第二章 二次函数 单元小结 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
第二章
二次函数 单元小结
二次函数
定义
图象
相关概念
抛物线
对称轴
顶点
性质和图象
开口方向、对称轴、顶点坐标
增减性
解析式的确定
一般式 y=ax2+bx+c
顶点式 y=a(x-h)2+k
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
关联
二次函数与一元二次方程的关系
本章知识构架
知识点1：二次函数的定义
定义：一般地，形如 y=ax +bx+c（a，b，c是常数，a≠ 0）的函数叫做 x 的二次函数.
提示：（1）关于 x 的代数式一定是整式，a，b，c 为常数，且a≠0.
（2）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
知识专题
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = ax2 a ＞ 0
a ＜ 0
（一）抛物线 y = ax2 (a≠0) 的图象特点
向上
向下
x=0（y轴）
（0，0）
知识点2：二次函数的图象与性质
知识专题
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y =ax2 +k a ＞ 0
a ＜ 0
（二）抛物线 y = ax2+k (a≠0) 的图象特点
向上
向下
x=0（y 轴）
（0，k）
知识专题
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a(x-h)2 a ＞ 0
a ＜ 0
（三）抛物线 y = a(x-h)2 ( a≠0 )的图象特点
向上
向下
x=h
（h，0）
知识专题
1.平移关系
2.顶点变化
当h>0时，向右平移
当h<0时，向左平移
y=ax2
y=a(x-h)2
(h，0)
(0，0)
当k>0时，向上平移
y=a(x-h)2+k
(h，k)
知识点3：抛物线的平移
当k<0时，向下平移
知识专题
开口方向
顶点
对称轴
增减性
最值
向上
向下
知识点4：二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质
a>0
a<0
当 时，
当 时，y 随 x 的增大而增大
当 时，y 随 x 的增大而减小
当 时，y 随 x 的增大而减小
当 时，y 随 x 的增大而增大
当 时，
知识专题
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系
项目字母　　 字母的符号 图像的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0 与x轴有两个交点
b2－4ac＜0 与x轴没有交点
知识专题
2.已知抛物线顶点坐标（h， k），通常设抛物线解析式为_________________.
3.已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1，0)， (x2，0)，通常设解析式
为______________________.
1.已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________.
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k (a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
知识点5：二次函数解析式的三种表示方式
知识专题
知识点6.二次函数的实际应用
最大面积应用题的解题步骤
1.根据要求设出自变量x，因变量y是面积；
2.列出二次函数的解析式，写出自变量取值范围；
3.运用顶点公式或利用配方把解析式化为顶点式求出面积的最大值。
知识专题
最大利润应用题的解题步骤
1.总利润=单利润×销售数量；
2.设价格为自变量x，总利润为因变量y，列出关系式；
3.运用公式法或配方化为顶点式求出利润的最大值.
知识专题
知识点7.二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程的关系：
判别式 Δ=b2-4ac
Δ＞0
有两个交点
有两个不相等的实根
Δ=0
有一个交点
有两个相等的实根
Δ＜0
没有交点
没有实根
与x轴的交点
根的情况
二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax +bx+c=0的根
知识专题
专题一 二次函数的图像与性质
例1： 二次函数y=x2-2x-3的图像如图所示, 下列说法中错误的是(　　).
A．函数图像与y轴的交点坐标是(0, -3)
B．函数图像的顶点坐标是(1, -3)
C．函数图像与x轴的交点坐标是(3, 0), (-1, 0)
D．当x＜0时, y随x的增大而减小
B
考点专练
考点专练
【要点指导】解决这类问题主要是理解二次函数的定义与性质. 对于二次函数的性质有时要把表达式和图像联系起来理解.
考点专练
专题二 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数的关系
例2：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示, 那么下列判断不正确的是(　　).
A．ac<0 B．a-b+c＞0
C．b=-4a D．b2-4ac＞0
B
考点专练
考点专练
【要点指导】 a的值与图像的开口方向有关, 开口向上时,a＞0；开口向下时, a<0. 当对称轴在y轴左侧时, a, b同号；当对称轴在y轴右侧时, a, b异号．图像与y轴的交点在y轴正半轴上时, c＞0；图像与y轴的交点是原点时, c=0；图像与y轴的交点在y轴负半轴上时, c<0. 当图像与x轴有两个交点时, b2-4ac＞0；当图像与x轴只有一个交点时, b2-4ac=0；当图像与x轴没有交 点时, b2-4ac<0.
考点专练
专题三 求二次函数的表达式
例3：已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与抛物线y=2x2的开口方向相反、形状相同, 顶点坐标为(3, 5).
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的函数表达式；
(2)求抛物线y=ax2+bx+c与x轴、y轴的交点坐标.
考点专练
解: (1)∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2的开口方向相反、形 状相同,
∴a=-2.
又∵抛物线的顶点坐标为(3, 5),
∴y=-2(x-3)2+5= -2x2+12x-13.
(2)当x=0时, y=-13, 即抛物线与y轴的交点坐标为(0, -13)；当y=0时,
考点专练
【要点指导】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时常见的有三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线与x轴交点的横坐标.
考点专练
专题四 二次函数与一元二次方程的关系
例4 ：若二次函数y=2(k-1)x2-4kx+2(k-1)的图像与x轴有两个不同的 交点, 求k的取值范围.
考点专练
考点专练
【要点指导】 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点有三种情况：没有交点、有一个交点、有两个交点, 这分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实数根、 有两个不相等的实数根.
考点专练
专题五 二次函数的实际应用
例5 ：某公司设计了一款产品, 每件成本是50元, 在试销期间, 据市场调查发现, 当销售单价是60元/件时, 每天的销售量是250件, 而销售单价每增加1元, 每天会少售出5件, 公司决定销售单价x(元/件)不低于60, 而市场要求x不得超过100．
(1)求出每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式, 并写出x的取值范围；
考点专练
(2)求出每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式, 并求出当销售单价为多少时, 每天的销售利润最大, 并求出最大销售利润；
(3)若该公司要求每天的销售利润不低于4000元, 但每天的总成本不超过6250元, 则销售单价最低可定为多少？
考点专练
解: (1)y=250-5(x-60), 即y=-5x+550(60≤x≤100).
(2)W=(x-50)(-5x+550), 即W=-5x2+800x-27 500(60≤x≤100).
配方, 得W=-5(x-80)2+4500.
∵a=-5, ∴抛物线开口向下, ∴当x=80时, W有最大值, 为4500,
即当销售单价为80元/件时, 每天的销售利润最大, 最大销售利润为 4500元.
考点专练
(3)令W=4000, 则-5(x-80)2+4500=4000, 解得x1=70, x2=90.
∴当W≥4000时, x的取值范围为70≤x≤90.
∵50(-5x+550)≤6250, 解得x≥85,
∴x的取值范围为85≤x≤90, 即销售单价最低可定为85元/件.
考点专练
【要点指导】 解决这类问题首先要读懂题意, 找出题目中的变量和不变 量, 构造二次函数解决问题. 这类问题不仅与实际生活有密切联系, 而且还考查我们代数方面和几何方面的综合能力, 常作为压轴题出现.
考点专练
1.布置作业：教材“复习题”中第2、3、4、8、13 题
2.完成练习册中本课时的练习.
　　　
作业布置