福建省福州市鼓楼区延安中学2023-2024学年八年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八上·福州开学考）在下列实数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是.
故答案为：A.
【分析】利用实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此可得答案.
2．（2023八上·福州开学考）下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．了解全国中学生视力和用眼卫生情况
B．调查某河流的水质情况
C．了解某电视台年春节联欢晚会的收视率
D．为保证“神舟十六号”载人飞船成功发射，对其零部件进行检查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、 了解全国中学生视力和用眼卫生情况适宜采用抽样调查，故A不符合题意；
B、调查某河流的水质情况，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；
C、 了解某电视台年春节联欢晚会的收视率，适宜采用抽样调查，故C不符合题意；
D、为保证“神舟十六号”载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，采用普查，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】全面调查它是为了搜集比较全面的 精确的调查资料，对调查对象（总体）的全部样本进行一个一个的无遗漏的专门调查，再对各选项逐一判断即可.
3．（2023八上·福州开学考）如图，在平面直角坐标系中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：这一滴墨水在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负数，故A符合题意，B、C、D不符合题意.
故答案为：.A
【分析】利用第一象限的符号为（+，+），第二象限的符号（-，+），第三象限的符号（-，-），第四象限的符号（+，-），据此可得答案.
4．（2023八上·福州开学考）一个不等式组中的两个不等式的解集如图，则这个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴可知，x＞0，x＞，
∴此不等式组的解集为x＞.
故答案为：D.
【分析】利用大大取大，可得到此不等式组的解集.
5．（2023八上·福州开学考）一个含的直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠ABF=∠ABC-∠1=60°-20°=40°，
∵DE∥BF，
∴∠2=∠ABF=40°.
故答案为：C.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，根据∠ABF=∠ABC-∠1，代入计算求出∠ABF的度数；然后利用平行线的性质可求出∠2的度数.
6．（2023八上·福州开学考）如图，的边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：△ABC的边AC上的高为线段BD.
故答案为：C.
【分析】利用三角形的高的定义，可作出判断.
7．（2023八上·福州开学考）九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若人坐一辆车，则人需要步行，若“”问：人与车各多少？小明同学设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“”表示的缺失条件应补为（ ）
A．三人坐一辆车，有一车少坐人 B．三人坐一辆车，则人需要步行
C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：∵人坐一辆车，则人需要步行， 设有辆车，人数为，
∴2x+9=y，
∵另一个方程为y=3（x-2），
∴ 三人坐一辆车，则有两辆空车 .
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可知第一个方程为2x+9=y，由第二个方程，可知空出两辆车，三人坐一辆车，据此可求解.
8．（2021八上·潍坊月考）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） ．
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，由作图可知
在 与 中
（SSS）
故答案为：D.
【分析】根据作图过程可知：OA=OB=CE=EF，BA=CF，进而可得判定图中两三角形全等的条件。
9．（2023八上·福州开学考）图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长直线a，b交于点A，
∵a⊥b，
∴∠A=90°，
∴此正多边形的一个外角为45°，
∴n=360°÷45°=8.
故答案为：8.
【分析】利用垂直的定义可知∠A=90°，利用正多边形的性质可知此正多边形的一个外角为45°，及可求出n的值.
10．（2023八上·福州开学考）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵ 方程组的解是 ，
∴
解之： .
故答案为：B.
【分析】将方程组转化为，再根据已知方程组的解，可得到再解方程组，即可求解.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2023八上·福州开学考）某样本容量是，分组后第组的频率是，那么第组的频数是 ．
【答案】12
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵ 某样本容量是，分组后第组的频率是，
∴第二组的频数为80×0.15=12.
故答案为：12.
【分析】利用频数=频率×样本容量，列式计算.
12．（2021八上·潮阳期末）一个n边形的各内角都等于，则边数n是 ．
【答案】6
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵n边形的各内角都等于120°，
∴每一个外角都等于180°-120°=60°，
∴边数n=360°÷60°=6．
故答案为：6．
【分析】先求出外角的度数，再用360°除以外角度数可得边数n。
13．（2023八上·福州开学考）已知二元一次方程，用含有的代数式表示，得 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：2x+y=5，
y=-2x+5.
故答案为：-2x+5.
【分析】将含x的项移到方程右边即可.
14．（2023八上·柳州开学考）若点在轴上，则 ．
【答案】-3
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点在轴上，
∴2a+6=0，
∴a=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据点的坐标的特性可判断2a+6=0，按照一元一次方程的解法求出a即可.
15．（2023八上·福州开学考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵ 点，，， ，
它们的横坐标依次为1，2，3，4，纵坐标依次为2，0，-2，0，2，0，-2，0…
∴2023÷4=505…3，
∴点A2023（2023，-2）
故答案为：（2023，-2）.
【分析】 观察图形，利用已知点的坐标可知它们的横坐标依次为1，2，3，4…（序号），纵坐标依次为2，0，-2，0，2，0，-2，0…再用2023÷4，根据其余数可得到点点A2023的坐标.
16．（2021八上·天桥期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【解答】解：在中，，
，
分别是的角平分线，
，
，
，结论①符合题意；
如图，在上取一点，使得，连接，
在和中，，
，
，
，
由对顶角相等得：，
，
在和中，，
，
，
，结论②不符合题意；
如图，过点O作于点N，连接，
由上已证：，
，
，
，
在和中，，
，
，
在和中，，
，
，
，结论③符合题意；
由上已证：，
，
，
，
，
，
即，结论④符合题意；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】由在中，，由分别是的角平分线，则，结论①符合题意；在上取一点，使得，连接OM，证明，，则，结论②不符合题意；证出，得出，在证出，
得出，结论③符合题意；由上已证：，证出，再证出，即，结论④符合题意；即可得解。
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八上·福州开学考）计算与求值：
（1）计算：；
（2）求的值：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：移项得，
，
系数化为得，
，
两边开平方得，
，
，．
【知识点】平方根；实数的运算
【解析】【分析】（1）先算开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
（2）将（x+1）看着整体，先移项，再将（x+1）2的系数化为1，利用直接开平方法求出方程的解.
18．（2023八上·福州开学考）如图：已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义求出∠AFB、∠FDE的度数，可证得∠AFB=∠FDE，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再利用平行线的性质可求出∠C的度数.
19．（2023八上·福州开学考）已知关于，的二元一次方程组．
（1）当时，解这个方程组；
（2）若，设，求的取值范围．
【答案】（1）解：时，方程组为，
得，，解得：，
将代入得，，
解得，
即方程组的解是；
（2）解：，
得，，即
，
，
，则，
，
的取值范围是：．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将k=3代入方程组，观察同一个未知数的系数特点：x的系数相等，因此由②-①，消去x，可求出y的值，然后求出x的值，可得到方程组的解.
（2）由（①+②）÷2，可表示出x-y的值，从而可得到S与k的关系式，再利用k的取值范围，可得到S的取值范围.
20．（2023八上·福州开学考）如图；小刚站在河边的点处，在河的对面小刚的正北方向的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后他左转向正南方向直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他从到走了步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与处电线塔的距离，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：由题意得，步，
在和中，
，
≌，
，
小刚走完走了步，一步大约米，
米，
米．
答：小刚在点处时他与处电线塔的距离为米．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用数学情景，画出图形.
（2）利用ASA可证得△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可证得AB=DE，利用已知可求出DE的长，即可得到AB的长.
21．（2023八上·福州开学考）教育部印发的义务教育课程方案和课程标准年版将劳动从原来的综合活动课中独立出来某中学为了解学生做家务的情况，随机抽取了若干学生进行了问卷调查，并将数据整理后，绘制成如下不完整的统计图：
调查问卷
在下列家务劳动中整理房间，打扫卫生；吃过饭后收拾餐桌，洗刷餐具；清洗自己的衣服，整理衣柜；给家里的花草浇水施肥或给小动物喂食洗澡，你每周能主动参与做____件事情． A.零一二三四
根据图中信息，请完成下列问题：
（1）本次抽样调查的总人数有 人；
（2）选择选项的人数有 ▲ 人，并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，若选项D所对应的圆心角为，则 ；
（4）若规定“每周能主动做三件家务劳动及以上者”为“优秀家务小能手”，已知该校共有学生人，请你估计该校能评为“优秀家务小能手”的学生有多少人？
【答案】（1）60
（2）解：15；
补全图形如下：
（3）72
（4）解：人，
答：估计该校能评为“优秀家务小能手”的学生有人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数为：24÷40％=60人.
故答案为：60.
（2）B组的人数为：60×25％=15人.
故答案为：15.
【分析】（1）本次抽样调查的总人数=C组的人数÷C组的人数所占的百分比，列式计算.
（2）利用抽取的人数×B组的人数所占的百分比，列式计算；然后补全条形统计图.
（3）用该校的总人数ד优秀家务小能手”所占的百分比，列式计算.
22．（2023八上·福州开学考）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进部甲型号手机和部乙型号手机，共需要资金元；若购进部甲型号手机和部乙型号手机，共需要资金元．
（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的手机共台，请问有几种进货方案？
（3）售出一部甲种型号手机，利润率为，乙型号手机的售价为元为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使(2)中所有方案获利相同，求的值．
【答案】（1）解：设甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元；
（2）解：设购进甲型号手机部，则购进乙型号手机部，
根据题意，得：，
解得：，
为整数，
取或或或，
则进货方案有如下四种：
方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部．
（3）解：设总获利元，购进甲型号手机台，则：
；
当时，的值与的取值无关，故中的所有方案获利相同．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：2×每一部甲型号手机的进价+1×每一部乙型号手机的进价=2800；3×每一部甲型号手机的进价+2×每一部乙型号手机的进价=4600；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2）设购进甲型号手机a部，根据题意可得到关于a的不等式组，再求出不等式组的解集，确定出整数a的值，可得到具体的进货方案.
（3）设总获利w元，购进甲型号手机a台，根据题意可得到w关于a的函数解析式，再根据甲型号手机售价不变，要使(2)中所有方案获利相同，可确定出m的值.
23．（2023八上·福州开学考）在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为．
（1）将线段平移得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为．
①描述点平移到点的过程．
②点的坐标为 ▲ ．
（2）在(1)的条件下，若点的坐标为，连接，，求的面积．
（3）若点在线段上，在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为面积的，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：点的坐标为，点的坐标为，
点到点的移动过程可以是：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度；
②
（2）解：如图：；
（3）解：存在，理由如下：
如图，由平移的性质，，根据平行线间的距离处处相等，
面积面积，
三角形的面积为面积的，
三角形的面积为，
设，根据题意得到，
，
或，
或，
点的坐标为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵线段MN平移得到线段AB，点N的坐标为（3，-2），将点N向右平移3个单位，再向上平移5个单位，
∴点B（6，3）.
故答案为：6，3）.
【分析】（1）①利用已知条件及点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，由点M、A的坐标，可得到点M平移到点A的过程；②利用点的坐标平移规律及方法，可得到点B的坐标.
（2）先画出△ABC，利用△ABC的面积等于长方形的面积减去三个直角三角形的面积，列式计算.
（3）利用平行线间的距离处处相等，可知△ABD和△ABN的高相等，可得到△ABD的面积，再根据三角形的面积为面积的，可求出△ABP的面积；设点P（0，m）可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标.
24．（2023八上·福州开学考）深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，
试解决下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ 为圆周率， ▲ ；
如果，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围；
（3）求满足的所有非负实数的值．
【答案】（1）解：①7；3；4；
②，
，
；
故答案为：；
（2）解：解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有个得，，
故；
（3）解：，为整数，
设，为整数，则，
，
，，
，
，，，
则，，．
【知识点】无理数的估值；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①Z（7，2）=7， Z（π）=3，
∵的整数部分为4，
∴，
故答案为：7，3，4.
【分析】（1）利用定义新运算，分别求值即可；②利用定义新运算，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解，可得到a的取值范围.
（3）设设，为整数，可表示出x，再根据已知条件，可得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集，可得到k的取值范围，可知k的值为0或1或2，然后求出对应的x的值.
25．（2023八上·福州开学考）情境学习：
（1）小明在预习第十三章，涉及到一个知识点：“两个角相等的三角形是等腰三角形”，下面是两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，在中，求证：．
方法一证明：如图，作的高线． 方法二证明：如图，作的角平分线．
（2）应用：
如图，在中，，，是边上的高，点是边上的一动点不与点，重合，连接交于点作且，连接．
如图，当是的角平分线时，求证：．
依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：的高线，
，
在与中，
，
≌，
；
的角平分线，
，
在与中，
，
≌，
；
（2）解：是的角平分线，
，
，，
，
，
，
；
依题意补全图形如图所示，
，理由如下，
证明：过点作交延长线于一点，
，，是边上的高，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用三角形的高的定义，可证得∠ADB=∠ADC=90°，利用AAS证明△BAD≌△CAD，利用全等三角形的性质可证得AB=AC；利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠CAD，利用ASA证明△BAD≌△CAD，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）①利用角平分线的定义可证得∠DCF=∠ACF，利用垂直的定义和余角的性质可证∠AEC=∠DFC，由此可推出∠AEC=∠AEF，利用等角对等边可证得结论；②根据题意画出图形，过点C作CM⊥AC交AD的延长线于点M，易证△ABC，△ABD是等腰直角三角形，可推出AM=BC；再利用SAS证明△MCF≌△ACG，利用全等三角形的性质可证得MF=AG；然后根据AM=AF+FM，代入可证得结论.
1 / 1福建省福州市鼓楼区延安中学2023-2024学年八年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八上·福州开学考）在下列实数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·福州开学考）下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．了解全国中学生视力和用眼卫生情况
B．调查某河流的水质情况
C．了解某电视台年春节联欢晚会的收视率
D．为保证“神舟十六号”载人飞船成功发射，对其零部件进行检查
3．（2023八上·福州开学考）如图，在平面直角坐标系中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·福州开学考）一个不等式组中的两个不等式的解集如图，则这个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·福州开学考）一个含的直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·福州开学考）如图，的边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
7．（2023八上·福州开学考）九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若人坐一辆车，则人需要步行，若“”问：人与车各多少？小明同学设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“”表示的缺失条件应补为（ ）
A．三人坐一辆车，有一车少坐人 B．三人坐一辆车，则人需要步行
C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车
8．（2021八上·潍坊月考）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） ．
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．（2023八上·福州开学考）图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·福州开学考）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2023八上·福州开学考）某样本容量是，分组后第组的频率是，那么第组的频数是 ．
12．（2021八上·潮阳期末）一个n边形的各内角都等于，则边数n是 ．
13．（2023八上·福州开学考）已知二元一次方程，用含有的代数式表示，得 ．
14．（2023八上·柳州开学考）若点在轴上，则 ．
15．（2023八上·福州开学考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是 ．
16．（2021八上·天桥期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八上·福州开学考）计算与求值：
（1）计算：；
（2）求的值：．
18．（2023八上·福州开学考）如图：已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
19．（2023八上·福州开学考）已知关于，的二元一次方程组．
（1）当时，解这个方程组；
（2）若，设，求的取值范围．
20．（2023八上·福州开学考）如图；小刚站在河边的点处，在河的对面小刚的正北方向的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后他左转向正南方向直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他从到走了步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与处电线塔的距离，并说明理由．
21．（2023八上·福州开学考）教育部印发的义务教育课程方案和课程标准年版将劳动从原来的综合活动课中独立出来某中学为了解学生做家务的情况，随机抽取了若干学生进行了问卷调查，并将数据整理后，绘制成如下不完整的统计图：
调查问卷
在下列家务劳动中整理房间，打扫卫生；吃过饭后收拾餐桌，洗刷餐具；清洗自己的衣服，整理衣柜；给家里的花草浇水施肥或给小动物喂食洗澡，你每周能主动参与做____件事情． A.零一二三四
根据图中信息，请完成下列问题：
（1）本次抽样调查的总人数有 人；
（2）选择选项的人数有 ▲ 人，并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，若选项D所对应的圆心角为，则 ；
（4）若规定“每周能主动做三件家务劳动及以上者”为“优秀家务小能手”，已知该校共有学生人，请你估计该校能评为“优秀家务小能手”的学生有多少人？
22．（2023八上·福州开学考）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进部甲型号手机和部乙型号手机，共需要资金元；若购进部甲型号手机和部乙型号手机，共需要资金元．
（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的手机共台，请问有几种进货方案？
（3）售出一部甲种型号手机，利润率为，乙型号手机的售价为元为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使(2)中所有方案获利相同，求的值．
23．（2023八上·福州开学考）在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为．
（1）将线段平移得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为．
①描述点平移到点的过程．
②点的坐标为 ▲ ．
（2）在(1)的条件下，若点的坐标为，连接，，求的面积．
（3）若点在线段上，在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为面积的，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023八上·福州开学考）深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，
试解决下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ 为圆周率， ▲ ；
如果，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围；
（3）求满足的所有非负实数的值．
25．（2023八上·福州开学考）情境学习：
（1）小明在预习第十三章，涉及到一个知识点：“两个角相等的三角形是等腰三角形”，下面是两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，在中，求证：．
方法一证明：如图，作的高线． 方法二证明：如图，作的角平分线．
（2）应用：
如图，在中，，，是边上的高，点是边上的一动点不与点，重合，连接交于点作且，连接．
如图，当是的角平分线时，求证：．
依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是.
故答案为：A.
【分析】利用实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此可得答案.
2．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、 了解全国中学生视力和用眼卫生情况适宜采用抽样调查，故A不符合题意；
B、调查某河流的水质情况，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；
C、 了解某电视台年春节联欢晚会的收视率，适宜采用抽样调查，故C不符合题意；
D、为保证“神舟十六号”载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，采用普查，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】全面调查它是为了搜集比较全面的 精确的调查资料，对调查对象（总体）的全部样本进行一个一个的无遗漏的专门调查，再对各选项逐一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：这一滴墨水在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负数，故A符合题意，B、C、D不符合题意.
故答案为：.A
【分析】利用第一象限的符号为（+，+），第二象限的符号（-，+），第三象限的符号（-，-），第四象限的符号（+，-），据此可得答案.
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴可知，x＞0，x＞，
∴此不等式组的解集为x＞.
故答案为：D.
【分析】利用大大取大，可得到此不等式组的解集.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠ABF=∠ABC-∠1=60°-20°=40°，
∵DE∥BF，
∴∠2=∠ABF=40°.
故答案为：C.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，根据∠ABF=∠ABC-∠1，代入计算求出∠ABF的度数；然后利用平行线的性质可求出∠2的度数.
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：△ABC的边AC上的高为线段BD.
故答案为：C.
【分析】利用三角形的高的定义，可作出判断.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：∵人坐一辆车，则人需要步行， 设有辆车，人数为，
∴2x+9=y，
∵另一个方程为y=3（x-2），
∴ 三人坐一辆车，则有两辆空车 .
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可知第一个方程为2x+9=y，由第二个方程，可知空出两辆车，三人坐一辆车，据此可求解.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，由作图可知
在 与 中
（SSS）
故答案为：D.
【分析】根据作图过程可知：OA=OB=CE=EF，BA=CF，进而可得判定图中两三角形全等的条件。
9．【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长直线a，b交于点A，
∵a⊥b，
∴∠A=90°，
∴此正多边形的一个外角为45°，
∴n=360°÷45°=8.
故答案为：8.
【分析】利用垂直的定义可知∠A=90°，利用正多边形的性质可知此正多边形的一个外角为45°，及可求出n的值.
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵ 方程组的解是 ，
∴
解之： .
故答案为：B.
【分析】将方程组转化为，再根据已知方程组的解，可得到再解方程组，即可求解.
11．【答案】12
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵ 某样本容量是，分组后第组的频率是，
∴第二组的频数为80×0.15=12.
故答案为：12.
【分析】利用频数=频率×样本容量，列式计算.
12．【答案】6
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵n边形的各内角都等于120°，
∴每一个外角都等于180°-120°=60°，
∴边数n=360°÷60°=6．
故答案为：6．
【分析】先求出外角的度数，再用360°除以外角度数可得边数n。
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：2x+y=5，
y=-2x+5.
故答案为：-2x+5.
【分析】将含x的项移到方程右边即可.
14．【答案】-3
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点在轴上，
∴2a+6=0，
∴a=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据点的坐标的特性可判断2a+6=0，按照一元一次方程的解法求出a即可.
15．【答案】
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵ 点，，， ，
它们的横坐标依次为1，2，3，4，纵坐标依次为2，0，-2，0，2，0，-2，0…
∴2023÷4=505…3，
∴点A2023（2023，-2）
故答案为：（2023，-2）.
【分析】 观察图形，利用已知点的坐标可知它们的横坐标依次为1，2，3，4…（序号），纵坐标依次为2，0，-2，0，2，0，-2，0…再用2023÷4，根据其余数可得到点点A2023的坐标.
16．【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【解答】解：在中，，
，
分别是的角平分线，
，
，
，结论①符合题意；
如图，在上取一点，使得，连接，
在和中，，
，
，
，
由对顶角相等得：，
，
在和中，，
，
，
，结论②不符合题意；
如图，过点O作于点N，连接，
由上已证：，
，
，
，
在和中，，
，
，
在和中，，
，
，
，结论③符合题意；
由上已证：，
，
，
，
，
，
即，结论④符合题意；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】由在中，，由分别是的角平分线，则，结论①符合题意；在上取一点，使得，连接OM，证明，，则，结论②不符合题意；证出，得出，在证出，
得出，结论③符合题意；由上已证：，证出，再证出，即，结论④符合题意；即可得解。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：移项得，
，
系数化为得，
，
两边开平方得，
，
，．
【知识点】平方根；实数的运算
【解析】【分析】（1）先算开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
（2）将（x+1）看着整体，先移项，再将（x+1）2的系数化为1，利用直接开平方法求出方程的解.
18．【答案】（1）证明：，，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义求出∠AFB、∠FDE的度数，可证得∠AFB=∠FDE，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再利用平行线的性质可求出∠C的度数.
19．【答案】（1）解：时，方程组为，
得，，解得：，
将代入得，，
解得，
即方程组的解是；
（2）解：，
得，，即
，
，
，则，
，
的取值范围是：．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将k=3代入方程组，观察同一个未知数的系数特点：x的系数相等，因此由②-①，消去x，可求出y的值，然后求出x的值，可得到方程组的解.
（2）由（①+②）÷2，可表示出x-y的值，从而可得到S与k的关系式，再利用k的取值范围，可得到S的取值范围.
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：由题意得，步，
在和中，
，
≌，
，
小刚走完走了步，一步大约米，
米，
米．
答：小刚在点处时他与处电线塔的距离为米．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用数学情景，画出图形.
（2）利用ASA可证得△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可证得AB=DE，利用已知可求出DE的长，即可得到AB的长.
21．【答案】（1）60
（2）解：15；
补全图形如下：
（3）72
（4）解：人，
答：估计该校能评为“优秀家务小能手”的学生有人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数为：24÷40％=60人.
故答案为：60.
（2）B组的人数为：60×25％=15人.
故答案为：15.
【分析】（1）本次抽样调查的总人数=C组的人数÷C组的人数所占的百分比，列式计算.
（2）利用抽取的人数×B组的人数所占的百分比，列式计算；然后补全条形统计图.
（3）用该校的总人数ד优秀家务小能手”所占的百分比，列式计算.
22．【答案】（1）解：设甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元；
（2）解：设购进甲型号手机部，则购进乙型号手机部，
根据题意，得：，
解得：，
为整数，
取或或或，
则进货方案有如下四种：
方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部．
（3）解：设总获利元，购进甲型号手机台，则：
；
当时，的值与的取值无关，故中的所有方案获利相同．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：2×每一部甲型号手机的进价+1×每一部乙型号手机的进价=2800；3×每一部甲型号手机的进价+2×每一部乙型号手机的进价=4600；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2）设购进甲型号手机a部，根据题意可得到关于a的不等式组，再求出不等式组的解集，确定出整数a的值，可得到具体的进货方案.
（3）设总获利w元，购进甲型号手机a台，根据题意可得到w关于a的函数解析式，再根据甲型号手机售价不变，要使(2)中所有方案获利相同，可确定出m的值.
23．【答案】（1）解：点的坐标为，点的坐标为，
点到点的移动过程可以是：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度；
②
（2）解：如图：；
（3）解：存在，理由如下：
如图，由平移的性质，，根据平行线间的距离处处相等，
面积面积，
三角形的面积为面积的，
三角形的面积为，
设，根据题意得到，
，
或，
或，
点的坐标为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵线段MN平移得到线段AB，点N的坐标为（3，-2），将点N向右平移3个单位，再向上平移5个单位，
∴点B（6，3）.
故答案为：6，3）.
【分析】（1）①利用已知条件及点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，由点M、A的坐标，可得到点M平移到点A的过程；②利用点的坐标平移规律及方法，可得到点B的坐标.
（2）先画出△ABC，利用△ABC的面积等于长方形的面积减去三个直角三角形的面积，列式计算.
（3）利用平行线间的距离处处相等，可知△ABD和△ABN的高相等，可得到△ABD的面积，再根据三角形的面积为面积的，可求出△ABP的面积；设点P（0，m）可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标.
24．【答案】（1）解：①7；3；4；
②，
，
；
故答案为：；
（2）解：解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有个得，，
故；
（3）解：，为整数，
设，为整数，则，
，
，，
，
，，，
则，，．
【知识点】无理数的估值；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①Z（7，2）=7， Z（π）=3，
∵的整数部分为4，
∴，
故答案为：7，3，4.
【分析】（1）利用定义新运算，分别求值即可；②利用定义新运算，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解，可得到a的取值范围.
（3）设设，为整数，可表示出x，再根据已知条件，可得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集，可得到k的取值范围，可知k的值为0或1或2，然后求出对应的x的值.
25．【答案】（1）证明：的高线，
，
在与中，
，
≌，
；
的角平分线，
，
在与中，
，
≌，
；
（2）解：是的角平分线，
，
，，
，
，
，
；
依题意补全图形如图所示，
，理由如下，
证明：过点作交延长线于一点，
，，是边上的高，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用三角形的高的定义，可证得∠ADB=∠ADC=90°，利用AAS证明△BAD≌△CAD，利用全等三角形的性质可证得AB=AC；利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠CAD，利用ASA证明△BAD≌△CAD，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）①利用角平分线的定义可证得∠DCF=∠ACF，利用垂直的定义和余角的性质可证∠AEC=∠DFC，由此可推出∠AEC=∠AEF，利用等角对等边可证得结论；②根据题意画出图形，过点C作CM⊥AC交AD的延长线于点M，易证△ABC，△ABD是等腰直角三角形，可推出AM=BC；再利用SAS证明△MCF≌△ACG，利用全等三角形的性质可证得MF=AG；然后根据AM=AF+FM，代入可证得结论.
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