山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

莱西市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A． B．2 C．或2 D．0或2
4．过点作圆的两条切线，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆，直线，圆上恰有四个点到直线的距离都等于1，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．已知向量、则、与任意向量都不能构成空间的一个基底
B．若，，，四点共面，则
C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．在四面体，，，中，若，，则
10．已知曲线．下列结论正确的有（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
11．已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内
B．圆上的点到直线的最小距离为1
C．圆和圆的公切线长为2
D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为
12．通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A． B．
C．四边形的内切圆过焦点， D．轴，且
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．
14．若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的2倍，则其标准方程为__________．
15．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则__________．
16．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是__________ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线过定点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，．
（1）求异面直线与所成角的大小．
（2）求直线到平面的距离．
19．（12分）已知直线和圆．
（1）若直线交圆于，两点，求弦的长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
20．（12分）已知定圆，动圆过点，且和圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若直线与圆心的轨迹交于，两点，，且，求的值．
21．（12分）如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）．
（1）若为的中点，证明：．
（2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，，．过点，且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）若，求的值．
（3）是否存在实数，使直线平行于直线？证明你的结论．
莱西市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学答案
1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．B 7．C 8．B 9．ACD
10．AD 11．BCD 12．BC
13． 14．或
15． 16．
17．解：（1）直线的斜率为，
直线与直线垂直，直线的斜率为2．
又直线过点，直线的方程为，即．
（2）直线过原点时，设直线的方程为，
直线过点，，直线的方程为，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，即，
直线过点，，直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
18．解：（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
设异面直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角大小为．
（2），平面，平面，平面，
直线到平面的距离即为点到平面的距离．
设平面的法向量为，，，
则，取，得．
，点到平面的距离．
19．解：（1）将圆，
化成标准方程：，圆的圆心，半径，
圆到直线的距离，．
（2）当直线的斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线，
当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即，
圆心到直线的距离，解得．
切线方程为，即，
综上所述，所求的直线方程为：或．
20．解：（1），半径，设动圆的半径为，
由题意知，，点在圆内，圆内切与圆．
，即，
动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为4的椭圆，
设方程为，则，，．
圆心的轨迹方程为．
（2）设，，联立消去得：，
，．
的中点，由得，．
，，．
解得，符合，．
21．解：（1）证明：分别取，的中点，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点，
所以，，，，
故，，则，所以．
（2）设，则点，所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，故，
又平面的一个法向量为，
所以，
因为，则，所以．
故的取值范围为．
22．解：（1）由已知得，，从而．所以椭圆的方程为．
（2）设直线，，，
，消去得，，，
，，，，，
即，解得，符合．
（3）由已知得，，设直线，的斜率分别为和，
，，
，
，，即，
使直线平行于直线的实数不存在．