，项错误；
，项错误；
，项错误；
，项正确；
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
根据平行线法即可判断；
本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
【解答】
解：，
∽，∽，∽，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
【解答】
解：，，
，
又对顶角相等，
∽，
，
即，
解得．
故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
由，推出∽，推出，由，可得，知，进一步由，
得∽，即可解决问题．
本题相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【解答】
解：，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中根据题意，易证∽∽，利用相似比，可求出、面积比，再求出阴影部分面积与△ABC．
【解答】
解：被截成三等分，
∽∽，
，
：：
：：
故选C．
13.【答案】
【解析】解：设，则，
当时，利用互余关系可证∽，
所以，即，得．
而．
故当时，四边形的面积最大．
14.【答案】
【解析】解：如图，
四边形为矩形，
，，，
，
又，
∽，
，
是边的中点，，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的应用．
根据矩形的性质可得出，进而可得出，结合，可得出∽，利用相似三角形的性质可得出，即，利用勾股定理可求出的长度，即可求出的长．
15.【答案】
【解析】【解答】
解：，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，
，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
由，，，所以，再证明，根据相似比求出的长．
16.【答案】
【解析】解：，
．
，
∽，
，
．
故答案为：．
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出∽，再根据相似三角形的对应边成比例，变形即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明出∽．
17.【答案】证明：因为四边形是平行四边形，所以，．
所以， ．
因为，，所以C.
所以∽．
解：因为，，所以．
由，得∽ ，所以．
又，所以．
在中，由勾股定理，得．
则的长为．

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，
利用对应两角相等，证明∽；
利用∽，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度．
18.【答案】解：延长、相交于点．
由于平行光线下，∽，
．
而米，
即，
解得：米．
又米，
米．
答：这座烟囱的高度约为米．
【解析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解题关键．
根据题意得出∽，进而求出的长，再求出的长，进而得出答案．
19.【答案】解：连接，
，
∽，
，
，，，
，
解得，
灯泡的高为
设影子长为，连接，
，
∽，
，
，
，
，
小明前行的路程为．
【解析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似三角形得比例关系是解题的关键．
连接，证∽，根据线段比例关系求出即灯泡的高度；
设影子长为，连接，证∽，根据线段比例关系求出即可求出小明前进的路程．
20.【答案】解：设正方形零件的边长为
在正方形中，，
∽，∽
，，
，
即：，
解得：，
即：正方形零件的边长为．
设，，
∽，
，
，
矩形面积
故当时，此时矩形的面积最大，最大面积为．

【解析】本题考查了正方形以及矩形的性质，相似三角形的应用有关知识．
根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即∽，∽，从而得出边长之比，，得到，进而求出正方形的边长即可；
设，，利用∽得出对应比例关系，然后再进行解答．
21.【答案】解：如图，过点作交于点．
，，为边上的中线，
，，
，，
，
．
【解析】【分析】
过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理及中线的定义得到，，即可得，，代入求值即可．
【点评】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线，灵活运用定理是解题的关键．
22.【答案】证明：∽，
，．
，
．
∽．
【解析】本题考查的是相似三角形的判定与性质有关知识，根据∽得出，，再利用得出，最后利用相似三角形的判定定理解答．
23.【答案】解：，
，
，，，
，
．
过点作，交于点，交于点，
则，
，
，
，
：：，，
，
，
．
【解析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由，，即可求出的长．
过点作，交于点，交于点，运用比例关系求出及的长，然后即可得出的长．
本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
24.【答案】证明见解析


【解析】【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似即可证明．
根据相似三角形的性质即可求得 的长．
【详解】证明： 是斜边 上的高，
，
又



，

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准判定相似三角形的条件．
25.【答案】解：由运动知，，，
， ，
点在上运动，
，即，
点在运动，
，
，
，
故答案为： ，，；
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得： 或 舍去，
故答案为：；
以点，，为顶点的三角形与 相似，且，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
即当为或 时，以点，，为顶点的三角形与 相似，
故答案为：或 ．

【解析】略
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