3.3 垂径定理 同步课件(共28张PPT)
文档属性
| 名称 | 3.3 垂径定理 同步课件(共28张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-18 08:49:31 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
第三章 圆
3.3 垂径定理
1. 理解垂径定理的推导。
2.利用垂径定理解决实际问题。
学习目标
你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
创设情境，引入新知
它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
创设情境，引入新知
核心知识点一：
垂径定理及其推论
O
O
O
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
自主合作，探究新知
根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？
并尝试证明？
AM=A’M
⌒
⌒
AC＝ A’C ， AD＝ A’Ｄ
⌒
⌒
已知：线段AA’是⊙O的一条弦，直径CD⊥AA’，垂足为M。
求证：AM=A’M,
⌒
⌒
AC = A’C,
⌒
⌒
AD =A’D.
O
A
D
C
A'
M
自主合作，探究新知
证明:设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上的点CD以外的任意一点.
O
A
D
C
过A作AA'垂直CD，交于⊙O点A'，垂足为M，连接OA，OA'.
A'
M
在△OAA'中，
∵OA=OA'，
∴△OAA'是等腰三角形.
又∵AA'垂直CD
∴MA=MA'
即CD是AA'的垂直平分线.
自主合作，探究新知
从上面的证明过程中我们可以知道：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A'重合，AE与BE重合，AC和A'C,AD与A'D重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
∴MA=MA',AC=A'C,AD=A'D
)
)
)
)
即直径CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA'
)
)
自主合作，探究新知
归纳总结
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
归纳总结
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
归纳总结
练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
D
A
B
O
C
D
E
O
C
D
A
B
O
定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
牛刀小试
如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M
（1）图是轴对称图形吗 如果是其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
D
A
B
M
O
自主合作，探究新知
连接OA、OB，
易证OM⊥AB，∠AOC=∠BOC
∴AC=BC，AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
即直径CD⊥AB，直径CD平分AB所对的劣弧AB和优弧ADB
⌒
⌒
C
D
A
B
M
O
自主合作，探究新知
归纳总结
M
C
D
垂径定理推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
符号语言：在⊙O中，
∵CD是直径，AM=BM，且AB不是直径，∴CD⊥AB，
AC=BC，AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
归纳总结
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
归纳总结
归纳总结
例：如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 ,点O是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
E
O
D
C
F
└
典例解析
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
● O
C
D
E
F
┗
典例解析
试一试：1 400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4 m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2 m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1 m）.
巩固练习
解：如图，
OD = OC – DC = R – 7.2 .
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 + OD2 ，
即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2
解得 R ≈ 27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
AB = 37.4，
CD = 7.2
巩固练习
1.已知⊙0的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到弦AB的距离为( )
A. 8cm B. 5cm C. 9cm D. 12cm
B
A
O
∟
D
D
随堂练习
2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结
论不一定成立的是（ ）
CM = DM B.
C. ∠ACD =∠ADC D. OM = MD
D
=
随堂练习
3.如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点,若BC=6, AB=10, OD⊥BC于点D,则OD的长为______
4
随堂练习
4. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何 ”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.
随堂练习
解：连接OA,设⊙O的半径为r寸，则OE=（r-1）寸.
∵CD为直径，且CD⊥AB,∴ 寸.
在Rt△AOE中，
∵OA2=AE2=OE2,∴r2=52+（r-1）2，
解得r=13.
∴CD=26寸.
随堂练习
5.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
解：AC=BD.理由如下:
如图所示,过点О作OE⊥AB于点E.
∵在大圆中,AE=EB,在小圆中,CE=ED,
∴AE-CE=EB-ED,即AC=BD.
随堂练习
垂直于弦的直径
垂弦定理
的推论
垂弦定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
课堂小结
1.作业：教材“习题3.3”中第2、4题.
2.完成练习册中本课时的练习.
作业布置
第三章 圆
3.3 垂径定理
1. 理解垂径定理的推导。
2.利用垂径定理解决实际问题。
学习目标
你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
创设情境，引入新知
它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
创设情境，引入新知
核心知识点一：
垂径定理及其推论
O
O
O
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
自主合作，探究新知
根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？
并尝试证明？
AM=A’M
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AC＝ A’C ， AD＝ A’Ｄ
⌒
⌒
已知：线段AA’是⊙O的一条弦，直径CD⊥AA’，垂足为M。
求证：AM=A’M,
⌒
⌒
AC = A’C,
⌒
⌒
AD =A’D.
O
A
D
C
A'
M
自主合作，探究新知
证明:设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上的点CD以外的任意一点.
O
A
D
C
过A作AA'垂直CD，交于⊙O点A'，垂足为M，连接OA，OA'.
A'
M
在△OAA'中，
∵OA=OA'，
∴△OAA'是等腰三角形.
又∵AA'垂直CD
∴MA=MA'
即CD是AA'的垂直平分线.
自主合作，探究新知
从上面的证明过程中我们可以知道：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A'重合，AE与BE重合，AC和A'C,AD与A'D重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
∴MA=MA',AC=A'C,AD=A'D
)
)
)
)
即直径CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA'
)
)
自主合作，探究新知
归纳总结
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
归纳总结
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
归纳总结
练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
D
A
B
O
C
D
E
O
C
D
A
B
O
定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
牛刀小试
如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M
（1）图是轴对称图形吗 如果是其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
D
A
B
M
O
自主合作，探究新知
连接OA、OB，
易证OM⊥AB，∠AOC=∠BOC
∴AC=BC，AD=BD
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即直径CD⊥AB，直径CD平分AB所对的劣弧AB和优弧ADB
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C
D
A
B
M
O
自主合作，探究新知
归纳总结
M
C
D
垂径定理推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
符号语言：在⊙O中，
∵CD是直径，AM=BM，且AB不是直径，∴CD⊥AB，
AC=BC，AD=BD
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归纳总结
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
归纳总结
归纳总结
例：如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 ,点O是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
E
O
D
C
F
└
典例解析
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
● O
C
D
E
F
┗
典例解析
试一试：1 400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4 m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2 m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1 m）.
巩固练习
解：如图，
OD = OC – DC = R – 7.2 .
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 + OD2 ，
即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2
解得 R ≈ 27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
AB = 37.4，
CD = 7.2
巩固练习
1.已知⊙0的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到弦AB的距离为( )
A. 8cm B. 5cm C. 9cm D. 12cm
B
A
O
∟
D
D
随堂练习
2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结
论不一定成立的是（ ）
CM = DM B.
C. ∠ACD =∠ADC D. OM = MD
D
=
随堂练习
3.如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点,若BC=6, AB=10, OD⊥BC于点D,则OD的长为______
4
随堂练习
4. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何 ”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.
随堂练习
解：连接OA,设⊙O的半径为r寸，则OE=（r-1）寸.
∵CD为直径，且CD⊥AB,∴ 寸.
在Rt△AOE中，
∵OA2=AE2=OE2,∴r2=52+（r-1）2，
解得r=13.
∴CD=26寸.
随堂练习
5.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
解：AC=BD.理由如下:
如图所示,过点О作OE⊥AB于点E.
∵在大圆中,AE=EB,在小圆中,CE=ED,
∴AE-CE=EB-ED,即AC=BD.
随堂练习
垂直于弦的直径
垂弦定理
的推论
垂弦定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
课堂小结
1.作业：教材“习题3.3”中第2、4题.
2.完成练习册中本课时的练习.
作业布置