1.1 锐角三角函数（第1课时） 同步课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
1.1.1锐角三角函数
（第1课时）
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；
2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；
3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.
学习目标
　　对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？
　　答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系．
复习回顾
猜一猜,这座古塔有多高
在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗
想一想,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗
创设情境，引入新知
核心知识点一：
正切的定义
梯子、地面与墙之间形成一个直角三角形，梯子的铅直高度及梯子的水平距离可以看作是它的直角边，梯子的长可以看作是斜边.
铅直高度
水平距离
研究直角三角形的边与角的关系，让我们就从梯子与地面的夹角（倾斜角）谈起.
议一议:
自主合作，探究新知
用梯子的顶端放在墙上位置的高低及梯子的底端离墙的远近来判断.
探究二: 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
EF更陡
AB更陡
自主合作，探究新知
3m
3m
2m
议一议: 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡.
比值大的梯子陡.
你能设法验证这个结论吗？
自主合作，探究新知
A
B1
C1
C2
B2
∵∠A=∠A，∠AC1B1=∠AC2B2=90°，
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2，
Rt△AC1B1和Rt△AC2B2有什么关系
验证:
和 有什么关系
∴ = .
B1C1
AC1
B2C2
AC2
自主合作，探究新知
C2
A
B1
C1
B2
B
1.如果任意改变B2在梯子上的位置呢 你有什么想法
∠A的大小确定, ∠A的对边与邻边的比值不变.
2.如果改变∠A 的大小, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变吗
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变.
探究三:
自主合作，探究新知
想一想：若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
小亮的建议：可以选梯子上的一点B2，并过此点作垂线得到B2C2，可以计算B2C2与AC2的比值来代替，你同意吗？为什么？
自主合作，探究新知
直角三角形的边与角的关系：
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
（2） 和 有什么关系？
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3）呢？
（4）由此你能得出什么结论？
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
自主合作，探究新知
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
直角三角形的边与角的关系：
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
（2） 和 有什么关系？
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3）呢？
∵Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2，
∴ 即
（4）由此你能得出什么结论？
比值不变
直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比值也就确定了
自主合作，探究新知
归纳总结
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
tanA=
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
归纳总结
定义中的几点说明：
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.
3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）.
4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.
5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
要点提醒
总结：1.当梯子与地面所成的角为锐角A时，
tan A＝ tan A的值越大，梯子越陡．
因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度．
2. 当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比
值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
归纳总结
A
B
C
┌
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
议一议
自主合作，探究新知
总结：直角三角形中求锐角正切值的方法：
(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解．
归纳总结
例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
解:甲梯中,
β
6m
┐
乙
8m
α
5m
┌
甲
13m
乙梯中,
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
典例解析
总结：(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．
(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”．
归纳总结
核心知识点二：
坡度、坡角
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
100m
60m
┌
α
i
自主合作，探究新知
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角。
2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切。
3.坡度越大,坡面越陡。
归纳总结
例2 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i=1:2
典例解析
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上
升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
因此
典例解析
1. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1: (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC 的长是（ ）
A．5 米 B．10米
C．15米 D．10 米
A
B
C
BC=5米，
∴
AC=5 米.
解析：∵BC : AC=1 : ,
课堂练习

解析：
设升高了x m，由勾股定理得，x2+(2x)2=(1000)2,解得x=
课堂练习

解析：在Rt△ABC中，tanα= ,
所以AB= a·tanα .
B
课堂练习
解析：设小正方形的边长为1,取AB与格点的交点为D,AC与格点的交点为E，则
4. 如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC＝　　　.
A
B
C
A
B
C
D
E
tan∠BAC＝ .
课堂练习
5. 如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝ ，求t的值．
解：作AE⊥x轴于 E，得AE＝3，OE＝t，
由tanα＝ ＝ ,
得t＝2.
课堂练习
6.如图，某人从山脚下的点A走了 200 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的 垂直距离为55 m，求山的坡度（结果精确到0.001).
B
解：由勾股定理可知，
AC＝ ＝ ≈192.289(m)，
∴tan ∠BAC＝ ≈ ≈0.286.
所以，山的坡度大约是0.286.
课堂练习
7. 如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥.若天桥下底的长度AD＝23 m，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥左边斜坡AB的坡度.
课堂练习
解：过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF为矩形，
∴BF＝CE＝5(m)，BC＝EF＝10(m)，
∵ ＝1∶1.2，得ED＝6(m)，
∴AF＝ AD－EF－ED＝7(m)，
∴tan∠BAF＝ ＝ ＝1∶1.4.
课堂练习
正切
定义
坡度
∠A越大，tanA越大,
梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系
课堂小结