1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步课件(共27张PPT)
文档属性
| 名称 | 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步课件(共27张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 821.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-20 21:02:27 | ||
图片预览
文档简介
(共27张PPT)
1.2 30°、45°、60°
角的三角函数值
1、经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2、能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算。
3、能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
学习目标
b
A
B
C
a
┌
c
思考：sinA和cosB,有什么关系
sinA=cosB
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
tanA·tanB=1
tanA和tanB，有什么关系？
锐角三角函数定义
创设情境，引入新知
观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
(1) sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与 同伴进行交流.
(2) cos 30° 等于多少？ tan 30° 呢？
创设情境，引入新知
核心知识点一：
30°、45°、60°角的三角函数值
所以可以设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
sin 30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值.
30°
a
2a
自主合作，探究新知
sin 60°表示在直角三角形中，60°角的对边与斜边的比值.
60°
2a
a
自主合作，探究新知
sin 45°表示在直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值.
设直角三角形两条直角边长为a，则斜边长＝
45°
a
a
自主合作，探究新知
归纳总结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值
A
B
C
45°
A
B
C
30°
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
锐角A
锐角三角函数
1
2
1
1
1
归纳总结
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 .
增大（或减小）
减小（或增大）
两点反思：
归纳总结
例1 计算:
(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
注意事项:
sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2
解: (1)sin30°+cos45°
(2)sin260°+cos260°-tan45°
典例解析
例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好是60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到0.01 m）.
典例解析
解：根据题意可知，∠BOD=60°，OB=OA=OD=2.5 m， ∠AOD=30°，
∴OC=ODcos 30 °=
∴AC=2.5-2.165≈0.34（m）.
所以，最高位置与最低位置的高度之差约为0.34 m.
典例解析
核心知识点二：
由特殊三角函数值确定锐角度数
填一填
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
逆向思维
自主合作，探究新知
解： 在图中，
A
B
C
例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = ，
BC = ，求 ∠A 的度数；
∴ ∠A = 45°.
∵
典例解析
解： 在图中，
A
B
O
∴ α = 60°.
∵ tanα = ，
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =
OB，求 α 的度数.
典例解析
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，当 锐角A>45°时 sinA的值（ ）
(A)0＜sinA＜ (B) ＜sinA＜1
(C) 0＜sinA＜ (D) ＜sinA＜1
(A)0＜cosA＜ (B) ＜cosA＜1
(C) 0＜cosA＜ (D) ＜cosA＜1
（2） 当锐角A>30°时，cosA的值（ ）
确定三角函数值的范围
B
C
针对训练
(3)已知 ，下列各式中正确的是（ ）
(A) ＜ ＜ (B) ＜ ＜
(C) ＜ ＜ (D) ＜ ＜
D
(4) 当∠A为锐角，且tanA≤ 1 时，则 ∠A（ ）
A
(A) 0°＜∠A≤45° (B) 45°≤∠A＜90°
(C) 0 °＜∠A≤30° (D) 30°≤∠A＜90
探究新知
针对训练
1. 下列运算：sin 30°＝ ， ＝2 ，π0＝π，2-2＝-4，其中运算结果正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
D
2. 在△ABC中，若角A，B满足|cos A－ |＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是( )
A．45° B．60°
C．75° D．105°
D
课堂练习
3. 将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是( )
A. cm
B. cm
C. cm
D．2 cm
B
课堂练习
4. 若( tan A－1)2＋|2cos B－ |＝0，则△ABC
是( )
A．直角三角形
B．含有60°角的任意三角形
C．等边三角形
D．顶角为钝角的等腰三角形
D
课堂练习
5.已知α为锐角，m＝sin2α＋cos2α，则( )
A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≥1
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝ 则sin B
的值是( )
A. B. C. D.
B
A
课堂练习
8.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____.
9.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A, tanA=____.
7.sinα﹤cosα，则锐角α取值范围（ ）
A 30°﹤α ﹤ 45 ° B 0°﹤α ﹤ 45 °
C 45°﹤α ﹤ 60 ° D 0°﹤α ﹤ 90 °
B
课堂练习
10.求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
课堂练习
解：(1)1－2 sin30°cos30°
(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
课堂练习
11. 如图所示为某住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30 m,两楼间的距离AC=24 m,现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况.当太阳光线与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高.
解:如图所示,延长太阳光线交CD于点F,
过点F作FE⊥AB于点E.
∵太阳光线与水平线的夹角为30°,
∴∠BFE=30°.
∵EF=AC=24 m,
∴BE=EF·tan30°=24× = (m),
∴CF=CD-DF=CD-BE=(30- )m.
即甲楼的影子在乙楼上的高度为(30-8)m.
课堂练习
特殊的锐角三角函数值
30°、45°和60°的三角函数值
sin30°= ，cos30°= ，tan30°=
sin45°= ，cos45°= ，tan45°= 1
sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ，
由三角函数值求特殊角
课堂小结
1.2 30°、45°、60°
角的三角函数值
1、经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2、能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算。
3、能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
学习目标
b
A
B
C
a
┌
c
思考：sinA和cosB,有什么关系
sinA=cosB
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
tanA·tanB=1
tanA和tanB，有什么关系？
锐角三角函数定义
创设情境，引入新知
观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
(1) sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与 同伴进行交流.
(2) cos 30° 等于多少？ tan 30° 呢？
创设情境，引入新知
核心知识点一：
30°、45°、60°角的三角函数值
所以可以设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
sin 30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值.
30°
a
2a
自主合作，探究新知
sin 60°表示在直角三角形中，60°角的对边与斜边的比值.
60°
2a
a
自主合作，探究新知
sin 45°表示在直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值.
设直角三角形两条直角边长为a，则斜边长＝
45°
a
a
自主合作，探究新知
归纳总结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值
A
B
C
45°
A
B
C
30°
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
锐角A
锐角三角函数
1
2
1
1
1
归纳总结
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 .
增大（或减小）
减小（或增大）
两点反思：
归纳总结
例1 计算:
(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
注意事项:
sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2
解: (1)sin30°+cos45°
(2)sin260°+cos260°-tan45°
典例解析
例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好是60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到0.01 m）.
典例解析
解：根据题意可知，∠BOD=60°，OB=OA=OD=2.5 m， ∠AOD=30°，
∴OC=ODcos 30 °=
∴AC=2.5-2.165≈0.34（m）.
所以，最高位置与最低位置的高度之差约为0.34 m.
典例解析
核心知识点二：
由特殊三角函数值确定锐角度数
填一填
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
逆向思维
自主合作，探究新知
解： 在图中，
A
B
C
例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = ，
BC = ，求 ∠A 的度数；
∴ ∠A = 45°.
∵
典例解析
解： 在图中，
A
B
O
∴ α = 60°.
∵ tanα = ，
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =
OB，求 α 的度数.
典例解析
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，当 锐角A>45°时 sinA的值（ ）
(A)0＜sinA＜ (B) ＜sinA＜1
(C) 0＜sinA＜ (D) ＜sinA＜1
(A)0＜cosA＜ (B) ＜cosA＜1
(C) 0＜cosA＜ (D) ＜cosA＜1
（2） 当锐角A>30°时，cosA的值（ ）
确定三角函数值的范围
B
C
针对训练
(3)已知 ，下列各式中正确的是（ ）
(A) ＜ ＜ (B) ＜ ＜
(C) ＜ ＜ (D) ＜ ＜
D
(4) 当∠A为锐角，且tanA≤ 1 时，则 ∠A（ ）
A
(A) 0°＜∠A≤45° (B) 45°≤∠A＜90°
(C) 0 °＜∠A≤30° (D) 30°≤∠A＜90
探究新知
针对训练
1. 下列运算：sin 30°＝ ， ＝2 ，π0＝π，2-2＝-4，其中运算结果正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
D
2. 在△ABC中，若角A，B满足|cos A－ |＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是( )
A．45° B．60°
C．75° D．105°
D
课堂练习
3. 将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是( )
A. cm
B. cm
C. cm
D．2 cm
B
课堂练习
4. 若( tan A－1)2＋|2cos B－ |＝0，则△ABC
是( )
A．直角三角形
B．含有60°角的任意三角形
C．等边三角形
D．顶角为钝角的等腰三角形
D
课堂练习
5.已知α为锐角，m＝sin2α＋cos2α，则( )
A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≥1
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝ 则sin B
的值是( )
A. B. C. D.
B
A
课堂练习
8.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____.
9.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A, tanA=____.
7.sinα﹤cosα，则锐角α取值范围（ ）
A 30°﹤α ﹤ 45 ° B 0°﹤α ﹤ 45 °
C 45°﹤α ﹤ 60 ° D 0°﹤α ﹤ 90 °
B
课堂练习
10.求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
课堂练习
解：(1)1－2 sin30°cos30°
(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
课堂练习
11. 如图所示为某住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30 m,两楼间的距离AC=24 m,现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况.当太阳光线与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高.
解:如图所示,延长太阳光线交CD于点F,
过点F作FE⊥AB于点E.
∵太阳光线与水平线的夹角为30°,
∴∠BFE=30°.
∵EF=AC=24 m,
∴BE=EF·tan30°=24× = (m),
∴CF=CD-DF=CD-BE=(30- )m.
即甲楼的影子在乙楼上的高度为(30-8)m.
课堂练习
特殊的锐角三角函数值
30°、45°和60°的三角函数值
sin30°= ，cos30°= ，tan30°=
sin45°= ，cos45°= ，tan45°= 1
sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ，
由三角函数值求特殊角
课堂小结