2.5椭圆及其方程 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.5椭圆及其方程 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-20 17:07:13 | ||
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文档简介
2.5椭圆及其方程同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知焦点分别在轴上的两个椭圆，且椭圆经过椭圆的两个顶点与两个焦点，设椭圆的离心率分别是，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
7．已知椭圆C：的左焦点是，过的直线l：与圆：交于A，B两点，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知、，动点满足，则点的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
二、多选题
9．已知椭圆：.则下列结论正确的是（ ）
A．长轴为6 B．短轴为4
C．焦距为 D．离心率为
10．已知，动点P满足，则下列结论中正确的是()
A．平面上有一点，则的最小值为0
B．平面上有一点，则的最大值为1
C．平面上有一点，则的最小值为3
D．平面上有一点，则的最大值为
11．设椭圆C：的焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率 B．的最大值为3
C．面积的最大值为 D．的最小值为2
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两点A，B关于原点对称，点P（异于A，B两点）为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为12 B．椭圆的离心为
C．的最大值为 D．若直线PA，PB的斜率都存在，则
三、填空题
13．已知椭圆的左，右顶点分别为A，，上顶点为，则直线，的斜率之积为 ．
14．设，若，则点的轨迹方程为 .
15．已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，C，D是椭圆上异于A，B的两点，若直线AC，BD的斜率，满足，则直线CD过定点，定点坐标为
16．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，则 ；若P是椭圆上的一点，且，则 ．
四、解答题
17．已知的周长为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若，求的面积．
18．已知中，点，，若的周长为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)由（1）中所得轨迹，设是点关于直线的对称点，求的长．
19．已知椭圆的焦距和短轴长相等，上顶点为.
(1)求的方程；
(2)过点斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求的值.
20．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆与圆 相交于点.
(1)当四边形面积最大值时，求圆的半径；
(2)直线与（1）中的圆相切，并与椭圆C相交于两点，求面积的最大值.
21．已知是椭圆的两个焦点，，为上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为上一点，且，求的面积.
22．已知椭圆的右焦点，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为.
(1)求椭圆的离心率的值.
(2)若直线经过点，且与椭圆相交于两点，已知点为弦的中点，求直线的方程.
(3)已知平面内有点，求过这个点且和椭圆相切的直线方程.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由图可知：，
由平分，则，所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则共线，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化简可得：，
所以其离心率.
故选：C.
2．A
【分析】根据椭圆的几何性质即可求解.
【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以，
又在椭圆上，所以，解得，
即，，
所以．
故选：A．
3．B
【分析】记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值．
【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上，
，，
，当是的延长线椭圆的交点时，取等号，
所以的最大值为，
故选：B．
4．A
【分析】根据椭圆焦点所在轴，列出关于k的不等式求解即可.
【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以有，解得.
故选：A
5．A
【分析】由椭圆面积公式求得关于a,b的关系式，结合等边三角形性质可得a,b的基本关系，联立方程即可求解.
【详解】由椭圆面积公式可得,依题意有①，
又长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，得②，
联立①②得：，
故椭圆的方程为.
故选：A
6．A
【分析】由题意得，进而得到，从而结合不等式的性质与对勾函数的性质即可得解
【详解】依题意，设椭圆对应的参数为，椭圆对应的参数为，
则，所以，
又因为，即，，则，
即，得，，即，
令，则，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，故.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是依题意得到，从而得到，结合不等式的性质与对勾函数的性质即可得解.
7．A
【分析】先根据坐标求出直线方程，再由圆心到直线距离和弦长公式求出弦长.
【详解】由题意可得，代入直线可得，则，
所以直线，所以圆心到直线距离，
所以弦长，
故选：A
8．D
【分析】由已知可得出，分析可得结果.
【详解】因为、，动点满足，
所以点的轨迹为线段.
故选：D.
9．ABD
【分析】根据椭圆方程确定长短轴、焦距和离心率即可.
【详解】由椭圆方程知：，故长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为.
所以A、B、D对，C错.
故选：ABD
10．BCD
【分析】运用椭圆的定义给出标准方程为，注意先讨论三点共线的特殊情况，三点不共线时再运用三角形的三边关系即可求解.
【详解】由椭圆的定义有，
所以标准方程为，
点A坐标代入椭圆方程有，所以点在椭圆内部，
当、、共线时，把代入椭圆方程得点坐标为
若点坐标为，则，所以A项错误.
若点坐标为，则；
当、、不共线时，三角形两边之差小于第三边，所以，故B项正确.
点B坐标代入椭圆方程有，所以点在椭圆外部，
当、、共线时，把代入椭圆方程得点坐标为坐标为，
若点坐标为，则，
若点坐标为，则；
当、、不共线时，三角形两边之和大于第三边，所以，故C项正确.
此时，，同B项分析可知：
当、、位置如图时，取得最大值，故D项正确.
故选：BCD.
11．AD
【分析】求出离心率可判断A；设进行数量积的坐标运算结合可判断B；计算面积的最大值可判断C；应用可判断D.
【详解】对于A：由椭圆可知，，，，
所以左、右焦点分别为，，离心率，故选项A正确；
对于B：设，，
则，
的最大值为,故选项B错误；
对于C：，当P点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大，
所以面积的最大值为，故选项C错误；
对于D： 的最小值为, 的最小值为2，故选项D正确；
故选：AD．
12．BCD
【分析】根据椭圆定义判断A，直接计算离心率判断B，根据椭圆的几何性质判断C，利用作差法求判断D.
【详解】由椭圆方程可知，，
所以，
由椭圆定义知，的周长等于，故A错误；
椭圆的离心率，故B正确；
由椭圆的几何性质可知，的最大值为，故C正确；
设，，则，所以，
由点在椭圆上可得，两式相减可得，
化简可得，即，故D正确.
故选：BCD
13．/
【分析】利用椭圆的性质及两点斜率公式计算即可.
【详解】由题意知，，，所以，
即直线，的斜率之积为．
故答案为：
14．
【分析】根据两点距离公式可判断在以为焦点的椭圆，即可由椭圆的性质求解方程.
【详解】可以看作是点到点和点的距离和为8，由于,
所以在以为焦点的椭圆，且，，
故，故椭圆方程为，
故答案为：
15．
【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系求出C，D点坐标，得出直线方程，即可求出直线所过定点
【详解】因为，，，
则：，：．
设，．
联立椭圆方程与得：
得，
∴，
因为，
∴，∴，
联立椭圆方程与得：，
得，
∴，∴，
因为，，
所以：，即，
当时，即时方程恒成立，故直线过定点．
故答案为：
16． /
【分析】求出点关于直线y＝x的对称点Q，代入椭圆方程求得a；利用余弦定理结合椭圆定义求得，代入三角形面积公式得答案．
【详解】由椭圆C，知，∴，
∴点关于直线的对称点，
由题意得：，即；
∵，，，则，
∴
，
∴，
∴．
故答案为：；
17．(1)
(2)7
【分析】（1）结合椭圆定义可得的轨迹方程.
（2）利用及椭圆定义可列出方程，求解，即可算出的面积．
【详解】（1）的周长为14且，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，以8为长轴长的椭圆，
即，故顶点的轨迹方程为，
又为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为．
（2）①．
点在椭圆上，且为焦点，
，
故②．
由①②可得，，
故．
的面积为7．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，再根据椭圆的定义即可得解；
（2）求出点的坐标，再根据两点间的距离公式即可得解.
【详解】（1）因为的周长为，
得，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中，故，
所以点的轨迹方程为；
（2）设，
因为是点关于直线的对称点，
所以，解得，
即，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意即可得，然后可解；
（2）设直线，联立椭圆消去y，然后由弦长公式列方程可解.
【详解】（1）由题知，焦点在x轴上，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）根据题意，设直线，，
则，整理得，
，即，
，
，
即，解得：或（舍去），
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）依据离心率和短轴长可求得椭圆的方程，解出交点坐标即可写出面积表达式，再由基本不等式即可求得面积最大时的半径取值；
（2）根据直线与圆相切可得，联立直线和椭圆方程利用弦长公式可求得，即可求得面积的表达式，再利用换元以及二次函数性质可求出最大值为.
【详解】（1）根据题意可知，由短轴长为2可得，
又，
解得
椭圆的方程为，又圆
不妨设交点，联立椭圆和圆的方程可得，
利用对称性可得四边形的面积为
又因为，
当且仅当即时取等号；
所以当最大时，圆的半径为，
（2）由（1）可知圆，
设到的距离为，
又直线与圆相切，所以，
即可得
设
联立，消去整理可得，
所以，解得
由弦长公式可知：
令，则
所以
令，则，
所以，
即面积的最大值为
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用直线与圆相切求出之间的关系式，再由交点个数利用判别式求出取值范围，写出面积表达式并利用换元法和二次函数性质即可求出面积最大值.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，求得，，根据椭圆的定义，求得，进而求得，即可求解；
（2）根据题意，得到和，求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，
则，，
由椭圆的定义可得，所以，
故椭圆C的标准方程为.
（2）解：由，可得，
又由椭圆的定义，可得，
平方得，即，
解得，所以的面积.
22．(1)
(2)
(3)和
【分析】（1）根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解；
（2）先求出椭圆的方程，再利用点差法求解即可；
（3）分直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程，根据即可得解.
【详解】（1）由题意可得椭圆得焦半径，，故，
所以椭圆的离心率；
（2）由（1）得，
所以椭圆得方程为，
设，
因为点为弦的中点，
所以，
由，
两式相减得，
即，
所以，即，
所以直线的方程为，即；
（3）当所求直线斜率不存在时，直线方程为，
此时直线与椭圆相切，符合题意，
当所求直线斜率存在时，设直线方程为，
联立，消得，
则，解得，
所以所求直线的方程为，
综上所述，过点且和椭圆相切的直线方程为和.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知焦点分别在轴上的两个椭圆，且椭圆经过椭圆的两个顶点与两个焦点，设椭圆的离心率分别是，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
7．已知椭圆C：的左焦点是，过的直线l：与圆：交于A，B两点，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知、，动点满足，则点的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
二、多选题
9．已知椭圆：.则下列结论正确的是（ ）
A．长轴为6 B．短轴为4
C．焦距为 D．离心率为
10．已知，动点P满足，则下列结论中正确的是()
A．平面上有一点，则的最小值为0
B．平面上有一点，则的最大值为1
C．平面上有一点，则的最小值为3
D．平面上有一点，则的最大值为
11．设椭圆C：的焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率 B．的最大值为3
C．面积的最大值为 D．的最小值为2
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两点A，B关于原点对称，点P（异于A，B两点）为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为12 B．椭圆的离心为
C．的最大值为 D．若直线PA，PB的斜率都存在，则
三、填空题
13．已知椭圆的左，右顶点分别为A，，上顶点为，则直线，的斜率之积为 ．
14．设，若，则点的轨迹方程为 .
15．已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，C，D是椭圆上异于A，B的两点，若直线AC，BD的斜率，满足，则直线CD过定点，定点坐标为
16．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，则 ；若P是椭圆上的一点，且，则 ．
四、解答题
17．已知的周长为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若，求的面积．
18．已知中，点，，若的周长为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)由（1）中所得轨迹，设是点关于直线的对称点，求的长．
19．已知椭圆的焦距和短轴长相等，上顶点为.
(1)求的方程；
(2)过点斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求的值.
20．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆与圆 相交于点.
(1)当四边形面积最大值时，求圆的半径；
(2)直线与（1）中的圆相切，并与椭圆C相交于两点，求面积的最大值.
21．已知是椭圆的两个焦点，，为上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为上一点，且，求的面积.
22．已知椭圆的右焦点，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为.
(1)求椭圆的离心率的值.
(2)若直线经过点，且与椭圆相交于两点，已知点为弦的中点，求直线的方程.
(3)已知平面内有点，求过这个点且和椭圆相切的直线方程.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由图可知：，
由平分，则，所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则共线，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化简可得：，
所以其离心率.
故选：C.
2．A
【分析】根据椭圆的几何性质即可求解.
【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以，
又在椭圆上，所以，解得，
即，，
所以．
故选：A．
3．B
【分析】记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值．
【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上，
，，
，当是的延长线椭圆的交点时，取等号，
所以的最大值为，
故选：B．
4．A
【分析】根据椭圆焦点所在轴，列出关于k的不等式求解即可.
【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以有，解得.
故选：A
5．A
【分析】由椭圆面积公式求得关于a,b的关系式，结合等边三角形性质可得a,b的基本关系，联立方程即可求解.
【详解】由椭圆面积公式可得,依题意有①，
又长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，得②，
联立①②得：，
故椭圆的方程为.
故选：A
6．A
【分析】由题意得，进而得到，从而结合不等式的性质与对勾函数的性质即可得解
【详解】依题意，设椭圆对应的参数为，椭圆对应的参数为，
则，所以，
又因为，即，，则，
即，得，，即，
令，则，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，故.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是依题意得到，从而得到，结合不等式的性质与对勾函数的性质即可得解.
7．A
【分析】先根据坐标求出直线方程，再由圆心到直线距离和弦长公式求出弦长.
【详解】由题意可得，代入直线可得，则，
所以直线，所以圆心到直线距离，
所以弦长，
故选：A
8．D
【分析】由已知可得出，分析可得结果.
【详解】因为、，动点满足，
所以点的轨迹为线段.
故选：D.
9．ABD
【分析】根据椭圆方程确定长短轴、焦距和离心率即可.
【详解】由椭圆方程知：，故长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为.
所以A、B、D对，C错.
故选：ABD
10．BCD
【分析】运用椭圆的定义给出标准方程为，注意先讨论三点共线的特殊情况，三点不共线时再运用三角形的三边关系即可求解.
【详解】由椭圆的定义有，
所以标准方程为，
点A坐标代入椭圆方程有，所以点在椭圆内部，
当、、共线时，把代入椭圆方程得点坐标为
若点坐标为，则，所以A项错误.
若点坐标为，则；
当、、不共线时，三角形两边之差小于第三边，所以，故B项正确.
点B坐标代入椭圆方程有，所以点在椭圆外部，
当、、共线时，把代入椭圆方程得点坐标为坐标为，
若点坐标为，则，
若点坐标为，则；
当、、不共线时，三角形两边之和大于第三边，所以，故C项正确.
此时，，同B项分析可知：
当、、位置如图时，取得最大值，故D项正确.
故选：BCD.
11．AD
【分析】求出离心率可判断A；设进行数量积的坐标运算结合可判断B；计算面积的最大值可判断C；应用可判断D.
【详解】对于A：由椭圆可知，，，，
所以左、右焦点分别为，，离心率，故选项A正确；
对于B：设，，
则，
的最大值为,故选项B错误；
对于C：，当P点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大，
所以面积的最大值为，故选项C错误；
对于D： 的最小值为, 的最小值为2，故选项D正确；
故选：AD．
12．BCD
【分析】根据椭圆定义判断A，直接计算离心率判断B，根据椭圆的几何性质判断C，利用作差法求判断D.
【详解】由椭圆方程可知，，
所以，
由椭圆定义知，的周长等于，故A错误；
椭圆的离心率，故B正确；
由椭圆的几何性质可知，的最大值为，故C正确；
设，，则，所以，
由点在椭圆上可得，两式相减可得，
化简可得，即，故D正确.
故选：BCD
13．/
【分析】利用椭圆的性质及两点斜率公式计算即可.
【详解】由题意知，，，所以，
即直线，的斜率之积为．
故答案为：
14．
【分析】根据两点距离公式可判断在以为焦点的椭圆，即可由椭圆的性质求解方程.
【详解】可以看作是点到点和点的距离和为8，由于,
所以在以为焦点的椭圆，且，，
故，故椭圆方程为，
故答案为：
15．
【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系求出C，D点坐标，得出直线方程，即可求出直线所过定点
【详解】因为，，，
则：，：．
设，．
联立椭圆方程与得：
得，
∴，
因为，
∴，∴，
联立椭圆方程与得：，
得，
∴，∴，
因为，，
所以：，即，
当时，即时方程恒成立，故直线过定点．
故答案为：
16． /
【分析】求出点关于直线y＝x的对称点Q，代入椭圆方程求得a；利用余弦定理结合椭圆定义求得，代入三角形面积公式得答案．
【详解】由椭圆C，知，∴，
∴点关于直线的对称点，
由题意得：，即；
∵，，，则，
∴
，
∴，
∴．
故答案为：；
17．(1)
(2)7
【分析】（1）结合椭圆定义可得的轨迹方程.
（2）利用及椭圆定义可列出方程，求解，即可算出的面积．
【详解】（1）的周长为14且，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，以8为长轴长的椭圆，
即，故顶点的轨迹方程为，
又为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为．
（2）①．
点在椭圆上，且为焦点，
，
故②．
由①②可得，，
故．
的面积为7．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，再根据椭圆的定义即可得解；
（2）求出点的坐标，再根据两点间的距离公式即可得解.
【详解】（1）因为的周长为，
得，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中，故，
所以点的轨迹方程为；
（2）设，
因为是点关于直线的对称点，
所以，解得，
即，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意即可得，然后可解；
（2）设直线，联立椭圆消去y，然后由弦长公式列方程可解.
【详解】（1）由题知，焦点在x轴上，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）根据题意，设直线，，
则，整理得，
，即，
，
，
即，解得：或（舍去），
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）依据离心率和短轴长可求得椭圆的方程，解出交点坐标即可写出面积表达式，再由基本不等式即可求得面积最大时的半径取值；
（2）根据直线与圆相切可得，联立直线和椭圆方程利用弦长公式可求得，即可求得面积的表达式，再利用换元以及二次函数性质可求出最大值为.
【详解】（1）根据题意可知，由短轴长为2可得，
又，
解得
椭圆的方程为，又圆
不妨设交点，联立椭圆和圆的方程可得，
利用对称性可得四边形的面积为
又因为，
当且仅当即时取等号；
所以当最大时，圆的半径为，
（2）由（1）可知圆，
设到的距离为，
又直线与圆相切，所以，
即可得
设
联立，消去整理可得，
所以，解得
由弦长公式可知：
令，则
所以
令，则，
所以，
即面积的最大值为
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用直线与圆相切求出之间的关系式，再由交点个数利用判别式求出取值范围，写出面积表达式并利用换元法和二次函数性质即可求出面积最大值.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，求得，，根据椭圆的定义，求得，进而求得，即可求解；
（2）根据题意，得到和，求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，
则，，
由椭圆的定义可得，所以，
故椭圆C的标准方程为.
（2）解：由，可得，
又由椭圆的定义，可得，
平方得，即，
解得，所以的面积.
22．(1)
(2)
(3)和
【分析】（1）根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解；
（2）先求出椭圆的方程，再利用点差法求解即可；
（3）分直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程，根据即可得解.
【详解】（1）由题意可得椭圆得焦半径，，故，
所以椭圆的离心率；
（2）由（1）得，
所以椭圆得方程为，
设，
因为点为弦的中点，
所以，
由，
两式相减得，
即，
所以，即，
所以直线的方程为，即；
（3）当所求直线斜率不存在时，直线方程为，
此时直线与椭圆相切，符合题意，
当所求直线斜率存在时，设直线方程为，
联立，消得，
则，解得，
所以所求直线的方程为，
综上所述，过点且和椭圆相切的直线方程为和.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
答案第1页，共2页
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