鸡西市第十九中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题
（试题总分：150分 答题时间：120分钟）
温馨提示：沉着应对，冷静作答，成功属于自信的你!
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．过点且斜率为的直线的点斜式方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．方程所表示的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
6．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（ ）
A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为
C．的离心率为 D．的虚轴长为
8．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．16 D．25
多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过点 B．直线的斜率为
C．直线在上的截距为 D．直线在上的截距为
10．已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的离心率为
C． D．的渐近线方程为
11．已知、分别为椭圆：的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆的长轴长为
C．若点是线段的中点，则的斜率为
D．的面积最大值为
12．已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中.直线与椭圆交于两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．的周长为
B．若的中点为，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若时，则的面积是
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为
14．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是 ．
15．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是 ．
16．若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．等差数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求n.
18．已知直线和圆．
(1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
19．已知椭圆的长轴长为10，焦距为6．
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
20．已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
21．如图，在三棱台中，，平面，且为中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求此时直线和平面所成角的正弦值.
22．已知双曲线过点和点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A B C D B A D BD ABC BCD ACD
鸡西市第十九中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题答案
13.
14. 且
15.2
.
参考答案：
1．C
【分析】根据交集的定义计算可得；
【详解】解：因为，所以.
故选：C
2．D
【分析】利用复数的运算法则进行化简，求出共轭复数，根据复数的几何意义进行求解.
【详解】复数，则，即其在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D．
3．B
【分析】根据直线的点斜式方程形式，可直接得到结果.
【详解】过点且斜率为的直线的点斜式方程为，
故选：
4．C
【分析】将圆的一般式化为标准形式，即可得圆心坐标.
【详解】由，
所以圆心坐标为.
故选：C
5．D
【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程.
【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上，
故抛物线的标准方程是.
故选：D
6．B
【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程.
【详解】由题意，
平面内点P到、的距离之和是10，
∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,
, 解得：，
∴，
∴轨迹方程为: ，
故选: B.
7．A
【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可
【详解】因为，所以，
因为焦点在轴上，
所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为．
故选：A.
8．D
【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，取到最大值.
故选：D.
9．BD
【分析】根据直线，对各个选项分析判断即可求出结果.
【详解】选项A，因为，即直线不过点，所以选项A不正确；
又由，得到，所以直线斜率为，在上的截距为，所以选项BD正确，
又由直线，令，得到，所以选项C错误，
故选：BD.
10．AB
【分析】根据方程可得的值，结合选项可得答案.
【详解】在中，，，，，A正确；
的离心率，B正确；
由双曲线的定义或，C错误；
的渐近线方程为，即，D错误.
故选：AB．
11．BCD
【分析】AB选项，根据椭圆方程得到，，从而求出离心率和长轴长；C选项，设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出点坐标，得到的斜率；D选项，在C选项基础上，求出和点到直线的距离为，表达出的面积，求出最大值.
【详解】AB选项，由题意得，故，
故椭圆的离心率为，长轴长为，A错误，B正确；
C选项，设不过原点且斜率为1的直线为，
联立得，
由，解得，
设，则，
则，
故，
故的斜率为，C正确；
D选项，由C选项可知，，
点到直线的距离为，
故的面积为
，
因为，所以，
故当时，的面积取得最大值，最大值为，D正确.
故选：BCD
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
12．ACD
【分析】根据椭圆定义可知的周长为，可判断A正确；联立直线和椭圆方程求出点的坐标，表示出斜率公式即可得，可得B正确；由易知点在以为圆心，半径为的圆上，即可得圆与椭圆有交点，需满足，可得离心率，可知C正确；将代入联立的方程可得的面积，可得D正确.
【详解】由可知，；
显然直线过点，如下图所示：
由椭圆定义可知的周长为，所以A正确；
设，中点；
将直线和椭圆方程联立，消去整理可得；
由韦达定理可得，所以，
代入直线方程解得，即；
所以，
可得，所以B错误；
根据B选项，由可得，
可得，即点在以为圆心，半径为的圆上；
又点在椭圆上，即可得圆与椭圆有交点，
根据对称性可知，即，所以可得离心率，即C正确；
若时，由选项B可知联立直线和椭圆方程可得；
所以可得；
所以
易知的面积
即可得的面积是，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.
13．
【分析】直接根据基本量写出等差数列通项公式
【详解】设等差数列的公差为，由题意，.
故答案为：
14．且
【分析】根据方程表示椭圆有，即可得范围.
【详解】由方程表示椭圆，则，可得且.
故答案为：且
15．
【分析】根据双曲线的渐近线为求解即可.
【详解】双曲线的渐近线为，
又因为双曲线的一条渐近线与直线平行，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程.
【详解】将化为，
动点到点的距离比它到直线的距离大1，
则动点到点的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，
该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，
设，
所以，解得，
所以抛物线方程为，
故答案为：.
17．(1)，.
(2)11
【分析】（1）利用等差数列的定义计算基本量即可；
（2）利用等差数列的求和公式计算基本量即可.
【详解】（1）设公差为，则由题意可得，
又，
所以，；
（2）由（1）可知，
即，所以.
18．(1)相交，截得的弦长为2.
(2)或.
【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.
【详解】（1）由圆可得，圆心,半径，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，
直线被圆截得的弦长为.
（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得的值，由，即可得所求方程
（2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.
【详解】（1）设C的焦距为，长轴长为，
则，
所以，所以，
所以C的方程为．
（2）设，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即．
由点为线段的中点，
得，
则l的斜率，
所以l的方程为，
即．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的准线方程求出得解；
（2）联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系及弦长公式建立方程即可得解.
【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，
所以 ， 解得，
所以抛物线的方程为.
（2）如图，
设，.
将代入，
消去整理得 .
当时，
， .
，
化简得：，解得，
经检验，此时，故.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，以及判断定理，即可证明；（2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，最后代入线面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1）因为平面平面，所以.
又因为为中点，
所以，
又，且平面，
所以平面；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，则.
所以，
可取，则，
设直线和平面所成角为，
则，
故直线和平面所成角的正弦值为.
22．(1)
(2)是，定值为．
【分析】（1）代入点的坐标联立方程可得双曲线方程， 进而由离心率公式即可求解.
（2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式分别求解，即可代入化简求解.
【详解】（1）将点和点的坐标代入，
得，解得
所以双曲线的离心率．
（2）依题意可得直线的斜率存在，设：．
联立得，
设，，则，，
所以．
，直线：．设，．
联立得，
则且，
则
，
所以，所以为定值，定值为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围或者定值问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
