福建省福州市部分中学2023-2024学年高二上学期期中模块考试数学试卷（含解析）

福州市部分中学2023-2024学年高二上学期期中模块考试
数学
选择性必修一
一.单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3.若直线与直线互相垂直.则的值为（ ）
A.1 B.-1 C.±1 D.
4.直线与轴，轴分别交于点，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.方程，化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，若可用表示为（ ）
A. B.
C. D.
7.若椭圆与双曲线有相同的焦点是两曲线的一个交点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左 右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，点为椭圆上一点，且.若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9.下列说法正确的是（ ）
A.设是两个空间向量，则一定共面
B.设是三个空间向量，则一定不共面
C.设是两个空间向量，则
D.设是三个空间向量，则
10.已知直线，圆，下列说法正确的是（ ）
A.圆的圆心为，半径
B.直线与圆相交且平分圆的面积与周长
C.若直线在两坐标轴上的截距相等，则
D.若直线的倾斜角为，则
11.如图所示，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A.当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B.存在这样的点，使得
C.当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D.当时，点的轨迹长度为
12.如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，为的中点，则下述选项正确的是（ ）
A.平面平面
B.三棱锥的体积为
C.平面与平面夹角的正弦值为
D.若为空间一动点，且，则点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知平面上三点，则在上的投影向量的坐标为__________.
14.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围__________.
15.若直线与连接的线段总有公共点，则的取值范围是__________.
16.如图，双曲线的左，右焦点分别为，过作直线与交于点，且，若等腰三角形的底边的长等于的半焦距，则的离心率为__________
.
四 解答题（共6小题）
17.（10分）已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为.
（1）求中过边上中点的直线方程：
（2）求的面积.
18.（12分）已知椭圆的短轴长等于，右焦点距最远处的距离为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过的直线与椭圆交于两点，若直线倾斜角为，求线段长度.
19.（12分）已知圆，直线，直线与圆相交于两点.
（1）求的最小值；
（2）当的面积最大时，求直线的方程.
20.（12分）如图，直三棱柱的体积为的面积为.
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.
21.（12分）已知是椭圆的左焦点，上顶点的坐标是，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，直线过点且与椭圆相交于两点，过点作，与直线相交于点，连接，与线段相交于点，求证：点为线段的中点.
22.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围.
福州市部分中学2023-2024学年高二上学期期中模块考试
数学选择性必修一
参考答案与试题解析
一 单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.
【解答】解：依题意，为直线的一个法向量，
则直线的一个方向向量为，
故选：.
【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题.
2.【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.
【解答】解：双曲线的渐近线方程是：.故选：.
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题.
3.【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得：，从而可求的值
【解答】解：由题意，直线与互相垂直
，或
故选：.
【点评】本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件.
4.【分析】直接利用中点坐标公式和两点间的距离公式求出圆的半径，进一步确定圆的方程.
【解答】解：直线与轴，轴分别交于点，
所以：
故圆心坐标为，圆的半径满足，解得，
所以圆的方程为，
整理得：.
故选：.
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，中点坐标公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.
5.【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程.
【解答】解：方程，
表示平面内到定点的距离的和是常数的点的轨迹，
它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆，
；
椭圆的方程是.
故选：.
【点评】本题考查了椭圆的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题.
6.【分析】直接利用向量的线性运算求出结果.
【解答】解：四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，所以.故选：.
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.
7.【分析】根据椭圆，双曲线定义，列出两个关系式即可得.
【解答】解：设，根据椭圆的定义有：，①
根据双曲线的定义有：，②，
可得是直角三角形，
.
故选：.
【点评】本题考查椭圆，双曲线定义，属于基础题.
8.【分析】利用已知条件，通过直线与直线的平行，得到关系式，然后求解离心率即可.
【解答】解： 圆的左 右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，点为椭圆上一点，且.
，可得，
即，
，可得，解得，
故选：.
【点评】本题考查制圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题.
二 多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9.【分析】由空间向量的相关知识逐一判断各选项即可.
【解答】解：对于，因为空间向量可以平移，所以任意两个空间向量都是共面的，故正确；对于，因为空间向量可以平移，所以空间中三个向量可能共面，故错误；
对于，设的夹角为，则，故错误；
对于，因为向量的数量积满足分配律，所以，故正确.
故选：AD.
【点评】本题考查空间向量的概念及数量积，属于基础题.
10.【分析】根据圆的标准方程，结合直线所过的定点逐一判断即可.
【解答】解：
，直线过定点.
：由可知，圆的圆心为，半径为，故不正确；
：因为直线过定点恰好是圆的圆心，
所以直线与圆相交且平分圆的面积与周长，故正确；
：当时，直线的方程为，所以，
直线在两坐标轴上的截距都是零，显然相等，故不正确；
：因为直线的倾斜角为，
所以，故正确.
故选：.
【点评】本题考查直线恒过定点的求法，直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题.
11.【分析】根据四棱锥的体积公式，向量的线性运算，线面角的概念，弧长公式，即可分别求解.
【解答】解：对选项，由点到侧面的距离相等，
故四棱锥的体积为定值，故选项正确；
对选项，因为，
所以这样的点是正方形与中心连线段的中点，不在正方体的表面上，故选项错误；对选项，由题意易知当在平面和平面上时，
与即为直线与平面所成角的平面角，
当直线与两平面的对角线重合时，线面角为，此时点的轨迹长度为，
当点在平面上时，点在以为半径，以为圆心在平面上画弧，
所得即为线面角为的点的轨迹，轨迹长为，则总长为，故选项对，
对选项，当时，
点的轨迹为在平面 平面 平面上以为半径的圆弧，
又，则圆弧圆心角为，
在平面 平面 平面上以为半径的圆弧，
又，则圆弧圆心角为
则轨迹总长为，故选项对.
故选：.
【点评】本题考查四棱锥的体积问题，向量的线性运算，线面角的概念，弧长的求解，属中档题.
12.【分析】对于，由面面垂直的判定定理判断，对于，根据题意由求解，对于，如图建立空间直角坐标系求解，对于，如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆.
【解答】解：对于选项，连接平面平面，
，又，
，又平面，
平面，故正确；
对于选项，由等体积法可得，，故错误；
对于选项，以为原点，以分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面与平面夹角为，由图可知为锐角，
，
，
平面与平面夹角的正弦值为，故错误；
对于选项，如图可知点轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆，
轨迹的长度为，故正确.
故选：.
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥的体积公式，以及利用空间向量求两平面夹角的正弦值，属于中档题.
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【解答】解：因为，
所以，
所以在上的投影向量的坐标为：.
故答案为：.
【点评】本题考查平面向量的坐标运算和投影向量，属于基础题.
14.【分析】利用椭圆的简单性质求解.
【解答】解：方程表示椭圆，
，解，且，
实数的取值范围是.
故答案为：.
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的简单性质的应用.
15.【分析】直线过定点，斜率为，求出，从而或，由此能求出的取值范围.
【解答】解：直线过定点，斜率为，
直线与连接的线段总有公共点，如图
，
或，解得或，
的取值范围是.
故答案为：.
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
16.【分析】根据双曲线的定义和等腰三角形的性质，即可得到，，化简整理可得.
【解答】解：连结，由条件知，且.
由双曲线定义知，
在Rt中，，
即，
即
解得的离心率，
故答案为：.
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题.
四 解答题（共6小题）
17.【分析】（1）先求出点的对称点的坐标，再用两点式求出直线的方程.
（2）先判断求出和的值，判断，从而求出的面积.
【解答】解（1）点关于轴的对称点为，
又点关于原点的对称点为，
的中点坐标是的中点坐标是.
过的直线方程是，
整理得
（2）由题意知，
的面积.
【点评】本题主要考查一个点对于直线 点的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于中档题.
18.【分析】（1）根据已知条件，求得方程，则椭圆方程可解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式即可求得结果.
【解答】解：（1）由已知得，
故可得，
又，
故可得，
所求椭圆的方程为；
（2）过的直线与交于两点，
设方程为，
联立椭圆方程，消去可得，
设两点坐标分别为，
故可得，
故.
【点评】本题考查椭圆方程的求解，以及弦长公式的利用，属中档题.
19.【分析】（1）分类讨论，利用到的距离，即可求直线的方程；
（2）表示出面积，利用基本不等式，即可得出结论.
【解答】解：（1）由直线，得，
由，
直线过定点，
，
点在圆内部，直线与圆相交，
当时，最小，又.
（2），
当时，的面积最大，
此时为等腰三角形，故圆心到直线的距离为，
，解得，
此时的方程为：或.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，求直线方程，属中档题.
20.【分析】（1）利用等体积法可求点到平面的距离；
（2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的正弦值.
【解答】解：（1）由直三棱柱的体积为4，可得，
设到平面的距离为，由，
，解得.
（2）连接交于点四边形为正方形，
，又平面平面，平面平面，
平面，
由直三棱柱知平面，又，
平面，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，又，解得，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，令，则，
平面的一个法向量为，
，
二面角的正弦值为.
【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题.
21.【分析】（1）由已知可得：，联立解得：，即可得出椭圆的标准方程.
（2）设，线段的中点坐标，直线的斜率为0时，直线与轴重合，与直线平行，不符合题意，舍去.设直线的方程为，与椭圆方程联立化为，利用根与系数的关系 中点坐标公式可得线段的中点坐标.分别得出直线的方程与直线的方程，可得其交点坐标，只要证明与重合即可得出结论.
【解答】解：（1）由已知可得：，
联立解得：，
椭圆的标准方程为.
（2）证明：设，线段的中点坐标，
直线的斜率为0时，直线与轴重合，与直线平行，不符合题意，舍去.
设直线的方程为，
联立，化为，
，
，
，
线段的中点坐标.
直线的方程为.
直线的方程为：，即，
联立，解得，
与重合，
因此点为线段的中点.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质 直线与椭圆相交问题 一元二次方程的根与系数的关系 中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
22.【分析】（1）设，则圆为：，从而得到，由此能求出圆的标准方程.
（2）由题意得，设，则圆心到直线的距离：，由此能求出直线的方程.
（3）任意，欲使，此时，，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数的取值范围.
【解答】解：（1）在直线上，设，
圆与轴相切，圆为：，
又圆与圆外切，圆，即圆，
，解得
圆的标准方程为.
（2）由题意得，设，
则圆心到直线的距离：，
则，即，
解得或，
直线的方程为：或.
（3），即，
又，即，解得，
对于任意，欲使，
此时，，
只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，
必然与圆交于两点，此时，即，
因此实数的取值范围为.
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用.