苏科版七年级数学上册 第2章 有理数 同步单元复习题 （江苏地区适用）（含解析）

第2章 有理数 同步单元复习题
一、单选题
1．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）下列各数：，，3.14，0，其中有理数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．（2023上·江苏淮安·七年级统考期末）如图，数轴上的点A、B分别表示数a、b，，若，则点B表示的数为（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
3．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）比赛用的乒乓球质量有严格的规定，但实际生产的乒乓球的质量可能有一些偏差．请你根据下表中检验记录（“＋”表示超出标准质量，“－”表示不足标准质量），最接近标准质量的乒乓球的编号为（ ）
编号 1 2 3 4
偏差/g
A．1号 B．2号 C．3号 D．4号
4．（2023上·江苏无锡·七年级校联考期末）有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．c+d＞0 C． D．
5．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）如图，小明在某运动APP中，设定了每天的步数目标为8000步．该APP用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，如14日，小明少于目标数的步数为500步，则从13日到16日这四天中小明一共走的步数为（　　）
A．27200 B．32000 C．35800 D．36800
6．（2023上·江苏徐州·七年级校考期末）下列说法①若，则a、b互为相反数；②若a、b互为倒数，则；③若，则a、b均大于0；④若，则a一定为正数，其中正确的个数为（ ）
A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④
7．（2023上·江苏南京·七年级统考期末）下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022上·江苏南通·七年级统考期末）据报道，南通第一条地铁正在打造中，耗资约257.92亿元，将“257.92亿”用科学记数法表示为（　　）
A．257.92×108 B．2.5792×1010 C．0.25792×1011 D．25.792×108
9．（2023上·江苏南通·七年级统考期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2023次输出的结果是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6
二、填空题
10．（2023上·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）如果盈利100元记作元，那么亏损60元记作 元．
11．（2021上·江苏扬州·七年级统考期末）若气温上升记作，则气温下降记作 ℃．
12．（2023上·江苏南京·七年级统考期末）下列各数：，，，0，，，其中分数的个数是 个．
13．（2022上·江苏连云港·七年级统考期末）如图，将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的原点上，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，此时点表示的数是 ．（填“有理数”或“无理数”）
14．（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）化简： ．
15．（2023上·江苏盐城·七年级统考期末）阜宁某天清晨的温度是3℃，中午上升到7℃，由于冷空气骤然南下，到夜间又下降了10℃，则这天夜间的温度是 ℃．
16．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）2022 年北京冬奥会开幕式的冰雪五环由 21000 个灯珠组成，夜色中就像闪闪发光的星星，把开模式推向新的高度，将数据21000 用科学记数法表示为 ．
17．（2023上·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）2022年，全国教育事业统计结果发布，数据显示，全国各级各类学校共52.93万所，将数据万用科学记数法表示为 ．
三、解答题
18．（2023上·江苏南通·七年级统考期末）对于数轴上的线段与不在线段上的点，给出如下定义：若点与线段上的一点的距离等于，则称点为线段的“距点”．已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是，
(1)当时，在，，三个数中，______是线段的“2距点”所表示的数；
(2)若数轴上的点为线段的“距点”，则的最大值与最小值的差为______；
(3)若数轴上所对应的点是线段的“距点”，且的最大值与最小值的比为，求的值．
19．（2023上·江苏淮安·七年级统考期末）【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题：
(1)式子在数轴上的意义是 ；
(2)当取最小值时，x可以取整数 ；
(3)最大值为 ；
(4)的最小值为 ；
【解决问题】
(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
20．（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．
(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
21．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中，，如图所示：
(1)若以B为原点，写出点A、C所对应的数A：_____；C：______；
(2)若点O是数轴上的原点，且点A是线段的中点，直接写出A、B、C所对应的数；
(3)若点O是数轴上的原点，且，求A、B、C所对应的数．
22．（2023上·江苏无锡·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
23．（2023上·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考期末）一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，其行驶记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：千米）．
第1批 第2批 第3批 第4批
＋2.1 ＋2.9
(1)请确定送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置；
(2)若王师傅的车平均每千米耗油0.1升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？
24．（2023上·江苏盐城·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
25．（2023上·江苏淮安·七年级统考期末）新能源电动轿车越来越受现代家庭青睐．小明家买了一辆电动轿车，他连续10天记录了他家这辆轿车每天行驶的路程，以25km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）：
＋3，＋1，－4，＋1，－8，＋2，－6，＋2，－3，＋2．
(1)请计算小明家这10天这辆轿车行驶的总路程；
(2)若该轿车每行驶100km耗电15度，且轿车充电的价格为每度1.5元，请估计小明家一个月（按30天算）电动轿车耗电费用．
参考答案：
1．B
【分析】根据有理数的定义解答即可．
【详解】解：在，，3.14，0，中，有理数有，3.14，0，，共4个．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的定义．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．B
【分析】由，得，可得，进而求出．
【详解】解：，
，
，
，
即点表示的数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，掌握数轴上两点之间的距离的求法是解决本题的关键．
3．A
【分析】根据绝对值的定义求解，偏差数绝对值最小的最接近标准质量．
【详解】，，，，故1号偏差最小，最接近标准质量；
故选 ：A．
【点睛】本题考查绝对值的运用，掌握绝对值的求解是解题的关键．
4．C
【分析】根据数轴上各数的位置判断其大小和绝对值大小，再按照选项进行计算即可．
【详解】由数轴可知大小关系为
选项A中，且，得，正确；
选项B中，且，得，正确；
选项C中，，，，错误；
选项D中， ，，，正确．
故选C．
【点睛】本题考查数轴上数的大小判断、绝对值的计算和有理数加减结果的符号判断，根据大小进行判断和正确的化简绝对值是解题的关键．
5．C
【分析】根据正负数的意义，将图中数据相加即可求解．
【详解】解：从13日到16日这四天中小明一共走的步数为（步）
故选：C．
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减的应用，理解题意，列出算式是解题的关键．
6．B
【分析】分别利用有理数的加法、相反数的定义，倒数的定义、有理数乘法运算，绝对值的性质分别分析得出答案．
【详解】解：①若，则、互为相反数，是正确的；
②若、互为倒数，则，是正确的；
③若，则、均大于0或均小于0，题干的说法是错误的；
④若，则一定为正数或0，题干的说法是错误的．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相反数、倒数的定义、有理数的加法，乘法运算，绝对值的性质等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
7．A
【分析】根据乘方的定义解答即可．
【详解】A：，故A正确；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D错误．
故选：A．
【点睛】此题考查了负数的奇次方和偶次方的变化规律，根据定义可正确解答．
8．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：257.92亿＝25792000000＝2.5792×1010，
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．B
【分析】根据题目所给出的运算程序进行计算得出规律即可．
【详解】解：输入，
是奇数，
∴输出．
输入，
是偶数，
∴输出．
输入，
是奇数，
∴输出．
输入，
是偶数，
∴输出．
输入，
是奇数，
∴输出．
输入，
是偶数，
∴输出．
输入，
是偶数，
∴输出．
输入，
是偶数，
∴输出．
输入，
是奇数，
∴输出
依次类推，除去第一次输入，输出分别以循环．
．
故第次输出的结果是．
故选：B．
【点睛】本题考查了流程图与有理数的运算，熟练掌握有理数的相关运算法则，根据运算结果得出数字的变化规律是解本题的关键．
10．-
【分析】根据正负数的意义即可求解．
【详解】解：盈利100元记作元，那么亏损60元记作-元，
故答案为：-．
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解题意是解题的关键．
11．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：若气温上升记作，则气温下降记作．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
12．3
【分析】根据有理数的分类进行判断即可，有理数分为整数和分数．
【详解】解：和0是整数，
，，是分数，
是无理数，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了有理数的分类；熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
13．无理数
【分析】根据点移动的距离是圆的周长，求出点表示数，进行判断即可．
【详解】解：将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的原点上，将纸片沿着数轴向左滚动一周，则：的距离为圆的周长，
∴点表示的数为，是无理数；
故答案为：无理数．
【点睛】本题考查实数与数轴．解题的关键是确定点表示的数．
14．
【分析】根据绝对值的意义进行化简即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，掌握绝对值的应用是解题的关键．
15．
【分析】根据有理数加减运算法则直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为；
【点睛】解题的关键是根据题意列式求解，解题的关键是读懂题意中升到与下降了．
16．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：将数据21000 用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
17．
【分析】根据科学记数法的表示为的形式，其中，n为整数，求解即可．
【详解】解：万用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示为的形式是解题关键．
18．(1)
(2)1
(3)或
【分析】（1）根据题意可得，线段的“2距点”所表示的数在点A的左边或点B的右边，根据题意，分别求出与，，三个数距离两个单位长度的点，再判断是否在线段上即可；
（2）根据“距点”的定义，可得点P到线段上的点距离最大值和最小值分别为和之间的距离，即可求解；
（3）根据题意，进行分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：当时，点A表示1，点B表示2，
与距离为2的点表示的数为：或，都不在线段上，不符合题意；
与距离为2的点表示的数为：或，1在线段上，符合题意，故是线段的“2距点”所表示的数；
与距离为2的点表示的数为：或，都不在线段上，不符合题意；
故答案为：．
（2）∵点P到点A的距离为，点P到点B的距离为，
∴．
故答案为：1．
（3）设为点Q所表示的数，
当点Q在点A左侧时：
，
∵的最大值与最小值的比为
∴，解得：，
∴；
当点Q在点B右侧时：
，
∵的最大值与最小值的比为
∴，解得：，
∴，解得：，
综上：或．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上点与线段的距离，解题的关键是正确理解题意，根据题意和图形进行解答．
19．(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离
(2)-1，0，1，2，3
(3)4
(4)7
(5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是
【分析】（1）根据题意即可得出结论；
（2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果；
（3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值，
即可求出结果；
（4）的几何意义是表示x的点到的点和到的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；
（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；
故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离．
（2）解：根据题意可得，
的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和，
∴当时，取最小值，
即当x可以取整数，0，1，2，3；
故答案为：，0，1，2，3．
（3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离，
时取得最大值，
的最大值是：．
（4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点和到表示的点和表示1的点的距离之和，
当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即，
当时，的值最小，最小值为7；
故答案为：7．
（5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处，
根据题意可得，便民服务点到四点的距离为，
当表示x的点在表示的点到表示3的点的线段上，有最小值，即，
当时，
取得最小值，此时，
答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键．
20．(1)4；1
(2)或4；4
(3)存在；或2
【分析】（1）数轴上点表示的数为，点表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
（2）按或或化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按或或分类讨论，求出在每种情况下的值或取值范围，再进行比较，得出结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按或或分类讨论，根据列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为3，
∴，，
∴线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
故答案为：4；1．
（2）解：当时，，
解得：；
当时，，
∴当时，不存在x的值使；
当时，，
解得：；
∴时，或；
当时，，
当时，，
当时，，
∴的最小值为4；
故答案为：或4；4．
（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，
解，
∴，
解得：，
∴点S表示的数为6，
当时，由得：
，
解得：；
当时，由得：
，
解得：；
当时，由得：
或，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去），
综上所述：“幸运点”P对应的数是或2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
21．(1)，1
(2)3，5，6
(3)A对应的数是2021，B对应的数是2023，C点对应的数是2024或A对应的数是，B对应的数是，C点对应的数是
【分析】（1）由B是原点，根据两点间距离公式得出A、C所对应的数；
（2）可求，根据两点间距离公式可求出C点对应的数，进而可得A、B两点对应的数；
（3）分O在B的左侧和右侧两种情况讨论即可．
【详解】（1）解∶ ∵B为原点，，，点A在B点左边，点C在B点右边，
∴A点对应的数是，C点对应的数是1，
故答案为：，1；
（2）解：∵，，
∴，
∵点A是线段的中点，
∴，，
∴，
∵原点O是数轴上的原点，
∴A对应的数是3，B对应的数是5，C点对应的数是6；
（3）解：当O在B的左侧时，
∵，，，
∴，，
∴A对应的数是2021，B对应的数是2023，C点对应的数是2024；
当O在B的右侧时，
∵，，，
∴，，
∴A对应的数是，B对应的数是，C点对应的数是；
综上，A对应的数是2021，B对应的数是2023，C点对应的数是2024或A对应的数是，B对应的数是，C点对应的数是．
【点睛】本题考查了两点间的距离及数轴的运用，有理数的加减运算，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题关键．
22．(1)
(2)64
【分析】（1）利用有理数的加减运算即可计算求值；
（2）利用有理数的乘除运算即可计算求值；
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算和乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
23．(1)西，6；
(2)用了1.6升油
【分析】（1）将行驶记录相加即可得出结果；
（2）将行驶记录的绝对值相加，然后乘以每千米耗油即可．
【详解】（1）解：，
即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司6千米．
故答案为：西，6；
（2）
（升）．
答：送完第4批客人后，王师傅用了1.6升油．
【点睛】题目主要考查有理数的加法的应用及绝对值的意义，有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
24．(1)2
(2)18
【分析】（1）先计算括号里面的内容，再根据有理数的乘除运算法则计算即可；
（2）先计算乘方和括号里面的内容，再计算乘除，最后计算加减．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
25．(1)小明家这10天轿车行驶的路程为
(2)估计小明家一个月耗电费用为元
【分析】（1）记录数字的和再加上个即可得到结果；
（2）用（1）的结论乘以即可得到总路程，再根据“该轿车每行驶100km耗电15度，且轿车充电的价格为每度1.5元，”列式解答即可；
【详解】（1）解：，
，
答：小明家这10天轿车行驶的路程为．
（2）（元），
答：估计小明家一个月（按30天算）的电动轿车耗电费用为元．
【点睛】本题考查正数与负数以及有理数的加减乘除混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．