2.2直线及其方程 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.2直线及其方程 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 623.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-20 17:02:50 | ||
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文档简介
2.2直线及其方程同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．若斜率为的直线经过点，，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与平行，则两直线之间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．经过，两点的直线的斜率是（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知直线，,，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．当时，直线l的倾斜角为
C．当时，直线l的斜率不存在
D．当时，直线l与直线不垂直
6．若直线与垂直，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
7．若直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B．1 C．1或3 D．或3
二、多选题
9．对于直线l：，下列说法正确的是（ ）
A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点
C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限
10．已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线的点斜式方程可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于点对称的直线方程是
D．直线：与：之间的距离为
12．下列说法正确的是（ ）
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
三、填空题
13．已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为
14．直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是 ．
15．已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为 .
四、双空题
16．已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为 ；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为 ．
五、解答题
17．已知直线的方程为,
(1)若直线在轴上的截距为，求的值
(2)若求直线l与两坐标轴围成的图形面积；
18．已知点，，是的三个顶点．
(1)求三边的中点及、边的中线；
(2)求边的上高所在直线.
19．已知两条直线和.
(1)讨论直线与的位置关系；
(2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值.
20．在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为．
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值．
21．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求直线CD的方程；
(2)求平行四边形ABCD的面积.
22．已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程．
(1)在轴、轴上的截距互为相反数；
(2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】根据两点间的距离公式直接计算即可.
【详解】因为，
则,
故选：
2．D
【分析】根据两点斜率公式即可求解.
【详解】因为直线的斜率为，所以，解得，
故选:D．
3．C
【分析】根据两直线平行可得，再由平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】依题意，由两直线平行可知，解得，
所以两直线分别为，
可得两直线之间的距离为，
故选：C．
4．B
【分析】直接代入直线斜率公式即可.
【详解】经过，两点的直线的斜率是.
故选：B.
5．B
【分析】中，令时,可求得l的必过点，可判定选项A；根据斜率公式求得直线l的斜率，进而可求得直线l的倾斜角，可判定选项B; 当时，求得直线l的斜率，即可判定选项C；当时，求得直线l的斜率，在求得直线得斜率，即可判定两者得位置关系，可判定选项D.
【详解】中，令时，
可得l恒过定点，故选项A错误；
当时，直线的斜率为，
则若倾斜角时，，且，
则，故选项B正确；
当时，直线l为，斜率为，
故选项C错误；
当时，直线l的斜率为，
又,
所以，
则直线l与直线垂直，故选项D错误.
故选：B.
6．D
【分析】根据直线垂直的条件求解．
【详解】由题意，∴．
故选：D．
7．D
【分析】利用直线的倾斜角求得其斜率，再利用直线方向向量的定义即可得解.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以其中的一个方向向量为，故D正确，
其余选项经检验，皆错误.
故选：D.
8．A
【分析】利用两直线平行即可得，又因为时两直线重合，即可得.
【详解】根据题意，由两直线平行可得，即，
解得或；
经检验时，两直线重合，不合题意；
所以.
故选：A
9．ABD
【分析】由直线方程进行判断．
【详解】直线方程为，斜率为，一定存在，A正确；
，所以直线过点，B正确；
时斜率为，倾斜角为，C错误；
时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，D正确
故选：ABD．
10．BC
【分析】由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等，
因此直线存在斜率，设直线的方程为，即，
若点和点到直线的距离相等，
则，即，解得或，
∴直线的方程为或.
故选：BC.
11．BC
【分析】根据点斜式方程判断A；根据斜截式方程判断B；设直线关于点对称的直线方程是，利用点到直线的距离公式求解判断C；利用平行线间距离公式判断D.
【详解】直线的点斜式方程不表示直线，故A不正确；
由直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距为，故B正确；
设直线关于点对称的直线方程是，
由点到两直线的距离相等得，解得，
则直线关于点对称的直线方程是，故C正确；
直线：即，与：之间的距离为，故D不正确.
故选：BC.
12．BC
【分析】A注意垂直于x轴的直线；B由对称点所在直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上判断正误；C求直线与数轴交点即可求面积；D注意直线也符合要求即可判断.
【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误；
B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确；
C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确；
D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误.
故选：BC
13．
【分析】根据给定直线的斜率，结合正切函数性质求出倾斜角范围即可.
【详解】直线的斜率取值范围为，即，则，
所以倾斜角的范围为.
故答案为：
14．
【分析】先求出直线的倾斜角，再根据对称直线的倾斜角计算可得答案.
【详解】直线，故直线的斜率等于，
设直线的倾斜角等于，则，
且，故，
同理直线的倾斜角为，
所以直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是．
故答案为：.
15．
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用点斜式求解作答.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程是，即.
故答案为：.
16． 42
【分析】利用直线方程变换主元计算可得定点；设直线方程计算M、N坐标，再由两点距离公式及基本不等式计算即可.
【详解】直线，
联立，解得，，故；
易知直线的斜率存在且不为0，
设直线，
令，得；
令，得，
则，，
故，
当且仅当，即时等号成立．
故答案为：，
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据直线经过点，代入即可求解，
（2）求解直线在坐标轴上的截距，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由于直线在轴上的截距为，所以直线经过点，将代入直线方程中得，解得，
（2）当的方程为，
令，令，
所以围成的面积为
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用中点坐标公式可求出三边的中点坐标，然后再分别求出边、边上中线斜率，利用直线点斜式求出中线方程；
（2）先求出边的斜率从而求解出其高所在直线的斜率，再用直线的点斜式求出高所在直线方程.
【详解】（1）由题知：，，，设三边上的中点分别为：，
所以：边上中点：，边上的中点：，
边上的中点：，
所以：边中线为：；
所以：边的中线斜率为：，得边的中线方程为：，即：.
（2）由题知：边的斜率为：，所以：边上的高所在直线的斜率为：，
又因为高所在直线过点，所以：上的高所在直线方程为：，即：.
19．(1)答案见解析；
(2)平行时距离为，相交时最大夹角为．
【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可；
（2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为．
【详解】（1），且时，两直线相交，
时，两直线方程分别为和，两直线重合，
时，两直线方程分别为和，两直线平行．
综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行．
（2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为，
两直线相交时，且，
时，的斜率为，的斜率为，
由得，即时两直线垂直，夹角最大为．
20．(1)
(2)4
【分析】（1）根据直线的倾斜角为得到直线的方程，然后与边上的中线所在的直线方程联立得到点；
（2）设直线的方程为，根据点的坐标得到，然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又的坐标为，所以直线的方程为，即．
因为BC边上的中线经过点A，由与联立，解得，，
所以点的坐标为．
（2）依题意可设直线的方程为（，），则．
因为，，所以，则，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为．
21．(1)
(2)8
【分析】（1）由平行四边形ABCD的性质求出CD的斜率，由此能求出直线CD的方程；
（2）求出点到直线CD的距离d和，由此能求出平行四边形的面积．
【详解】（1）∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，
∴，
∴直线CD的方程为：，
整理得直线CD的方程为．
（2）点到直线CD的距离，
，
∴平行四边形的面积.
22．(1)或；
(2)
【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程；
（2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，．
【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或
（2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得，
故，故，当且仅当，即时等号成立，
故此时面积最小为,
故直线方程为，即
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．若斜率为的直线经过点，，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与平行，则两直线之间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．经过，两点的直线的斜率是（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知直线，,，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．当时，直线l的倾斜角为
C．当时，直线l的斜率不存在
D．当时，直线l与直线不垂直
6．若直线与垂直，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
7．若直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B．1 C．1或3 D．或3
二、多选题
9．对于直线l：，下列说法正确的是（ ）
A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点
C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限
10．已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线的点斜式方程可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于点对称的直线方程是
D．直线：与：之间的距离为
12．下列说法正确的是（ ）
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
三、填空题
13．已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为
14．直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是 ．
15．已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为 .
四、双空题
16．已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为 ；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为 ．
五、解答题
17．已知直线的方程为,
(1)若直线在轴上的截距为，求的值
(2)若求直线l与两坐标轴围成的图形面积；
18．已知点，，是的三个顶点．
(1)求三边的中点及、边的中线；
(2)求边的上高所在直线.
19．已知两条直线和.
(1)讨论直线与的位置关系；
(2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值.
20．在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为．
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值．
21．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求直线CD的方程；
(2)求平行四边形ABCD的面积.
22．已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程．
(1)在轴、轴上的截距互为相反数；
(2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】根据两点间的距离公式直接计算即可.
【详解】因为，
则,
故选：
2．D
【分析】根据两点斜率公式即可求解.
【详解】因为直线的斜率为，所以，解得，
故选:D．
3．C
【分析】根据两直线平行可得，再由平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】依题意，由两直线平行可知，解得，
所以两直线分别为，
可得两直线之间的距离为，
故选：C．
4．B
【分析】直接代入直线斜率公式即可.
【详解】经过，两点的直线的斜率是.
故选：B.
5．B
【分析】中，令时,可求得l的必过点，可判定选项A；根据斜率公式求得直线l的斜率，进而可求得直线l的倾斜角，可判定选项B; 当时，求得直线l的斜率，即可判定选项C；当时，求得直线l的斜率，在求得直线得斜率，即可判定两者得位置关系，可判定选项D.
【详解】中，令时，
可得l恒过定点，故选项A错误；
当时，直线的斜率为，
则若倾斜角时，，且，
则，故选项B正确；
当时，直线l为，斜率为，
故选项C错误；
当时，直线l的斜率为，
又,
所以，
则直线l与直线垂直，故选项D错误.
故选：B.
6．D
【分析】根据直线垂直的条件求解．
【详解】由题意，∴．
故选：D．
7．D
【分析】利用直线的倾斜角求得其斜率，再利用直线方向向量的定义即可得解.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以其中的一个方向向量为，故D正确，
其余选项经检验，皆错误.
故选：D.
8．A
【分析】利用两直线平行即可得，又因为时两直线重合，即可得.
【详解】根据题意，由两直线平行可得，即，
解得或；
经检验时，两直线重合，不合题意；
所以.
故选：A
9．ABD
【分析】由直线方程进行判断．
【详解】直线方程为，斜率为，一定存在，A正确；
，所以直线过点，B正确；
时斜率为，倾斜角为，C错误；
时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，D正确
故选：ABD．
10．BC
【分析】由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等，
因此直线存在斜率，设直线的方程为，即，
若点和点到直线的距离相等，
则，即，解得或，
∴直线的方程为或.
故选：BC.
11．BC
【分析】根据点斜式方程判断A；根据斜截式方程判断B；设直线关于点对称的直线方程是，利用点到直线的距离公式求解判断C；利用平行线间距离公式判断D.
【详解】直线的点斜式方程不表示直线，故A不正确；
由直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距为，故B正确；
设直线关于点对称的直线方程是，
由点到两直线的距离相等得，解得，
则直线关于点对称的直线方程是，故C正确；
直线：即，与：之间的距离为，故D不正确.
故选：BC.
12．BC
【分析】A注意垂直于x轴的直线；B由对称点所在直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上判断正误；C求直线与数轴交点即可求面积；D注意直线也符合要求即可判断.
【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误；
B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确；
C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确；
D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误.
故选：BC
13．
【分析】根据给定直线的斜率，结合正切函数性质求出倾斜角范围即可.
【详解】直线的斜率取值范围为，即，则，
所以倾斜角的范围为.
故答案为：
14．
【分析】先求出直线的倾斜角，再根据对称直线的倾斜角计算可得答案.
【详解】直线，故直线的斜率等于，
设直线的倾斜角等于，则，
且，故，
同理直线的倾斜角为，
所以直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是．
故答案为：.
15．
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用点斜式求解作答.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程是，即.
故答案为：.
16． 42
【分析】利用直线方程变换主元计算可得定点；设直线方程计算M、N坐标，再由两点距离公式及基本不等式计算即可.
【详解】直线，
联立，解得，，故；
易知直线的斜率存在且不为0，
设直线，
令，得；
令，得，
则，，
故，
当且仅当，即时等号成立．
故答案为：，
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据直线经过点，代入即可求解，
（2）求解直线在坐标轴上的截距，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由于直线在轴上的截距为，所以直线经过点，将代入直线方程中得，解得，
（2）当的方程为，
令，令，
所以围成的面积为
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用中点坐标公式可求出三边的中点坐标，然后再分别求出边、边上中线斜率，利用直线点斜式求出中线方程；
（2）先求出边的斜率从而求解出其高所在直线的斜率，再用直线的点斜式求出高所在直线方程.
【详解】（1）由题知：，，，设三边上的中点分别为：，
所以：边上中点：，边上的中点：，
边上的中点：，
所以：边中线为：；
所以：边的中线斜率为：，得边的中线方程为：，即：.
（2）由题知：边的斜率为：，所以：边上的高所在直线的斜率为：，
又因为高所在直线过点，所以：上的高所在直线方程为：，即：.
19．(1)答案见解析；
(2)平行时距离为，相交时最大夹角为．
【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可；
（2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为．
【详解】（1），且时，两直线相交，
时，两直线方程分别为和，两直线重合，
时，两直线方程分别为和，两直线平行．
综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行．
（2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为，
两直线相交时，且，
时，的斜率为，的斜率为，
由得，即时两直线垂直，夹角最大为．
20．(1)
(2)4
【分析】（1）根据直线的倾斜角为得到直线的方程，然后与边上的中线所在的直线方程联立得到点；
（2）设直线的方程为，根据点的坐标得到，然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又的坐标为，所以直线的方程为，即．
因为BC边上的中线经过点A，由与联立，解得，，
所以点的坐标为．
（2）依题意可设直线的方程为（，），则．
因为，，所以，则，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为．
21．(1)
(2)8
【分析】（1）由平行四边形ABCD的性质求出CD的斜率，由此能求出直线CD的方程；
（2）求出点到直线CD的距离d和，由此能求出平行四边形的面积．
【详解】（1）∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，
∴，
∴直线CD的方程为：，
整理得直线CD的方程为．
（2）点到直线CD的距离，
，
∴平行四边形的面积.
22．(1)或；
(2)
【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程；
（2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，．
【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或
（2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得，
故，故，当且仅当，即时等号成立，
故此时面积最小为,
故直线方程为，即
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页