吉林省长春市北湖学校2023-2024学年九年级上学期开学考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1．（2023九上·长春开学考） 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·长春开学考）生物学家发现了一种病毒，其长度约为，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·长春开学考） 下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2017八下·南召期中）如图，在 ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．4 B．3 C．3.5 D．2
5．（2023九上·长春开学考）年年无锡居民人均可支配收入由万元增长至万元，设人均可支配收入的平均增长率为，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·长春开学考）如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·长春开学考）如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·长春开学考）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
二、非选择题（共96分）
9．计算： = .
10．（2023九上·长春开学考）一组数据：，，，，，，，，，，它们的平均数为 ，众数为 ，中位数为 ．
11．（2023·长春模拟）如图，在中，，中线相交于点O．若，，则的长为 ．
12．（2022八下·靖江月考）若关于x的方程 会产生增根，则m的值为 .
13．（2020·抚顺）若关于x的一元二次方程 无实数根，则k的取值范围是 .
14．（2023九上·长春开学考） 如图，已知四边形是边长为的正方形，点是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接，则的长为 ．
15．（2023九上·长春开学考） 先化简，再求值，其中．
16．（2020九上·高州期中）解方程：
17．（2023九上·长春开学考） 某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，已知毛笔单价是钢笔单价的倍，购买钢笔用了元，购买毛笔用了元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多支，求钢笔的单价．
18．（2023九上·长春开学考）为迎接年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有名学生进入综合素质展示环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲学校学生成绩的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，．
甲学校学生成绩在这一组是：
乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率分及以上为优秀如下：
根据以上信息，回答下列问题：
平均数 中位数 众数 优秀率
8.3. 84 78 46%
（1）甲学校学生，乙学校学生的综合素质展示成绩同为分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 填“”或“”；
（2） 根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 至少从两个不同的角度说明推断的合理性．
（3）若每所学校综合素质展示的前名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选．
19．（2023九上·长春开学考）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AC交于点E．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）AB=10，AC=16，求OE的长．
20．（2023·双阳模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形．
（1）在网格①中画出中点，中点为C．
（2）在网格②中画出，使为钝角等腰三角形，点C在格点上．
（3）在网格③中画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使这个四边形为中心对称图形，且，点C、点D均在格点上．
21．（2023九上·长春开学考）甲、乙两个工程队修筑一条公路，甲队从南向北方向修筑，乙队从北向南方向修筑甲、乙两队同时开工，乙队施工几天后因另有任务提前离开，甲队继续修筑公路当乙队任务完成后，因赶时间，乙队回来继续修筑公路，直到公路修通在修路过程中，甲、乙两队的工作效率保持不变设甲、乙两队修筑公路的长度为米，施工时间为天，与之间的函数图象如图所示．
（1）甲队每天修筑公路 米，乙队每天修筑公路 米；
（2）求乙队离开的天数；
（3） 求乙队回来后修筑公路的长度与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4） 求这条公路的总长度．
22．（2023九上·长春开学考）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，且、、三点共线．
（1）如图，若为边的中点，，点与点重合，则 ， ；
（2）如图，若为的中点，平分，，，求的度数及的长．
（3）AB=5，，若为的三等分点，请直接写出的长．
23．（2023九上·长春开学考）如图，在中，，边上高为，点为边的中点，点从点出发，沿折线向点运动，在、上的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度当点不与点重合时，连接，以、为邻边作 设点的运动时间为秒，t＞0
（1）①线段的长为 ；用含的代数式表示线段的长；
（2）当点在内部时，求的取值范围；
（3）当 是菱形时，求的值；
（4）作点关于直线的对称点，连接，当时，直接写出的值．
24．（2023八下·绿园期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，点是直线上一动点，且点不与点重合，连接、设点的纵坐标为，的面积为．
（1）点的坐标为 ；
（2）求的值；
（3）求与之间的函数关系式；
（4）当时，以点为直角顶点作等腰直角，直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】
A：，是二元二次方程，不符合题意；
B：，是一元一次方程，不符合题意；
C：，是二元一次方程，符合题意；
D：，是一元三次方程，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义进行判定。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】 ，小数点从当前位置移动到3后面需要移动7位，
故用科学记数法表示为：
故答案为：C.
【分析】会用科学记数法表示绝对值远远小于1的数。
3．【答案】C
【知识点】分式的基本性质；等式的性质
【解析】【解答】
A：，去分母得-x+y=x+y，仅当-x=x时，等式才成立，故不符合题意；
B：，尝试通分或约分，发现等式不成立，不符合题意；
C：，，等式成立，符合题意；
D： ，，仅当x=1或-1，等式才成立，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据等式的基本性质进行恒等变形即可判定。
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴ED=AD﹣AE=AD﹣AB=7﹣4=3．
故选B．
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，根据ED=AD﹣AE=AD﹣AB即可得出答案．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】根据题意
2020年到2021年人均可支配收入为 万元，
2021年到2022年人均可支配收入为 万元
即
故答案为：A.
【分析】根据题意，连续2年增长且增长率相同，典型的用一元二次方程解决增长率问题。
6．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】根据题意，设C表示的数是x，
故答案为：B.
【分析】距离只有大小，没有方向；数轴上两点间的距离用右侧的数减去左侧的数来表示。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】连接EG，设CG=x，
由题意知BF是的平分线，BE=BC=10
在
≌(SAS)
在中，
在中，DG=DC-GC=8-X
即
解得x=5
故答案为：A.
【分析】掌握尺规作角平分线，了解角平分线上的点到角的两边距离相等，并会通过全等证明，在此基础上思考本题，把问题转化为求直角三角形中的斜边，利用勾股定理求解即可。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】根据题意
反比例函数图象在一、三象限内单调递减，
点A和点B必定在同一个象限内，
即
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质，判定图象在一三象限单调递减，即随着x的增大y反而减小；据此判定A、B在同一象限，进而判定出a取值范围。
9．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
10．【答案】3；2；2.5
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】根据题意
这组数据的平均数为：
数据由小到大排列：1，1，2，2，2，3，4，4，5，6
众数为：2
中位数为：
故第一空填：3，第二空填：2，第三空填：2.5
【分析】（1）了解平均数的定义，会计算平均数；（2）了解众数的定义，能在样本数据中找到众数；（3）会找中位数，先把数据从大到小或者从小到大排列，位置居中的数或者位置居中的两个数的平均数就是中位数。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】连接ED，
∵BE、AD分别是△ABC的中线，
∴ED是△ABC的中位线，
∴DE//AB，ED=AB，
∴△EDO∽△BAO，
∴
∴OB=，
∵AC=4，CB=3，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先证出△EDO∽△BAO，可得，求出OB=，再利用勾股定理求出BE的长，即可得到。
12．【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x-1），得
m+2（x-1）=3，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x-1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=3，
故答案为：3.
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为零的根，若有增根，则最简公分母x-1=0，即增根x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值即可.
13．【答案】k＜-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 无实数根 ，
∴△=22-4×1×（-k）＜0，解得k＜-1.
【分析】由于关于x的一元二次方程 无实数根 ，可得根的判别式△=b2-4ac＜0，据此解答即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过C'向AB边作垂线，垂足为G，连接BC'、CC'交DE于H，
已知CD=4，CE=BE=2
由翻折得：
直角三角形DCE面积一定
在直角三角形BCC'中，
又
∽
即
故答案为： .
【分析】观察图得到利用勾股定理求AC'的想法，故过C'向AB边作垂线，垂足为G，作出直角三角形；下一步就是求两条直角边，在直角三角形BGC'中，没有已知线段，由翻折可得到3个直角三角形，这三个三角形通过计算可求三边，因此寻求直角三角形BGC'和它们相似的可能，再从已知条件入手，寻找相等的边和角，找到相似的条件，整理思路求解即可。
15．【答案】解：原式．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】会通过因式分解把分式除法化简，再代入求值；熟练应用完全平方公式。
16．【答案】解：x2-4x+2=0
x2-4x+4-2=0
(x-2)2=2
∴x-2= 或x-2=
解得： ，
故答案为 ， .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法接一元二次方程即可.
17．【答案】解：设钢笔的单价为元支，则毛笔的单价为元支，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：钢笔的单价为元支．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】典型的分式方程应用问题，根据钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支找到等量关系列方程，注意求解后要验根。
18．【答案】（1）A
（2）乙学校；与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；
（3）88.5
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：(1)50个数据，中位数是第25数据81和第26个数据81.5的平均数，
即
同为83分，在甲学校排名靠前
故填：A
(2)甲校的优秀人数12+8=20人，
优秀率为：，
乙校的优秀率为：46%
乙校的综合素质展示水平更高
故填：乙
(3)根据题意，在400人中选出前120人，
在50人中要选
100分有12人
第15人在 这一组是里，是88.5分
故填：88.5
【分析】（1）了解中位数的意义，会计算中位数，会根据中位数评估数据；（2）会计算优秀率，会根据优秀率评估数据；（3）会根据样本数据评估总体，同样也要会根据总体要求选择样本数据。
19．【答案】（1）证明：，
，
是菱形，
；
（2）解：由可知， 是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
即的长为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得到平行四边形的一组邻边相等，证得平行四边形ABCD是菱形；根据菱形性质得到对角线互相垂直；
（2）从问题入手，OE在直角三角形中，首先会考虑用勾股定理，直角边OB可求，斜边BE无法求取，继续观察图形，在（1）结论的提示下，很容易发现三角形BOE和三角形AOB相似，三角形AOB的三边皆可知，三角形BOE的三边只要知道一条边，其他两边就可求取，而OB可求；至此，整理思路即可求出OE的长。
20．【答案】（1）解：如下图所示，
（2）解：如下图所示：
（3）解：∵当三角形 是等腰直角三角形，且 时， ，
∴当四边形 为正方形时，满足中心对称和 的条件，
∴图形如下图所示．
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据矩形对角线互相平分的性质，可构建一个矩形，使为矩形的一条对角线，作矩形的另外一条对角线，与的交点即为的中点．
（2）可将作为钝角等腰三角形的一个腰，点作为钝角等腰三角形顶角的顶点，根据三角形全等的知识可作出点的多个位置，使得，选择使为钝角的点的位置，连接和即可．
（3）根据题意可知，四边形 为正方形，且为对角线，边长为；根据勾股定理，可求得边时点的位置，同理可求得点的位置，顺次连接正方形各顶点即可．
21．【答案】（1）40；60
（2）天；
（3）米，
设乙队的函数解析式为，
把，和，代入，
得，
解之得，
；
（4）当时，
米，
米．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，80020=40米/天；
3606=60米/天
故填：40、60
【分析】（1）根据图中数据，可以求得甲乙的修筑速度；
（2）读图可知乙队在修筑6天后离开，在甲队修筑360米后回来，故先求甲修筑360米需用的天数，减去6天即可知道离开天数；
（3）设出所求函数的一般式y=kx+b，有2个未知数，找到图象经过的两点坐标，代入求得解析式并标明x的取值范围；
（4）公路的总长度是甲乙两队修筑之和。
22．【答案】（1）45；2
（2）如图，延长，交于点，
平分，
．
由折叠的性质可知，，．
，
．
，，
和均为等腰直角三角形，
，，
，
即，
解得．
（3）分两种情况：当时，
如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，，，
，
解得，
．
当时，
如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，
，
，
．
设，，，
，
，
解得，
．
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）当AB=BC=6时，矩形ABCD是正方形，
由折叠得：
故第一空填：45
设所求线段BE=x
已知
由折叠得：BE=BG，
在，AE=6-x，EF=3+x
即
解的x=2
故第二空填：2
【分析】（1）根据折叠的性质，易推导出等角，将所求角拆分得到它们的2倍是90°，所求角为45°；讲所求线段等量代换的直角三角形中，根据勾股定理求取；
（2）求角度的思路同（1），其结论仍然为45°，进而得到等腰直角三角形；斜边EM=BE，由等式BE+BE=2可求得BE；
（3）题中说F是三等分点，这样的点有2个位置，因此分别讨论；由前两问求BE的启示，我们希望把BE和已知的DF、AF等量代换到一个直角三角形里，因此尝试连接EF，过点E作，交FG的延长线于点P，这样我们得到了一个希望的直角三角形，由勾股定理可求BE，但当时也可由全等得AE=FG再等量代换再求BE。
23．【答案】（1）①②当时，．当时，；
（2）如图中，当时，，此时点落在上，
观察图象可知，当时，点在内部．
如图中，当时，，此时点落在上，
观察图象可知当时，点在内部．
综上所述，当或时，点在内部；
（3）解：如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点．
在中，，，，
，
，
．
如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点．
在中，，，，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（4）如图中，当点在上时，过点作于点．
，
，
，
，
，
．
如图中，当点在上时，过点作于点．
同法可证，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1） ① 过A作AHBC于H，
由题意，AH=8
故第一空填：
由题意，点P不与点A重合，可与C重合，
当时
AP=AB-BP=10-5t=-5t+10
当 时
故答案为： 当时，．当时，
【分析】（1）根据题意作高，由勾股定理求AC，根据题意结合图象分别写出不同时段、含t的表示AP长的代数式；
（2）在草纸上尝试画出t在0-4之间的P处在不同位置时E的可能位置，然后发现两种E恰好在三角形内外边界AB和AC上的情形，参考中线定理就是E是AB和AC上的中点时，此时t=1或3，据此讨论t的取值范围；
（3）求t值，我们在图形上无法直观看到t，但可以通过速度乘以时间转化为线段的长度，已知边长和可表达的边长找等量关系，我们通常会尝试用勾股定理，因此过P作BC边上的垂线，制造出直角三角形，根据勾股定理代入三边代数式，可求t；另AP有2个表达式，故有2种位置关系，分别求t；
（4）与（3）思路相同，同样将t转化为线段，在直角三角形中寻找等量关系，有已知的BP找到BD的表达式，且已知BD=5，可求t；同样AP有2个表达式，故有2种位置关系，分别求t。
24．【答案】（1）（0，1）
（2）解：点在一次函数的图象上，
，
解得：；
（3）解：由知，，
直线的解析式为，
由，
解得：，
，
，
，
，
，
，
点不与点重合，
，
；
（4）解：或或或
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；三角形的面积；三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（4）当时，即，
解得：或，
或，
当点的坐标为时，如图，过点作轴于点，
此时，
为等腰直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
；
为等腰直角三角形，
，
，
，
；
当点的坐标为时，如图，过点作，交于点，过点作轴于点，
此时，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
同理可证：≌，
，，
．
综上，满足条件的点坐标为或或或．
【分析】（1）由，求出x=0时y=1，即得A的坐标；
（2） 把点代入中，即可求出k值；
（3）由（2）知直线的解析式为，当x=2时，y=，即得D（2，） ，由P (2，m），可得 ， 利用即可求解；
（4）当时，可求出或，分两种情况：①当点的坐标为时，②当点的坐标为时，据此分别画出图形，根据等腰直角三角形及三角形全等分别求解即可.
1 / 1吉林省长春市北湖学校2023-2024学年九年级上学期开学考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1．（2023九上·长春开学考） 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】
A：，是二元二次方程，不符合题意；
B：，是一元一次方程，不符合题意；
C：，是二元一次方程，符合题意；
D：，是一元三次方程，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义进行判定。
2．（2023九上·长春开学考）生物学家发现了一种病毒，其长度约为，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】 ，小数点从当前位置移动到3后面需要移动7位，
故用科学记数法表示为：
故答案为：C.
【分析】会用科学记数法表示绝对值远远小于1的数。
3．（2023九上·长春开学考） 下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；等式的性质
【解析】【解答】
A：，去分母得-x+y=x+y，仅当-x=x时，等式才成立，故不符合题意；
B：，尝试通分或约分，发现等式不成立，不符合题意；
C：，，等式成立，符合题意；
D： ，，仅当x=1或-1，等式才成立，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据等式的基本性质进行恒等变形即可判定。
4．（2017八下·南召期中）如图，在 ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．4 B．3 C．3.5 D．2
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴ED=AD﹣AE=AD﹣AB=7﹣4=3．
故选B．
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，根据ED=AD﹣AE=AD﹣AB即可得出答案．
5．（2023九上·长春开学考）年年无锡居民人均可支配收入由万元增长至万元，设人均可支配收入的平均增长率为，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】根据题意
2020年到2021年人均可支配收入为 万元，
2021年到2022年人均可支配收入为 万元
即
故答案为：A.
【分析】根据题意，连续2年增长且增长率相同，典型的用一元二次方程解决增长率问题。
6．（2023九上·长春开学考）如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】根据题意，设C表示的数是x，
故答案为：B.
【分析】距离只有大小，没有方向；数轴上两点间的距离用右侧的数减去左侧的数来表示。
7．（2023九上·长春开学考）如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】连接EG，设CG=x，
由题意知BF是的平分线，BE=BC=10
在
≌(SAS)
在中，
在中，DG=DC-GC=8-X
即
解得x=5
故答案为：A.
【分析】掌握尺规作角平分线，了解角平分线上的点到角的两边距离相等，并会通过全等证明，在此基础上思考本题，把问题转化为求直角三角形中的斜边，利用勾股定理求解即可。
8．（2023九上·长春开学考）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】根据题意
反比例函数图象在一、三象限内单调递减，
点A和点B必定在同一个象限内，
即
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质，判定图象在一三象限单调递减，即随着x的增大y反而减小；据此判定A、B在同一象限，进而判定出a取值范围。
二、非选择题（共96分）
9．计算： = .
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
10．（2023九上·长春开学考）一组数据：，，，，，，，，，，它们的平均数为 ，众数为 ，中位数为 ．
【答案】3；2；2.5
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】根据题意
这组数据的平均数为：
数据由小到大排列：1，1，2，2，2，3，4，4，5，6
众数为：2
中位数为：
故第一空填：3，第二空填：2，第三空填：2.5
【分析】（1）了解平均数的定义，会计算平均数；（2）了解众数的定义，能在样本数据中找到众数；（3）会找中位数，先把数据从大到小或者从小到大排列，位置居中的数或者位置居中的两个数的平均数就是中位数。
11．（2023·长春模拟）如图，在中，，中线相交于点O．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】连接ED，
∵BE、AD分别是△ABC的中线，
∴ED是△ABC的中位线，
∴DE//AB，ED=AB，
∴△EDO∽△BAO，
∴
∴OB=，
∵AC=4，CB=3，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先证出△EDO∽△BAO，可得，求出OB=，再利用勾股定理求出BE的长，即可得到。
12．（2022八下·靖江月考）若关于x的方程 会产生增根，则m的值为 .
【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x-1），得
m+2（x-1）=3，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x-1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=3，
故答案为：3.
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为零的根，若有增根，则最简公分母x-1=0，即增根x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值即可.
13．（2020·抚顺）若关于x的一元二次方程 无实数根，则k的取值范围是 .
【答案】k＜-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 无实数根 ，
∴△=22-4×1×（-k）＜0，解得k＜-1.
【分析】由于关于x的一元二次方程 无实数根 ，可得根的判别式△=b2-4ac＜0，据此解答即可.
14．（2023九上·长春开学考） 如图，已知四边形是边长为的正方形，点是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过C'向AB边作垂线，垂足为G，连接BC'、CC'交DE于H，
已知CD=4，CE=BE=2
由翻折得：
直角三角形DCE面积一定
在直角三角形BCC'中，
又
∽
即
故答案为： .
【分析】观察图得到利用勾股定理求AC'的想法，故过C'向AB边作垂线，垂足为G，作出直角三角形；下一步就是求两条直角边，在直角三角形BGC'中，没有已知线段，由翻折可得到3个直角三角形，这三个三角形通过计算可求三边，因此寻求直角三角形BGC'和它们相似的可能，再从已知条件入手，寻找相等的边和角，找到相似的条件，整理思路求解即可。
15．（2023九上·长春开学考） 先化简，再求值，其中．
【答案】解：原式．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】会通过因式分解把分式除法化简，再代入求值；熟练应用完全平方公式。
16．（2020九上·高州期中）解方程：
【答案】解：x2-4x+2=0
x2-4x+4-2=0
(x-2)2=2
∴x-2= 或x-2=
解得： ，
故答案为 ， .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法接一元二次方程即可.
17．（2023九上·长春开学考） 某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，已知毛笔单价是钢笔单价的倍，购买钢笔用了元，购买毛笔用了元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多支，求钢笔的单价．
【答案】解：设钢笔的单价为元支，则毛笔的单价为元支，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：钢笔的单价为元支．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】典型的分式方程应用问题，根据钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支找到等量关系列方程，注意求解后要验根。
18．（2023九上·长春开学考）为迎接年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有名学生进入综合素质展示环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲学校学生成绩的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，．
甲学校学生成绩在这一组是：
乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率分及以上为优秀如下：
根据以上信息，回答下列问题：
平均数 中位数 众数 优秀率
8.3. 84 78 46%
（1）甲学校学生，乙学校学生的综合素质展示成绩同为分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 填“”或“”；
（2） 根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 至少从两个不同的角度说明推断的合理性．
（3）若每所学校综合素质展示的前名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选．
【答案】（1）A
（2）乙学校；与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；
（3）88.5
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：(1)50个数据，中位数是第25数据81和第26个数据81.5的平均数，
即
同为83分，在甲学校排名靠前
故填：A
(2)甲校的优秀人数12+8=20人，
优秀率为：，
乙校的优秀率为：46%
乙校的综合素质展示水平更高
故填：乙
(3)根据题意，在400人中选出前120人，
在50人中要选
100分有12人
第15人在 这一组是里，是88.5分
故填：88.5
【分析】（1）了解中位数的意义，会计算中位数，会根据中位数评估数据；（2）会计算优秀率，会根据优秀率评估数据；（3）会根据样本数据评估总体，同样也要会根据总体要求选择样本数据。
19．（2023九上·长春开学考）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AC交于点E．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）AB=10，AC=16，求OE的长．
【答案】（1）证明：，
，
是菱形，
；
（2）解：由可知， 是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
即的长为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得到平行四边形的一组邻边相等，证得平行四边形ABCD是菱形；根据菱形性质得到对角线互相垂直；
（2）从问题入手，OE在直角三角形中，首先会考虑用勾股定理，直角边OB可求，斜边BE无法求取，继续观察图形，在（1）结论的提示下，很容易发现三角形BOE和三角形AOB相似，三角形AOB的三边皆可知，三角形BOE的三边只要知道一条边，其他两边就可求取，而OB可求；至此，整理思路即可求出OE的长。
20．（2023·双阳模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形．
（1）在网格①中画出中点，中点为C．
（2）在网格②中画出，使为钝角等腰三角形，点C在格点上．
（3）在网格③中画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使这个四边形为中心对称图形，且，点C、点D均在格点上．
【答案】（1）解：如下图所示，
（2）解：如下图所示：
（3）解：∵当三角形 是等腰直角三角形，且 时， ，
∴当四边形 为正方形时，满足中心对称和 的条件，
∴图形如下图所示．
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据矩形对角线互相平分的性质，可构建一个矩形，使为矩形的一条对角线，作矩形的另外一条对角线，与的交点即为的中点．
（2）可将作为钝角等腰三角形的一个腰，点作为钝角等腰三角形顶角的顶点，根据三角形全等的知识可作出点的多个位置，使得，选择使为钝角的点的位置，连接和即可．
（3）根据题意可知，四边形 为正方形，且为对角线，边长为；根据勾股定理，可求得边时点的位置，同理可求得点的位置，顺次连接正方形各顶点即可．
21．（2023九上·长春开学考）甲、乙两个工程队修筑一条公路，甲队从南向北方向修筑，乙队从北向南方向修筑甲、乙两队同时开工，乙队施工几天后因另有任务提前离开，甲队继续修筑公路当乙队任务完成后，因赶时间，乙队回来继续修筑公路，直到公路修通在修路过程中，甲、乙两队的工作效率保持不变设甲、乙两队修筑公路的长度为米，施工时间为天，与之间的函数图象如图所示．
（1）甲队每天修筑公路 米，乙队每天修筑公路 米；
（2）求乙队离开的天数；
（3） 求乙队回来后修筑公路的长度与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4） 求这条公路的总长度．
【答案】（1）40；60
（2）天；
（3）米，
设乙队的函数解析式为，
把，和，代入，
得，
解之得，
；
（4）当时，
米，
米．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，80020=40米/天；
3606=60米/天
故填：40、60
【分析】（1）根据图中数据，可以求得甲乙的修筑速度；
（2）读图可知乙队在修筑6天后离开，在甲队修筑360米后回来，故先求甲修筑360米需用的天数，减去6天即可知道离开天数；
（3）设出所求函数的一般式y=kx+b，有2个未知数，找到图象经过的两点坐标，代入求得解析式并标明x的取值范围；
（4）公路的总长度是甲乙两队修筑之和。
22．（2023九上·长春开学考）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，且、、三点共线．
（1）如图，若为边的中点，，点与点重合，则 ， ；
（2）如图，若为的中点，平分，，，求的度数及的长．
（3）AB=5，，若为的三等分点，请直接写出的长．
【答案】（1）45；2
（2）如图，延长，交于点，
平分，
．
由折叠的性质可知，，．
，
．
，，
和均为等腰直角三角形，
，，
，
即，
解得．
（3）分两种情况：当时，
如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，，，
，
解得，
．
当时，
如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，
，
，
．
设，，，
，
，
解得，
．
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）当AB=BC=6时，矩形ABCD是正方形，
由折叠得：
故第一空填：45
设所求线段BE=x
已知
由折叠得：BE=BG，
在，AE=6-x，EF=3+x
即
解的x=2
故第二空填：2
【分析】（1）根据折叠的性质，易推导出等角，将所求角拆分得到它们的2倍是90°，所求角为45°；讲所求线段等量代换的直角三角形中，根据勾股定理求取；
（2）求角度的思路同（1），其结论仍然为45°，进而得到等腰直角三角形；斜边EM=BE，由等式BE+BE=2可求得BE；
（3）题中说F是三等分点，这样的点有2个位置，因此分别讨论；由前两问求BE的启示，我们希望把BE和已知的DF、AF等量代换到一个直角三角形里，因此尝试连接EF，过点E作，交FG的延长线于点P，这样我们得到了一个希望的直角三角形，由勾股定理可求BE，但当时也可由全等得AE=FG再等量代换再求BE。
23．（2023九上·长春开学考）如图，在中，，边上高为，点为边的中点，点从点出发，沿折线向点运动，在、上的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度当点不与点重合时，连接，以、为邻边作 设点的运动时间为秒，t＞0
（1）①线段的长为 ；用含的代数式表示线段的长；
（2）当点在内部时，求的取值范围；
（3）当 是菱形时，求的值；
（4）作点关于直线的对称点，连接，当时，直接写出的值．
【答案】（1）①②当时，．当时，；
（2）如图中，当时，，此时点落在上，
观察图象可知，当时，点在内部．
如图中，当时，，此时点落在上，
观察图象可知当时，点在内部．
综上所述，当或时，点在内部；
（3）解：如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点．
在中，，，，
，
，
．
如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点．
在中，，，，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（4）如图中，当点在上时，过点作于点．
，
，
，
，
，
．
如图中，当点在上时，过点作于点．
同法可证，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1） ① 过A作AHBC于H，
由题意，AH=8
故第一空填：
由题意，点P不与点A重合，可与C重合，
当时
AP=AB-BP=10-5t=-5t+10
当 时
故答案为： 当时，．当时，
【分析】（1）根据题意作高，由勾股定理求AC，根据题意结合图象分别写出不同时段、含t的表示AP长的代数式；
（2）在草纸上尝试画出t在0-4之间的P处在不同位置时E的可能位置，然后发现两种E恰好在三角形内外边界AB和AC上的情形，参考中线定理就是E是AB和AC上的中点时，此时t=1或3，据此讨论t的取值范围；
（3）求t值，我们在图形上无法直观看到t，但可以通过速度乘以时间转化为线段的长度，已知边长和可表达的边长找等量关系，我们通常会尝试用勾股定理，因此过P作BC边上的垂线，制造出直角三角形，根据勾股定理代入三边代数式，可求t；另AP有2个表达式，故有2种位置关系，分别求t；
（4）与（3）思路相同，同样将t转化为线段，在直角三角形中寻找等量关系，有已知的BP找到BD的表达式，且已知BD=5，可求t；同样AP有2个表达式，故有2种位置关系，分别求t。
24．（2023八下·绿园期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，点是直线上一动点，且点不与点重合，连接、设点的纵坐标为，的面积为．
（1）点的坐标为 ；
（2）求的值；
（3）求与之间的函数关系式；
（4）当时，以点为直角顶点作等腰直角，直接写出点的坐标．
【答案】（1）（0，1）
（2）解：点在一次函数的图象上，
，
解得：；
（3）解：由知，，
直线的解析式为，
由，
解得：，
，
，
，
，
，
，
点不与点重合，
，
；
（4）解：或或或
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；三角形的面积；三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（4）当时，即，
解得：或，
或，
当点的坐标为时，如图，过点作轴于点，
此时，
为等腰直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
；
为等腰直角三角形，
，
，
，
；
当点的坐标为时，如图，过点作，交于点，过点作轴于点，
此时，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
同理可证：≌，
，，
．
综上，满足条件的点坐标为或或或．
【分析】（1）由，求出x=0时y=1，即得A的坐标；
（2） 把点代入中，即可求出k值；
（3）由（2）知直线的解析式为，当x=2时，y=，即得D（2，） ，由P (2，m），可得 ， 利用即可求解；
（4）当时，可求出或，分两种情况：①当点的坐标为时，②当点的坐标为时，据此分别画出图形，根据等腰直角三角形及三角形全等分别求解即可.
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