四川省部分名校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析）

四川省部分名校2023-2024学年高二上学期期中联考
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册第一章到第二章2.1。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，则（ ）
A.4 B.2 C.-2 D.-4
2.四川省成都市2017年到2022年常住人口变化图如图所示：
则这6年的常住人口的第35百分位数为（ ）
A.1633万 B.1658.1万
C.2093.77万 D.2119.2万
3.已知点，则直线斜率的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4.在四面体中，为的中点，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.若数据的平均数为10，则新数据的平均数为（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
6.在如图所示的斜三棱柱中，，，则“”是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不允分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若函数，则下列结论错误的是（ ）
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线对称
C.的图象关于点对称
D.将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
8.如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为，A，B，C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则（ ）
A. B. C.2 D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
10.若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（ ）
A. B. C. D.
11.在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A.直线与平面所成角的正弦值为
B.点到平面的距离为
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.点到直线的距离为2
12.如图，在直角梯形中，，，将直角梯形绕着旋转一周得到一个圆台，下列说法正确的是（ ）
A.该圆台的体积为
B.该圆台的侧面积为
C.该圆台可由底面半径为2，高为3的圆锥所截得
D.该圆台的外接球半径为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线的斜率为6，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率为___________.
14.设向量在向量上的投影向量为，则___________.
15.已知a，b都是正数，则的最小值为___________.
16.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段，上，则的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知.
（1）求；
（2）若A为钝角，且，，求的周长.
18.（12分）
已知，，，.
（1）若直线与平行，求的值；
（2）若为直角三角形，求的值.
19.（12分）
如图，在底面为梯形的四棱锥中，，底面，，，，延长至点，使得.
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
某商场在双十一当口进行开业酬宾活动.每位顾客凭购物小票从2，3，4，5，6这5个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为a，第2个号码为b.设X是不超过的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代金券（若，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用.
（1）求的概率；
（2）已知甲、乙、丙三位顾客都参与了一次该活动，假设每位顾客抽取号码相互独立，求这三位顾客中至少有一位能获得代金券的概率.
21.（12分）
如图1，在菱形中，，将沿着翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥.
（1）证明：.
（2）若平面平面，为线段上一点（不含端点），且与平面所成角的正弦值为，求的值.
22.（12分）
已知函数.
（1）解方程；
（2）若的最大值为，且对恒成立，证明：.
数学试卷参考答案
1.C因为，所以.
2.B因为6×0.35=2.1，所以这6年的常住人口的第35百分位数为1658.1万.
3.A，当时，直线的斜率取得最小值，且最小值为.
4.B因为为的中点，所以.因为为的中点，所以，所以.
5.B因为数据的平均数为10，所以，所以新数据，24的平均数为.
6.C由
，
得，则，反之亦成立.
7.C，，A正确.
因为，所以的图象关于直线对称，B正确.
因为，所以的图象不关于点对称，C错误.
将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，所以D正确.
8.C过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，如图所示，
由题意可得.
因为正四棱锥的底面边长为6，所以，.
的长度为正四棱柱底面正方形对角线的长度，即，.
因为，所以，.
因为，所以，.
9.BC选项A，，所以，，共面；
选项D，，共线，则，，共面.
10.AD因为，所以直线的倾斜角.
11.BC，.
设平面的法向量为，
则
令，得.
设直线与平面所成的角为，且，则，点到平面的距离为，A错误，B正确.
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C正确.
设，则点到直线的距离，D错误.
12.ABD易知该圆台的高，上底面圆的半径，下底面圆的半径.
对于A，该圆台的体积，A正确.
对于B，该圆台的侧面积，B正确.
对于C，该圆台可由底面半径为2，高为2的圆锥所截得，C错误.
对于D，作该圆台与它的外接球的轴截面，如图所示，
其中线段的中垂线交直线于O点，点O就是外接球的球心.
作，垂足为，
易知，，，
所以，外接球半径，D正确.
13. 设直线的倾斜角为，则直线的斜率为.
14.1向量在向量上的投影向量为，则，解得.
15.4因为a，b都是正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4.
16. 该半正多面体的展开图如图所示，
，，，.
17.解：（1）因为，所以，
因为，所以.
（2）因为为钝角，且，所以.
由余弦定理得，
即，
所以，的周长为.
18.解：（1）依题意可得，
即，解得.
（2）若为直角，则，即，
解得.
若为直角，则，即，
解得.
若为直角，则，即，
解得.
综上，的值为-1或12或.
19.解：（1）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为.
（2），，.
设平面的法向量为，
则，即
令，得.
设平面的法向量为，
则，即
令，得.
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
20.解：（1）的所有情况为（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（4，3），（5，3），（6，3），（5，4），（6，4），（6，5），
共20种情况，其中满足的有4种，
设“”为事件，则.
（2）依题意可得当时，该顾客能获得代金券.
满足的共有10种情况，所以每位顾客每次参与活动获得代金券的概率为.
故这三位顾客中至少有一位能获得代金券的概率为.
21.（1）证明：取的中点，连接，.
因为是菱形，，所以，为等边三角形，
所以，.
又，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：因为平面平面，且平面平面，，所以平面.
以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
，，，，.
设，则.
设平面的法向量为，
则
取，则，，所以.
.
又，所以，则.
22.（1）解：，
又，所以，即.
（2）证明：因为，所以，
则.
当的取值范用为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，
所以的最小值为.
因为对恒成立，所以，即.