28.1锐角三角函数 人教版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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28.1锐角三角函数人教版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是
( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正形的顶点上，则的值为
( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为
( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形面积是，则( )
A. B. C. D.
6.如图，大楼的右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼，在小楼的顶端处测得障碍物边缘点的俯角为，测得大楼顶端的仰角为点、、在同一水平直线上已知，，则障碍物、两点间的距离是
( )
A. B. C. D.
7.如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均在格点上，则的值是( )
A. B. C. D.
9.如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.若，则锐角的度数是
( )
A. B. C. D.
11.在中，，如果，，那么的长是( )
A. B. C. D.
12.如图，四边形中，，，，若，则对角线长的最大值是
( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.在中，，如果，那么______．
14.正方形网格中，如图放置，则的值为______．
15.已知等腰三角形的底边和底边上的高分别是方程的两个根，则底角的正弦值是 ．
16.如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
先化简，再求值：
，其中．
18.本小题分
如图，在 中过点作，垂足为，连接，为上一点，且．
求证：∽；
若，，，求的长．
19.本小题分
如图，已知钝角．
过钝角顶点作，交于点使用直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹；
若，，，求的长．
20.本小题分
如图，在四边形中，，．
求证：≌；
当时，求的度数．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
请以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在图中轴右侧画出；
点为内一点，请直接写出点位似变换后的对应点的坐标为
的外接圆圆心坐标为 ，的外接圆半径为
请直接写出的正切值为
22.本小题分
如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点．
试判断与的位置关系，并说明理由；
过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积．
23.本小题分
如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点，与相交于点．
求证：是的切线；
若，求阴影部分的面积．
24.本小题分
如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，．
求的度数；
设求的值．
25.本小题分
如图，在中，，为的中点，连接，过点作，过点作，与相交于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义及运用，构造直角三角形是本题的关键．
连接先利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】
解：连接．
则，，，
，
为直角三角形，
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．
【解答】
解：如图，过作于，则，
．
．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的运用以及解锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．
【解答】
解：如图，过作于，则，
．
．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．过作于，则，根据已知求出，，求出、的长，根据勾股定理求出即可．
【解答】
解：过作于，则，
，，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：
，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的面积，难度适中．
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解答】
解：大正方形的面积是，小正方形的面积是，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
过点作于点，过点作于点通过解直角得到的长度；通过解直角得到的长度，则．
【解答】
解：如图，过点作于点，过点作于点．
则，
在直角中，，，
．
在直角中，，，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查网格中的锐角三角函数和勾股定理逆定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
延长到，连接，由网格可得，即得，然后根据三角函数的定义求解即可．
【解答】
解：延长到，连接，如图：
，，，
，
，
，
故选C．
8.【答案】
【解析】如图，延长到，连接，
，，，
，
，故选C．
9.【答案】
【解析】如图，过作于点．斜面坡度为，米，米在中，米故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查特殊角的三角函数值，掌握几种特殊角的三角函数值是解题关键先得出的度数，再求即可．
【解答】
解：，
，
，
．
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据，求出即可．
【解答】
解：在中，，，
又，
，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
在的下方过点作，使得，连接，，求出的长，证明∽，进而证明∽，利用相似三角形的性质得出，求出的长，然后根据三角形的三边关系得出，得出对角线长的最大值．
【解答】
解：如图，在的下方过点作，使得，连接，，
则，
，
，
，
∽，
，，
，
∽，
，
，
，
，
即的最大值为．
故选D．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值得出，进而得出的度数，进而得出答案．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
根据正切定义，进行计算即可．
此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．
【解答】
解：如图，过点作于点，
由图可知，，
，
故答案为：．
15.【答案】或
【解析】解：方程，
分解因式得：，
解得：或，
当为底边，为底边上的高，此时底角的正弦值为；
当为底边，为底边上的高，此时底角的正弦值为
故答案为：或
利用因式分解法求出已知方程的解，确定出底边与高，即可求出底角的正弦值．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
如图，过点作于点首先证明：：，设，，根据，构建方程求解即可．
【解答】
解：如图，过点作于点．
在中，，，，
，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
，
设，，则，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
17.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
∽；
解：，，
，
在中，，
在中，根据勾股定理得：，
，
由得：∽，
，即，
解得：．
【解析】由平行四边形的性质得出，，，得出，，证出，即可得出结论；
由三角函数求出，由勾股定理求出，再由相似三角形的性质求出的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19.【答案】解：如图，线段即为所求．
在中，
，，
，
在中，
．

【解析】本题考查的是利用尺规作图作垂线和解直角三角形，掌握垂直平分线的作法以及利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
根据过一点作已知直线的垂线的作法作图即可；
先在中求出，再在中，根据，即可得出答案．
20.【答案】解：证明：在和中，
，
≌；
过点作于点，如图所示，
，，
，
，
又在中，，，
，
又≌，
．
【解析】根据已知条件利于即可求证≌；
过点作于点，根据已知条件利于锐角三角函数求出的长，再根据边的关系即可推出的度数，从而求出的度数．
本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及能结合三角函数进行正确计算是解题的关键．
21.【答案】 解：如图所示，即为所求；
；
；；
．
【解析】【分析】
本题考查了位似变换作图，解决本题的关键是掌握画位似变换图形的一般步骤．
根据画位似图形的一般步骤：确定位似中心；
分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
顺次连接上述各点，即可得到放大或缩小的图形．
根据的条件，即可写出点位似变换后的坐标；
外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，和的垂直平分线的交点即为圆心的位置，再利用勾股定理可求解半径；
求出，，，，由平行线的性质及正切的定义可求解．
【解答】
解：见答案；
根据位似比为，可得点位似变换后的对应点的坐标为，
故答案为 ；
根据网格的特点作和的垂直平分线相交于点，点即为的外接圆的圆心，连接，如下图所示：
根据勾股定理可得的半径为：，
即 的外接圆圆心坐标为， 的外接圆半径为，
故答案为；；
根据勾股定理得，，，
，
，
根据网格的特点得，
，
故答案为．
22.【答案】解：与相切，
理由：连接，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
，
，
与相切；
的平分线交于点，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
则，
故图中阴影部分的面积为：．
【解析】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出的长是解题关键．
直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出，进而得出答案；
利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
23.【答案】解：如图，过点作，垂足为点，连接，，
是等腰三角形，点是底边的中点，
平分，
是的切线，
，
又，
，
即是的半径，
是的切线；
，点为的中点，
，
，，，
≌，
在中，设，则，
由勾股定理，得，
解得，即，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【解析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义等知识．
过点作，垂足为点，连接，，根据等腰三角形的“三线合一”可得平分，利用角平分线的性质得到，得到是半径，即可得到结论；
设，则，利用勾股定理得到，根据，得到，进而得到，的值，证明≌，可得四边形的面积是面积的倍，根据求得结论．
24.【答案】解：，，，
又，
为直角三角形，
；
，，
，
，
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理逆定理，可得到为直角三角形，进而得出；
在中，利用勾股定理可得到的长，进而根据锐角三角函数定义可得到的值．
25.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
在中，，为边的中点，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，
，
设，，
，
，
．
【解析】本题考查了菱形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
根据直角三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，设，，根据勾股定理即可得到结论．
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