无为襄安高级中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设，，，且∥，则（ ）
A． B． C．3 D．4
3．如图，在平行六面体中，，，．点在上，且，则
B．
C． D．
4．已知直线与互相垂直，则实数=（ ）
A．1 B．3 C．1或-3 D．-1或3
5．已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知在平行六面体中，，且，
则（ ）
A． B． C． D．
7．已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．圆和圆的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线的方程为
C．公共弦的长为 D．两圆圆心距
10．已知空间四点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．点到直线的距离为 D．四点共面
11．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
直线与直线所成的角为
直线与平面所成角的余弦值为
平面
点到平面的距离为
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为
C．在上存在点，使得
D．上的点到直线的最小距离为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．求过点且与圆相切的直线方程为 .
14.已知向量，，则在上的投影向量为 .
15.已知、满足，则的最大值为 .
16．如图，在长方体中，，.，M，N分别是棱，，的中点.若点P是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知直线：.
(1)若直线与直线：平行，求的值；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
（12分）
已知线段的端点的坐标是，端点在圆：上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线交于 两点，求线段的长.
（12分）
已知圆C过点，，，点A在直线上.
（1）圆C的方程.
（2）过点A作直线l1，l2与圆C相切，切点分别为M，N，若，求点A的坐标.
（12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（12分）
在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．
(1)求证：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．
22．（12分）
已知四棱锥中，底面是矩形，，，是的中点．
(1)证明：；
(2)若，，点是上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求．高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
选项 C C B C C A
题号 7 8 9 10 11 12
选项 D A ABD BD ABC ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
14..
15. .
16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
【解析】（1）因为，所以，解得.
（2）令，得，即直线在轴上的截距为.
令，得，即直线在x轴上的截距为.
因为直线在两坐标轴上的截距相等，
所以，解得或.
则直线的方程是或.
（12分）
【解析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，
由于点的坐标为，且点是线段的中点，
所以，，
于是有，.①
因为点在圆：上运动，
所以点的坐标满足方程，
即.②
把①代入②，得，
整理，得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）圆：与圆：的方程相减，
得.
由圆：的圆心为，半径，
且到直线的距离，
则公共弦长.
（12分）
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）设圆C的方程为，
则，解得，
故圆C的方程.
（2）依题意，四边形MANC为正方形，正方形的边长为半径，所以，
而圆心到直线的距离，所以点.
（12分）
（）∵是矩形，∴，
又∵平面，
∴，，即，，两两垂直，
∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，∴，
故与平面所成角的正弦值为．
（）由（）可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故二面角的余弦值为．
（12分）
在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．
(1)求证：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．
【解析】(1)设PB的中点为G点，连接GF和GE，
因为点G、点F分别为PB和PC的中点，
所以且，又且，
所以且，所以四边形GFDE为平行四边形，
所以，又GE平面PBE，DF平面PBE，
所以DF∥平面PBE；
(2)由二面角的大小为可知，平面平面，
取BE得中点O，连接，则，平面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，
所以，设平面PCD的法向量为，
则，令则，又，
所以点A到平面PCD的距离为
22．（12分）
已知四棱锥中，底面是矩形，，，是的中点．
(1)证明：；
(2)若，，点是上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求．
【解析】（1）取的中点，连接、，因为、分别为、的中点，则，
因为，所以，，
设直线与直线交于点，
因为，则，，所以，，
所以，，故，
设，则，，
所以，，
且，，
所以，，所以，，
又因为，、平面，则平面，
因为平面，故.
（2）因为，，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，则、、、、，
设平面的法向量为，则，，
则，取，则，
设，其中，
，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
则，解得，即.
