2.4.1 二次函数的应用（第1课时） 同步课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
2.4.1 二次函数的应用
（第1课时）
1.经历计算最大面积问题的探究，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量间的函数关系，并运用二次函数知识解决实际问题的最值，增强解决问题的能力.
学习目标
想一想：如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？
由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
当自变量的取值范围是全体实数时，
(1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
创设情境，引入新知
当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，
(1)若 在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，
最大值与最小值同时存在，
如图①，当a＞0时， 最小值在x＝ 处取得，
最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值；
当a＜0时，最大值在x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值；
创设情境，引入新知
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值
中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.
创设情境，引入新知
同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多
思考:现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌
创设情境，引入新知
核心知识点一：
几何图形面积的最大面积
例1：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
思考：△CBF与△EAF有什么关系？有何启发？
自主合作，探究新知
解: (1)∵AB=x,则BF=40-x.
∵BC∥AD,
∴△BCF∽△AEF.
即
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
自主合作，探究新知
(2)设矩形的面积为ym ，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
解: (2)由面积公式易得：
即
所以，当x=20时，y的值最大，最大为300.
即当AB=20cm时，矩形最大为300cm .
自主合作，探究新知
变式：在上面的问题中，把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
思考：类比原题的方法，能否利用相似表示AD？
A
C
D
40m
30m
B
O
E
F
自主合作，探究新知
A
C
D
40m
30m
B
∟
∟
M
N
O
E
F
解：过点O作OM⊥EF交于AD与点N，由勾股定理易得EF=50cm，由等积法可得OM=24，
设AB=x，则MN=AB=x，易得ON=24-x，
由△AOD∽△FOE，得
即 ，
易得
所以当AB=12cm时，矩形最大为300cm .
自主合作，探究新知
例2：某建筑物的窗户如下图,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
y
x
典例解析
x
y
x
解：
典例解析
设窗户的面积是Sm ，则
∴当 时，
因此当x约为1.07时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m .
典例解析
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8米，
宽是2米，抛物线可以用 表示.
(1)一辆货运卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？
(2)如果该隧道内设双向车道，那么这辆货运
卡车是否可以通过？
2
4
-2
-4
o
3
x
y
典例解析
2
4
-2
-4
o
3
x
y
解：(1)把y=4-2=2代入 得：
解得 ，则此时可通过货运卡车宽度为 米，
所以高4米，宽2米的卡车能通过该隧道.
(2)由(1)得当y=2时， ,
因为 ，所以能通过.
典例解析
归纳总结
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
归纳总结
1.已知二次函数y=3x2-12x+13,则函数值y的最小值是(　　)
A.3 B.2 C.1 D.-1
解析:∵二次函数y=3x2-12x+13可化为y=3(x-2)2+1,
∴当x=2时,二次函数y=3x2-12x+13有最小值,为1.故选C.
C
随堂练习
2.用长为8 m的铝合金制成的形状为矩形的窗框,则窗框的透光面积最大为 (　　)
A. m2 B. m2 C. m2 D.4 m2
解析:设矩形的一边长为x m,则另一边长为(4-x)m,矩形的面积S=x(4-x)=-(x-2)2+4,因为a=-1<0,所以当x=2时,S有最大值,最大值为4.故选D.
D
随堂练习
3.周长为16 cm的矩形的最大面积为　　cm2.
16
4.如图所示,一边靠墙(墙足够长),用120 m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍,要使鸡舍的总面积最大,则每间鸡舍的长与宽分别是　　　m,　　　 m.
解析:由题意,得2x+3y=120,
所以y=40- x,
鸡舍的总面积S=2x = ,
所以当x=30时,鸡舍的总面积最大,此时y=20.
30
20
随堂练习
解:∵∠C=90°, AC=8, BC=6,
∴AB=10.
∵四边形CDEF是矩形,
∴EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC,
5.一块三角形废料如图所示,∠C=90°,AC=8,BC=6.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.当AE为多长时所剪出的矩形CDEF面积最大 最大面积是多少
随堂练习
同理可得DE= x.
矩形CDEF的面积
S=DE·EF= (0∴当x=5时, S有最大值,为12.
即当AE为5时, 所剪出的矩形CDEF面积最大, 最大面积为12.
设AE=x,则BE=10-x,
随堂练习
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
课堂小结
1.布置作业：教材“习题2.8”中第2、3题.
2.完成练习册中本课时的练习.
作业布置