2.1坐标法同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析）

2.1坐标法同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点，则线段AB的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．点关于点的对称点为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是（ ）
A．C(-3)和D(-4) B．C（3）和D(4)
C．C(-4)和D（3） D．C(-4)和D(-3)
4．过点P(3,﹣4)作圆(x﹣1)2+y2＝2的切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　 ）
A．x+2y﹣2＝0 B．x﹣2y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣2＝0 D．x+2y+2＝0
5．已知直线3x y+1=0的倾斜角为α，则
A． B．
C． D．
6．已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（ ）
A．5 B． C．1 D．
7．已知数轴上，两点的坐标分别为，，则为（ ）.
A．0 B． C． D．
8．如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（ ）
A． B． C．3 D．
9．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（ ）
A．的坐标的坐标 B．
C．的坐标 D．的坐标
11．下列说法正确的是（ ）
A．点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3）
B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0
D．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
12．（多选题）对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
三、填空题
13．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，定义P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜．已知点B（1，0），点M是直线kx－y＋k＋3＝0（k＞0）上的动点，则 .
15．已知数轴上有点，，，点C在直线AB上，且有，延长DC到点E，使，则点E的坐标为 .
四、双空题
16．如图所示，已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是的中点，直线l与相交于点P.
（1）当时，直线l的方程为 ；
（2） .
五、解答题
17．如图，在中，，P为三角形内一点，且.求证：.
18．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线相交于两点，且.
（Ⅰ）若为抛物线上三点，若为的重心，求的值；
（Ⅱ）抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，求圆上一点到线段的中点的最大距离.
19．（1）已知直线经过点，且到点与点的距离相等．求直线的方程；
（2）直线与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程．
20．在中，两直角边AB，AC的长分别为m，n（其中），以BC的中点O为圆心，作半径为r（）的圆O．
（1）若圆O与的三边共有4个交点，求r的取值范围；
（2）设圆O与边BC交于P，Q两点；当r变化时，甲乙两位同学均证明出为定值甲同学的方法为：连接AP，AQ，AO，利用两个小三角形中的余弦定理来推导；乙同学的方法为；以O为原点建立合适的直角坐标系，利用坐标法来计算.请在甲乙两位同学的方法中选择一种来证明该结论，定值用含m、n的式子表示.（若用两种方法，按第一种方法给分）
21．数y=x2+ax+b的图象与坐标轴交于三个不同的点A、B、C，已知△ABC的外心在直线y=x上，求a+b的值.
22．已知椭圆C的焦点为和 ，长轴长为，设直线交椭圆C于A，B两点
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求弦AB的中点坐标及弦长．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案.
【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为，即.
故选：A.
2．D
【解析】设，则由中点坐标公式可得，，解出，从而可得点的坐标
【详解】设，则，，∴，，
∴点，
故选：D.
3．A
【分析】对选项逐一分析点的位置，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，在右侧，符合题意；
对于B选项，在左侧，不符合题意；
对于C选项，在左侧，不符合题意；
对于D选项，在左侧，不符合题意.
故选：A
【点睛】本小题主要考查数轴上点的位置判断，属于基础题.
4．C
【分析】画出图象，以P为圆心，以PB长度为半径可得到圆P，则圆(x﹣1)2+y2＝2与圆P的公共弦所在直线即为直线AB，利用两点间的距离公式和勾股定理可求出圆P的方程，然后两个方程相减即可得到直线AB的方程.
【详解】如图，圆P为以P为圆心，以PB长度为半径的圆，则圆(x﹣1)2+y2＝2与圆P的公共弦所在直线即为直线AB，
在中，，则，
所以圆P的方程为：，又圆C的方程为：(x﹣1)2+y2＝2，
以上两个等式相减可得，，化简得，.
故选：C.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及两圆的公共弦问题，着重考查学生数形结合的思想和转化问题的能力，属中档题.
5．A
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．
【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．
6．D
【分析】直接根据中点坐标公式可得，即可得答案；
【详解】，故.
故选：D.
【点睛】本题考查中点坐标公式，属于基础题.
7．C
【分析】根据数轴上两点、的距离公式即可得．
【详解】.
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，属于基础题．
8．A
【分析】取的中点，连接，根据数形结合分析可知，根据的位置关系求的最大值.
【详解】取的中点，连接，
，，
,
由图象可知，
当三点共线时，等号成立，
所以点到原点的最大距离是.
故选：A.
【点睛】本题考查动点和定点距离的最大值，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是分析三点的位置关系.
9．B
【分析】设，，，转化为点到和点三个点的距离之和，画出图形，结合费马点的性质求出点坐标，得到答案.
【详解】设，，，
则，
即为点到和点三个点的距离之和，
则△ABC为等腰三角形，如图，
由费马点的性质可得，需满足：点P在y轴上且∠APB＝120°，则∠APO＝60°，
因为|OA|＝|OB|＝2，则，所以点坐标为时，距离之和最小，
最小距离之和为.
故选：B.
10．BC
【分析】已知点坐标，结合向量坐标的表示及模的坐标计算，判断各选项的正误.
【详解】数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故坐标坐标，A不正确；
数轴上两点间的距离一定是非负的，，B正确；
的坐标，C正确；
的坐标，D不正确.
故选：BC.
11．ACD
【解析】通过对称性判断A；两点式方程的体积判断B；截距式方程判断C，三角形的面积判断D；
【详解】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（，）
满足直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1，
所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3），
所以A正确；
当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2），
两点的直线方程为，所以B不正确；
经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程
为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以正确；
直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：8，所以D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线方程的求法，直线的位置关系的判断，是基本知识的考查.
12．BCD
【分析】化简，结合两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，可得，
可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，
故答案为：BCD.
【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.
13．
【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合进行求解.
【详解】，
可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差.
，
所以的最大值为.
故答案为：
14．5
【详解】由结论1，可得，则
15．
【分析】设，，根据，求得，再根据，即可得出答案.
【详解】解：设，，则，解得所以.
如图D-2-1所示，因为E在DC的延长线上，所以，解得，即点.
故答案为：.
16． 或
【分析】第（1）问先由圆A与直线相切易求出圆的半径，进而求出圆A的方程，然后再求解直线l的方程，注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第（2）问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论．
【详解】（1）设圆A的半径为R.圆A与直线相切，，圆A的方程为，
①当直线l的斜率不存在时，易知直线l的方程为，此时，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
连接，则，
，，
，解得，
直线l的方程为，
综上，直线l的方程为或；
（2），，，
当直线l的斜率不存在时，
得，则，
又，，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由，得，
，
，
综上所述，为定值，其定值为.
故答案为：或；.
【点睛】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.解题时应注意：1．求圆方程的常用方法：①待定系数法②相关点法③定义法，分析动点满足某圆的定义，然后根据定义求出曲线方程，求直线方程常运用待定系数法，其中使用斜截式表多.2．是否为定值问题，常常是依据题目中的条件去求解，如果求出则为定值，否则不为定值．
17．证明见解析.
【分析】如图，以C为坐标原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，设.利用面积相等可得P的坐标为.再代入两点间的距离公式，即可证明结论；
【详解】如图，以C为坐标原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，设.
因为，所以，
即，所以.
，即，所以.
所以符合条件的点P的坐标为.
此时，，
，
，
所以，
故结论成立.
【点睛】本题考查坐标法和两点间距离公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
18．（Ⅰ）3；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据题意，求出的坐标，得出抛物线，由焦点，为的重心，设点，，，得出，即可得出结果；
（Ⅱ）设点，，利用点差法，求得，根据条件，得出，得出线段的中点坐标为，即可得出到线段的中点的最大距离.
【详解】（Ⅰ）因为关于轴对称，所以的纵坐标为，横坐标为1，
代入，可得，
依题意，设点，，，
又焦点，
所以，
则.
（Ⅱ）设点，，则
则，
，
又关于直线对称，，
即，，
又的中点一定在直线上，
，
线段的中点坐标为，
故
从而到的最大距离为.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，涉及点差法求直线的斜率、点对称的性质、中点坐标公式等知识点，考查转化思想和解题能力.
19．（1）或 （2）
【分析】（1）直线到两个点的距离相等有两种情况：①直线是两点连线线段的中垂线；②直线和两点所在直线平行。（2）两直线平行则斜率相同，再求出在两坐标轴上的截距之和即可求解。
【详解】（1）解：①若直线过线段中点，则斜率，直线的方程为，
即；
②若直线与直线平行，则斜率，直线的方程为，即．
综上所述直线的方程为或．
（2）设直线的方程为，则直线的横截距，纵截距，
由．所以直线的方程为．
【点睛】此题考查直线和直线的位置关系，特别注意直线到两点的距离相等有两种情况，属于较易题目。
20．（1）（2）见解析
【分析】（1）计算出圆与边、边相切时的半径，从而得到满足要求的r的取值范围；
（2）甲同学方法：连接，，，利用余弦定理，表示出、，然后通过计算，得到，乙同学方法：以点为原点，建立坐标系，设点，将用坐标表示，通过计算，得到.
【详解】（1）因为，故当圆与边相切时，
此时圆与的三边共有3个交点；
当圆与边相切时，，
此时圆与的三边共有5个交点，
故当时，圆与的三边共有4个交点.
（2）甲同学方法：连接，，，
在中，由余弦定理可得：①
在中，由余弦定理可得：②
由，得，
又，
故①②得：，
故
乙同学方法：以点为原点，建立如图所示直角坐标系，
易知
设点，则
．
【点睛】本题考查直线与圆相切求半径的大小，余弦定理解三角形，两点间距离公式，属于中档题.
21．
【分析】根据外心的几何意义可得，外心在直线x上，由题可得知△ABC的外心在直线y=x上，外出外心坐标，根据几何意义建立方程求解.
【详解】设外心为点P，
由y=x2+ax+b，可得函数的对称轴为x，
∴△ABC的外心在直线x上，
∵△ABC的外心在直线y=x上，
∴外心P的坐标为（，），
对于y=x2+ax+b，令x=0，则y=b，
∴C（0，b），
设A（m，0）（m＜0），B（n，0），（n＞0）
则m+n=﹣a，mn=b
∵|PA|2=（m）2a2=（m）2a2，
|PB|2=（n）2a2=（n）2a2，
|PC|2=（b）2a2=（b）2a2，
∴（m）2a2=（b）2a2=（n）2a2，
整理可得m=b，n=﹣a﹣b，
∴mn=m=b，
∴n=1，
∴a+b=.
【点睛】此题考查根据二次函数和三角形外接圆的几何特征求参数的值，涉及韦达定理与距离公式的综合应用.
22．（1）；（2），.
【解析】（1）由题意以及即可求出椭圆的标准方程.
（2）将直线与椭圆方程联立，由中点坐标公式以及弦长公式即可求解.
【详解】（1）因为椭圆C的焦点为和 ，长轴长为4，
所以椭圆的焦点在x轴上，.
所以.
所以椭圆C的标准方程.
（2）设，，AB线段的中点为，
由得,
所以，
所以
所以弦AB的中点坐标为，
.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，中点坐标公式以及弦长公式，需熟记方程与公式，属于中档题.
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