(共27张PPT)
1.集合、常用逻辑用语、不等式
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1.(2023北京,1)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0},则M∩N=( )
A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2
C.{x|x≥-2} D.{x|x<1}
A
解析 由题意得,M={x|x+2≥0}={x|x≥-2},N={x|x-1<0}={x|x<1},
则M∩N={x|-2≤x<1}.
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2.(2023贵州贵阳模拟)已知命题p: n∈N,2n-2不是素数,则 p为( )
A. n N,2n-2是素数 B. n∈N,2n-2是素数
C. n N,2n-2是素数 D. n∈N,2n-2是素数
D
解析 命题p为全称量词命题,该命题的否定为 p: n∈N,2n-2是素数.
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3.(2023新高考Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=( )
A.2 B.1 C. D.-1
B
解析 ∵A B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},
显然A B;若2a-2=0,则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A B成立.故选B.
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4.(2023全国甲,理7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B
解析 若甲成立,即sin2α+sin2β=1,则sin2α=cos2β,
可得sin α-cos β=0,或sin α+cos β=0,故乙不一定成立.
若乙成立,sin α+cos β=0,则sin α=-cos β,可得sin2α=cos2β,
可得sin2α+sin2β=1,故甲成立.
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
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5.(2023广东广州模拟)已知集合A={(x,y)|x-y+1=0},B={(x,y)|x2+y2=1},则集合A∩B的子集个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
A
解析 集合B中圆的半径为1,圆心(0,0)到集合A中直线的距离 ,所以直线与圆相交,有两个交点,即集合A∩B中有两个元素,其子集个数为4.
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6.(2023全国甲,理1)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z}, N={x|x=3k+2,k∈Z},则 U(M∪N)=( )
A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.
A
解析 由题意知集合M表示除以3余1的整数构成的集合,集合N表示除以3余2的整数构成的集合,因为U为整数集,所以 U(M∪N)表示能被3整除的整数构成的集合,即 U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.故选A.
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7.(2023新高考Ⅰ,7)设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:
为等差数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
C
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8.(2023山东潍坊二模)已知集合M={x|x+1≥0},N={x|2x<1},则下列Venn图中阴影部分可以表示集合{x|-1≤x<0}的是( )
A
解析 ∵M={x|x+1≥0}={x|x≥-1},N={x|2x<1}={x|x<0},
∴M∩N={x|-1≤x<0}.由Venn图知,选项A符合要求.
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9.(2023辽宁朝阳模拟)命题“ x∈R,2kx2+kx-1<0”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A.(-8,0) B.(-8,0]
C.[-8,0] D.(-3,0)
C
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解析 因为 x∈R,2kx2+kx-1<0为真命题,
对于A,(-8,0) (-8,0],(-8,0)是命题“ x∈R,2kx2+kx-1<0”为真命题的充分不必要条件,故A错误;
对于B,(-8,0]是命题“ x∈R,2kx2+kx-1<0”为真命题的充要条件,故B错误;
对于C,(-8,0] [-8,0],[-8,0]是命题“ x∈R,2kx2+kx-1<0”为真命题的必要不充分条件,故C正确;
对于D,(-3,0) (-8,0],(-3,0)是命题“ x∈R,2kx2+kx-1<0”为真命题的充分不必要条件,故D错误.
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10.(2023山西阳泉二模)已知mA.m2C.2m<2n D.lg mC
解析 根据题意可知,不妨取m=-1,n=1,
则m2=1,n2=1,此时不满足m2对于D,lg m无意义,故D错误,
由指数函数单调性可得,当m1
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A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
B
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12.(2023湖南长沙模拟)某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道,则种植花卉区域的面积的最大值是( )
A.1 208平方米 B.1 448平方米
C.1 568平方米 D.1 698平方米
C
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则S≤-240+1 808=1 568,即当AB=60米,BC=30米时,种植花卉区域的面积取得最大值,最大值是1 568平方米.
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13.(多选题)(2023广东深圳外国语学校模拟)已知p: x∈R,x2-ax+1>0恒成立; q: x>0,x+ >2恒成立.则( )
A.“a<2”是p的充分不必要条件
B.“a<2”是p的必要不充分条件
C.“a>2”是q的充分不必要条件
D.“a>2”是q的必要不充分条件
BC
解析 已知p: x∈R,x2-ax+1>0恒成立,则方程x2-ax+1=0无实根,所以Δ=a2-4<0恒成立,即-2q: x>0,x+ >2恒成立,所以a>-x2+2x在x>0时恒成立,又函数y=-x2+2x=-(x-1)2+1的最大值为y=1,所以a>1,故“a>2”是q的充分不必要条件,故C正确,D错误.故选BC.
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17.(2023山东济南三模)已知正数x,y满足4x+2y=xy,则x+2y的最小值为
_______________.
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18.(2023山东潍坊二模)若“x=α”是“sin x+cos x>1”的一个充分条件,则α的一个可能值是__________.
答案不 唯一
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20.已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,则9a-c的取值范围是__________.
[-1,20](共30张PPT)
2.复数、平面向量
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1.(2023全国乙,文1)|2+i2+2i3|=( )
A.1 B.2 C. D.5
C
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2.(2023广东广州二模)若a为实数,且 ,则a=( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
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A.-i B.i C.0 D.1
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4.(2023广东佛山二模)已知 ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为( )
A.(1,4) B.(1,5) C.(2,4) D.(2,5)
B
解析 因为A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),所以由平行四边形可得
设D(x,y),则(5-x,6-y)=(4,1),即5-x=4,6-y=1,所以x=1,y=5,
即D的坐标为(1,5).
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A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
B
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6.(2022全国乙,理3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|= ,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
C
解析 由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.
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7.(2023湖南郴州三模)若 (其中i为虚数单位),则在复平面上所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
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8.(2023新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
D
解析 (方法一)由题意,得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).
∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.
(方法二)由题意,得a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.
∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.
解得λμ=-1.故选D.
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9.(2023河北邯郸一模)已知复数z是方程x2+4x+5=0的一个根,且复数z在复平面内对应的点位于第三象限,则 =( )
A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i
D
解析 由题可得,复数范围内方程x2+4x+5=0的根为x=-2±i.因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限,
所以z=-2-i,则 =-2+i.
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AD
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11.(多选题)(2023山东潍坊二模)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2,其中x1=1+i,则( )
BD
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12.(2023广东一模)在复平面内,已知复数z满足|z-1|=|z+i|(i为虚数单位),记z0=2+i对应的点为点Z0,z对应的点为点Z,则点Z0与点Z之间距离的最小值为( )
C
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解析 由题可得,z0=2+i对应的点为Z0(2,1).
设z=x+yi(x,y∈R),代入到|z-1|=|z+i|,
得|(x-1)+yi|=|x+(y+1)i|,
整理得y=-x,即点Z在直线y=-x上,所以点Z0(2,1)与点Z(x,y)之间的距离的最小值即Z0(2,1)到直线x+y=0的距离d,由点到直线的距离公式可得
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图1
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16.(多选题)(2023广东实验中学模拟)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,点P是圆O内的定点,且 ,弦AC,BD均过点P,则下列说法正确的是( )
ACD
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17.(2023新高考Ⅱ,13)已知向量a,b满足|a-b|= ,|a+b|=|2a-b|,则|b|=__________.
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因为z为纯虚数,所以2-2m=0,且4+m≠0,解得m=1,
则z=i,所以虚部为1.
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(-1,-2)
(答案不唯一)
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20(共24张PPT)
3.排列、组合与二项式定理
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1.(2023北京,5) 的展开式中x的系数为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
D
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2.(2023新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有
( )
D
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3.(多选题)(2023江苏南京二模)在 的展开式中( )
A.常数项为160 B.含x2项的系数为60
C.第4项的二项式系数为15 D.所有项的系数和为1
BD
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4.(2023全国甲,理9)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A.120种 B.60种 C.30种 D.20种
B
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解析 方法一:先在5名志愿者中安排1名在这两天都参加公益活动,有5种安排方法.再在星期六、星期日,每天从剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者参加公益活动,有4×3=12种安排方法.由乘法原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有5×12=60种.
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5.(2022北京,8)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )
A.40 B.41 C.-40 D.-41
B
解析 令x=1,可得1=a4+a3+a2+a1+a0;
令x=-1,可得(-3)4=a4-a3+a2-a1+a0,
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6.(2023福建厦门模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛,决出第1名到第5名的名次,甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你没有得到冠军”,对乙说:“你不是最后一名”,从这两个回答分析,5人名次的不同排列情况共有( )
A.72种 B.78种 C.96种 D.102种
B
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7.(2023广东茂名二模)(x+a)(x-1)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64,则含x4项的系数为( )
A.-28 B.28 C.-35 D.35
C
解析 设(x+a)(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
则令x=1,可得a0+a1+…+a7=(a+1)×0=0,①
令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a7=(a-1)×26=64(a-1),②
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A
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9.(2023江苏海安高级中学模拟)若(2x+1)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,则2(a1+a3+…+a99)-3被8除的余数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
B
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10.(2023河北邯郸三模)如图,在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则此数列的前30项的和为
( )
A.680 B.679 C.816 D.815
D
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11.(2023广东广州模拟)任何一个大于1的自然数N(N不为素数)能唯一地写成N= (其中pi是素数,ai是正整数,1≤i≤k,p1A.6 B.13 C.19 D.60
C
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解析 根据N的标准分解式可得360=23×32×5,
故从2,2,2,3,3,5这6个素数中任取3个组成三位数,情况如下:
①选取3个2,可以组成1个三位数;
所以从360的标准分解式中任取3个素数,一共可以组成1+6+3+6+3=19个不同的三位数.
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14.(2023新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有__________种.(用数字作答)
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解析 a,b,c为取自0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的不同的三个数字,最小的数字放置在中间,余下两个数字可排百位或个位,故共有“凹数”的个数为
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17.(2023湖南长郡中学一模)已知a>0,若(x+a)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+… +a9(x+1)9,且a5=126,则a=__________.
2
解析 因为(x+a)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,
所以令(x+a)9=[(x+1)+a-1]9,则展开式通项为Tr+1=(x+1)9-r(a-1)r,a5是展开式第5项的系数,则r=4,故a5=(a-1)4=126,解得a=0或a=2.
又a>0,故实数a的值为2.
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19.(2023陕西宝鸡模拟)某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晩会,原定的5个学生节目已排成节目单,开演前又临时增加了两个教师节目,如果将这两个教师节目插入到原节目单中,那么不同的插法的种数为__________.
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28(共14张PPT)
能力一 数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.
在高考数学试卷中数学抽象作为关键能力进行重点考查,考查关键点在于:学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系,积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯,把握事物的本质,以简驭繁;运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.
数学抽象的流程
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的核心素养.数学抽象的主要流程如下:
以2022年数学新高考Ⅰ卷T7为例,阐述如下:
设a=0.1e0.1,b= ,c=-ln0.9,则( )
A.aC.c(3)形成数学方法与思想
函数思想是通过建立函数关系式或构造新函数,把比较大小的问题转化为利用函数的单调性来解决的问题.
(4)认识数学结构与体系
数学抽象与高考
关键能力 2023年 2022年 2021年 新高考 Ⅰ卷 新高考 Ⅱ卷 新高考 Ⅰ卷 新高考 Ⅱ卷 新高考 Ⅰ卷 新高考
Ⅱ卷
数学 抽象 数量与数量关系 的数学抽象 第12题 第19题 第22题 第5题 第7题 第12题 第12题 第14题 第17题 第22题
图形与图形关系 的数学抽象 第6题 第19题 第8题 第3题 第12题
真实情境问题的 数学抽象 第10题 第21题 第3题 第19题 第4题 第20题 第19题 第12题 第16题 第16题
思维进阶训练
1.(数量与数量关系的数学抽象)实数x,y,z分别满足x2022=e,2022y=2023, 2022z=2023,则x,y,z的大小关系为( )
A.x>y>z B.x>z>y
C.z>x>y D.y>x>z
B
2.(图形与图形关系的数学抽象)如图,圆O的半径为1,A,B是圆上的定点, OB⊥OA,P是圆上的动点,点P关于OB的对称点为P',角x的始边为射线OA,终边为射线OP,将 表示为x的函数f(x),则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为( )
A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则P(cos x,sin x),P'(cos(π-x),sin(π-x)),
即P'(-cos x,sin x),
3.(真实情境问题的数学抽象)(2023上海改编,11)公园修建斜坡,假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的夹角为θ,斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米,游客每走一米消耗的体能为(1.025-cosθ),要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少,则cosθ=__________.(共12张PPT)
能力二 直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的核心素养.主要包括:借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.
直观想象的流程
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础,进行直观想象的一般流程如下:
其中所有正确结论的序号是__________.
(3)借助几何直观理解问题
找出复杂的代数式所蕴含的几何直观,将抽象的数量关系转化为对图形的直接感知,以达到对数学问题结构性的理解.先求得函数f(x)的最小正周期为 ,然后在图2中,以点O为坐标原点,OC,OD所在直线为y'轴、z'轴建立如图所示的空间直角坐标系,
在高考中通过直观想象充分发挥直觉思维对抽象思维的支柱作用,有效地实现具体图形与抽象概念之间的转换与联系,将直观的图形与抽象的数学语言结合起来,将形象思维与抽象思维结合,从而使问题得以解决.
直观想象与高考
关键能力 2023年 2022年 2021年 新高考 Ⅰ卷 新高考 Ⅱ卷 新高考 Ⅰ卷 新高考 Ⅱ卷 新高考 Ⅰ卷 新高考
Ⅱ卷
直 观 想 象 空间形式类 直观想象 第12题 第14题 第18题 第9题 第14题 第20题 第8题 第9题 第19题 第7题 第11题 第20题 第3题 第11题 第20题 第10题
第19题
图形分析类 直观想象 第6题 第16题 第5题 第10题 第15题 第14题 第16题 第3题 第16题 第21题 第11题 第19题 第11题
数形结合类 直观想象 第15题 第16题 第6题 第15题 第9题 第10题 第13题 第14题 第7题 第14题 第3题
第16题
思维进阶训练
1.(图形分析类直观想象)(2022北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是( )
A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6]
D
解析 如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).
∵PC=1,∴可设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π],
2.(数形结合类直观想象)(2020北京,6)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是( )
A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
D
解析 因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1,在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图:
由图可知,f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.(共21张PPT)
能力三 数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的核心素养.数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁,是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力.
数学建模过程的构成要素主要包括:在实际情境中,从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.
高考数学试卷中作为关键能力进行重点考查,考查关键点在于:学生能结合题目的情境,提取并整合信息,理顺条件和结论,初步建立数学模型,运用相关数学知识求解模型,更高水平的学生能够基于现实背景验证模型及改进完善模型,提高创新能力.
数学建模的流程
在高考试题中,常用的数学模型有:函数、代数与几何、概率统计等.数学建模通常与设置问题的性质、建模目的等有关,其中思考数学建模问题的基本流程可以概括如下:
(1)问题分析
通过研究试题或者提出的问题的显著特征及其变化,梳理已知条件和条件之间的关系,梳理出要解决问题需要的条件,明确条件和结论的联系.
问题分析是将具体问题抽象为数学模型的桥梁,反映了对问题的认识程度,是解决问题的雏形,起承上启下作用,其目的是找到问题的切入点.其过程需要思考问题的可能解决方案.主要包括:
①确定题目中需要解决的任务目标;
②明确题目中包含(已知)的信息和条件;
③利用信息和条件对题目进行整体分析;
④大致确定用什么方法建立模型.
如:(2021年新高考Ⅰ卷,16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n次,那么 = dm2.
该题是一道典型的数学建模问题,对其进行分析:
①确定题目中需要解决的任务目标;
长方形纸对折4次后,得到不同规格图形的种数以及如果对折n次, 的值.
②明确题目中包含(已知)的信息和条件;
折纸是长方形的,沿着某条对称轴对折,对折1次和2次得到的规格大小和对折图形的种数,对折1次和2次的面积之和与对折次数之间的关系.
③利用信息和条件对题目进行整体分析;
通过合情推理能推理到的问题是对折第3次规格大小和种数是多少 以此类推,对折4次呢 对折n次呢 如何建立对折次数与面积和的函数关系式
④大致确定用什么方法建立模型.通过“ ”猜测用数列知识解决,通过推理对折n次所得到的n+1种规格的图形的面积之和公式特征,能确定用等差数列和等比数列知识方法建立模型.
(2)模型假设
根据问题特征和建模的目的,对问题进行合理的简化与假设,同时,要充分发挥想象力、判断力和创新力,抓住问题的主要矛盾,精选问题中的关键变量,进行“化繁为简”,这是最关键的环节.
提出假设包括:
①选择关键因素,将多个影响因素合并为较少的影响因素;
②选择关键变量,借助图形、数表以及相关已有数学知识建立起条件和结论之间的关系.
(3)模型建立
依据上述假设,建立问题中变量之间的数学关系即数学模型的建立.需要利用问题的内在规律和数学知识,构造出空间的数量关系、数量间的等式关系或其他数学结构,把现实问题转化为数学问题.
上述问题中,需要考虑长方形折纸对折情况,做出假设,构建数列模型,该题建立了两个模型,可以假设对折次数为n,形成的规格种数为m,可以建立函数模型:m=n+1.
第二个模型是对折n次所得到的n+1种规格的图形的面积之和Sn与n的数列模型:
(4)模型求解
针对不同数学模型,采用解方程、几何求解、证明定理、逻辑推理、数学运算等方法,依据相关的约束条件,结合给定的相关数据,进行求解.
在高考备考中,数学建模主要是完成以上四个步骤.从数学实际应用领域来看,由于数学建模是通过对实际问题的抽象、假设、简化、建立能刻画并能解决实际问题的数学关系,除了需要对数学模型进行求解,还需要对求解过程进行解释、分析、验证、修改,最终解决实际问题.
数学建模与高考
关键能力 2023年 2022年 2021年 新高考 Ⅰ卷 新高考 Ⅱ卷 新高考 Ⅰ卷 新高考 Ⅱ卷 新高考 Ⅰ卷 新高考
Ⅱ卷
数 学 建 模 函数模型 第10题 第4题 第16题 第22题
几何与代数模型 第12题 第3题 第4题
概率统计模型 第21题 第12题 第19题 第20题 第19题 第18题 第21题
思维进阶训练
1.(函数模型)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区某疾病累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型: ,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制该疾病,则t*约为(ln19≈3)( )
A.60 B.63
C.66 D.69
C
2.(几何与代数模型)木升在古代多用来盛装粮食作物,是农家必备的用具,如图为一升制木升.某同学制作了一个高为40cm的正四棱台木升模型,已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上,且一个底面的中心与球O的球心重合,则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为( )
A
解析 正四棱台如图,由题意可知,O是底面正方形的中心也是球O的球心,且R=50=|OB|,|OO'|=40,(共16张PPT)
能力四 逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的核心素养.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎.
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.
逻辑推理主要表现为:掌握推理基本形式和规则,发现问题和提出问题,探索和表述论证过程,理解命题体系,有逻辑地表达与交流.
逻辑推理的流程
随着新课程标准的实施,今后的高考命题必将以知识为载体,能力立意、思想方法为灵魂,核心素养为统领,兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性,落实立德树人的根本任务,推动人才培养的改革创新.聚焦核心素养的养成,才能从容应对新高考的变化.
逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.逻辑推理的关键要素是:逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.
具体流程:
(1)掌握推理基本形式和规则——大前提
①奇偶性定义规则
奇偶性 偶函数 奇函数
定义 设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D 且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
②函数对称性规则
对称性 对称轴 对称中心
推论 若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称
代数表象 对任意x都有f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x)或f(a+x)=f(a-x) 对任意x都有f(2b-x)+f(x)=0或f(-x)+f(2b+x)=0或f(b+x)+f(b-x)=0
③函数周期性规则
(4)理解命题体系,有逻辑地表达与交流
由导函数与原函数的关系知函数f(x)的周期也为2,g(x)的图象关于点( ,0)对称,则f(x)的图象关于直线x= 对称,g(x)的图象关于直线x=2对称,则f(x)的图象关于点(2,m)对称,若m=0,则f(0)=f(2)=0,若m≠0,f(0)=f(2)≠0,故A错误.
一般性结论:原函数的图象具有对称中心,其导函数的图象具有对称轴;原函数的图象具有对称轴,其导函数的图象具有对称中心.
通过高中数学课程的学习,同学们掌握逻辑推理的基本形式,学会有逻辑地思考问题;能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联,把握事物发展的脉络;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神,增强交流能力.
逻辑推理与高考
关键能力 2023年 2022年 2021年 新高考 Ⅰ卷 新高考 Ⅱ卷 新高考 Ⅰ卷 新高考 Ⅱ卷 新高考 Ⅰ卷 新高考
Ⅱ卷
逻 辑 推 理 合情推理 第21题 第18题 第19题 第22题 第21题 第8题 第17题 第22题 第16题 第17题 第21题 第12题
第14题
演绎推理 第3题 第4题 第7题 第19题 第21题 第22题 第4题 第6题 第10题 第20题 第10题 第12题 第17题 第20题 第6题 第10题 第11题 第20题 第21题 第6题 第10题 第13题 第19题 第20题 第22题 第8题
第18题
第19题
第21题
第22题
思维进阶训练
1.(合情推理)将正整数对作如下分组,
第1组为{(1,2),(2,1)},
第2组为{(1,3),(3,1)},
第3组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},
第4组为{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},
……
则第30组第16个数对为__________.
(17,15)
解析 由题意可得第一组的各数对和为3,第二组的各数对和为4,第三组的各数对和为5,第四组的各数对和为6,……,第n组的各数对和为n+2,且各个数对无重复数字,可得第30组的各数对和为32,则第30组第16个数对为(17,15).(共22张PPT)
能力五 数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的核心素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求解运算结果等.
数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理,是计算机解决问题的基础.
数学运算主要表现为:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求解运算结果.
通过高中数学课程的学习,学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
在高考数学中对数学运算这一核心素养进行考查,其关键点在于:学生能够根据题目的情境正确理解运算对象,然后运用相关运算法则,探究出该情境下的运算思路,通过正确的运算方法最后求得运算结果.
数学运算的流程
数学运算的流程
(1)理解运算对象
理解运算对象就是要明确地知道对谁进行运算,进行什么运算,运算对象的本质是什么.理解运算对象是正确进行数学运算的前提和根本,只有做到心中有数,才能利用运算对象的概念、性质等选择适当的运算方法进行后续的运算,才能更好地解决数学问题.
本题的运算对象是直线与椭圆,运算对象的性质是直线与椭圆的位置关系.
(2)掌握运算法则
掌握运算法则是正确解决数学运算问题的关键,不同的运算对象有不同的运算法则,只有正确理解了运算对象,熟练灵活地选择相应的运算法则,才能正确解答运算题.数学运算法则的使用不是生搬硬套,而是在熟记和理解的基础上灵活运用,做到正用、逆用、变形用,从而达到综合应用,这样才能提高解题的速度.
如上例中的运算法则是直线方程的设法、点到直线的距离公式、三角形面积公式、根与系数的关系等.
(3)探究运算思路
运算思路是进行数学运算的路线图,具有很强的逻辑性,蕴含着丰富的演绎推理过程.近年来,高考试题更注重数学思维和思想方法的考查,其目的就是为了“反套路”和杜绝“机械刷题”现象,从而提高学生的数学核心素养,而运算思路是体现数学运算素养的精华,是解决数学问题的关键,通过探究运算思路,能够促进数学思维发展.因而,只有实现数学知识与数学思维和思想方法的有机整合,培养学生利用数学思想方法解题的意识和能力,才能优化运算方法和思路,更好地理解数学,体会数学的美.
(4)求得运算结果
求得运算结果需要正确理解运算对象,掌握并灵活运用运算法则和方法,探究合理运算思路.在高中阶段,求得运算结果的能力分为应用运算能力和过程运算能力.应用运算能力主要考查根据已知量算出未知量的运算技能.而高考题重点不在应用运算,而在于过程运算,过程运算能力基于应用运算能力,是理解运算对象、掌握运算方法、探究运算思路、求得运算结果的综合体现.因此,在数学运算的学习与实践中,不但要知道运算是一种重要的工具和方法,更重要的是一种思维模式,即“理性思维”,通过数学运算的训练还有助于提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和批判性能力等.
上例中在学生正确理解运算对象,掌握并灵活运用运算法则和方法,探究合理运算思路的基础上便可成功获得如下正确运算结果.
数学运算与高考
关键能力 2023年 2022年 2021年 新高考 Ⅰ卷 新高考 Ⅱ卷 新高考 Ⅰ卷 新高考 Ⅱ卷 新高考 Ⅰ卷 新高考
Ⅱ卷
数学运算 运算与数据 处理能力 第10题
运算路径选择能力 第21题 第21题
估值与近似计算能力
思维进阶训练
A
2.(运算路径选择能力)(多选题)(2023山东潍坊一模)已知1A.f(x)在R上单调递增
B.若m=2,则f(1)=32
C.若f(2)=6,则f(4)=34
D.m,n均不为e(e为自然对数的底数)
CD
因为函数y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增,所以mn=nm,
所以f(x)=mnx+n-mx=mnx+m-nx.
对于A,令t=mn,t>1,则f(x)=tx+t-x,f'(x)=txln t-t-xln t.
令u(t)=txln t-t-xln t,则u'(t)=tx(ln t)2+t-x(ln t)2>0在R上恒成立,
所以u(t)=txln t-t-xln t在R上单调递增,即f'(x)在R上单调递增.
又f'(0)=ln t-ln t=0,所以当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;
当x<0时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,故A错误.
对于B,设g(x)=2x-x2(x>2),则g'(x)=2xln 2-2x.
令h(x)=2xln 2-2x(x>2),则h'(x)=2x(ln 2)2-2,
显然h'(x)在区间(2,+∞)内单调递增,
且h'(2)=4·(ln 2)2-2<0,h'(3)=8·(ln 2)2-2>0,
根据零点存在定理,可得 x0∈(2,3),有h'(x0)=0,
且当2所以g'(x)在区间(2,x0)内单调递减;
当x>x0时,有h'(x)>0,
即h(x)在区间(x0,+∞)内单调递增,
所以g'(x)在区间(x0,+∞)内单调递增.
因为g'(2)=4ln 2-4<0,g'(3)=8ln 2-6<0,g'(4)=16ln 2-8>0,
所以根据零点存在定理,可得 x1∈(3,4),有g'(x1)=0,
且当2当x>x1时,有g'(x)>0,即g(x)在区间(x1,+∞)内单调递增.
因为g(2)=22-22=0,g(3)=23-32=-1,g(4)=24-42=0,g(5)=25-52=7,所以由g(x)=2x-x2=0,可得x=2或x=4.因为m=2,所以由mn=nm可得,2n=n2,所以n=4或n=2(舍去).所以f(x)=24x+2-4x=16x+16-x,
所以f(1)=16+16-1≠32,故B错误.
对于C,因为f(x)=mnx+m-nx,则由f(2)=6可知,m2n+m-2n=6.
所以(m2n+m-2n)2=m4n+m-4n+2m2n·m-2n=f(4)+2=36,所以f(4)=34,故C正确.
3.(估值与近似计算能力)(2023江苏南通模拟)刘徽编撰的《重差》是中国测量学著作,为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100m,则该球体建筑物的高度约为(cos10°≈0.985)( )
A.49.25m B.50.76m
C.56.74m D.58.60m
B
解析 如图,设该球体建筑物的球心为O,切点分别为D,E,连接OD,OA,OB,OC.(共23张PPT)
第1讲 新高考新题型
《中国高考评价体系》指出:要命制结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题,增强试题的开放性和探究性,引导学生打破常规,进行独立思考和判断,提出解决问题的方案.高考试题逐渐增加基础性、综合性、应用性、探究性和开放性,落实立德树人的根本任务,推动人才培养的改革创新.从近几年高考试题来看,多选题成为新高考必考题型,双空题、开放题、结构不良题等新题型也时常出现.
新题型一 多选题
多选题常常同时对多个知识点进行考查,也可对同一对象从不同角度进行考查,具有一定的综合性.多选题解法多样,可以用直接法、验证法、反例法、排除法、数形结合法等解题,需对每个选项作出正确判断.但如果能排除两个错误选项,则可知剩余两个必然正确.
例1(1)(2023新高考Ⅰ,12)下列物体中,能被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
ABD
解析 对于A选项,正方体内切球直径为1 m,因为1>0.99,故A正确;
对于B选项,如图(1),
对于C选项,如图(2),因为圆柱的底面直径为0.01 m(可忽略不计),故可将高为1.8 m的圆柱看作长为1.8 m的线段,
图(1)
图(2)
①
②
图(3)
AC
新题型二 双空题
双空题一般分为两类:
(1)递进式:两空之间有联系,第一空的结果是第二空的条件,第一空一般比较简单,但它的正确求解是第二空解答的关键.
(2)分列式:两个空的设问相当于一个题目背景下的两道填空题,两问之间没有具体联系,各自成题,是对多个知识点或某知识点的多角度考查.第一空不会,也不影响第二空的解答.
新题型三 开放型填空题
开放型填空题的特点是正确的答案不唯一,一般可分为:
(1)探索型,如条件的探索、结论的探索等;
(2)信息迁移型;
(3)组合型等.
2
2
新题型四 结构不良型解答题
结构不良型解答题多在解三角形、数列、立体几何等部分命制,有时也可能以解析几何为背景.一般有两种类型:一是三选一或二选一作为题目条件进行求解;二是给出的几个选择条件中只能由其中两个推出另一个正确,要求作出判断并证明.
例5(2022北京,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB=BC=2,M,N分别为A1B1,AC的中点.
(1)求证:MN∥平面BCC1B1;
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.
条件①:AB⊥MN;
条件②:BM=MN.
(1)证明 取BC的中点D,连接B1D,DN.在三棱柱ABC-A1B1C1中, A1B1∥AB,A1B1=AB.
因为点M,N,D分别为A1B1,AC,BC的中点,
即B1M∥DN且B1M=DN,
所以四边形B1MND为平行四边形,因此B1D∥MN.
又MN 平面BCC1B1,B1D 平面BCC1B1,
所以MN∥平面BCC1B1.
(2)解 选条件①:
因为侧面BCC1B1为正方形,所以CB⊥BB1.
因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,且平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1,
所以CB⊥平面ABB1A1.
又AB 平面ABB1A1,所以CB⊥AB.由(1)得B1D∥MN,
因为AB⊥MN,所以AB⊥B1D.
而B1D∩CB=D,所以AB⊥平面BCC1B1.
又BB1 平面BCC1B1,所以AB⊥BB1.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,BA,BC,BB1两两垂直,故以B为坐标原点,分别以BC,BA,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为AB=BC=BB1=2,所以B(0,0,0),N(1,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),
取AB的中点H,连接HM,HN.
因为点M,N,H分别为A1B1,AC,AB的中点,
所以B1B∥MH,CB∥NH,而CB⊥BB1,
故NH⊥MH,即∠MHN=90°.
又因为AB=BC=2,所以NH=BH=1.
在△MNH和△MBH中,因为MH=MH,NH=BH,BM=MN,
所以△MNH≌△MBH.
又∠MHN=90°,所以∠MHB=∠MHN=90°,即MH⊥BH.又MH∥BB1,
所以BB1⊥BA.
因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,且平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1,
又CB⊥BB1,所以CB⊥平面ABB1A1.
又AB 平面ABB1A1,所以CB⊥AB.
所以在三棱柱ABC-A1B1C1中,BA,BC,BB1两两垂直,故以点B为坐标原点,分别以BC,BA,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.(共26张PPT)
第2讲 新情境新命题
新高考试题突出对情境应用题的考查,引导学生由“解题”向“解决问题”方向转变.试题情境贴近时代、贴近社会、贴近生活,以前沿科技、社会热点、传统文化、日常生活中的实际问题为背景,考查考生运用数学知识解决实际问题的能力,强调以数学核心素养为导向,常以图、表、文并用的方式呈现,情境新颖,信息量大,解题的关键是数学建模.
一、关注科技前沿,树立远大志向
例1(1)(2022北京,7)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是( )
A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
D
解析 对于选项A,lg P=lg 1 026>3,T=220,根据图象可知二氧化碳处于固态;对于选项B,lg P=lg 128>2,T=270,根据图象可知二氧化碳处于液态;对于选项C,lg P=lg 9 987≈3.999,T=300,根据图象可知二氧化碳处于固态;对于选项D,lg P=lg 729>2,T=360,根据图象可知二氧化碳处于超临界状态.故选D.
(2)(多选题)(2023新高考Ⅱ,12)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则下列说法正确的是( )
A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2
B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2
C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3
D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
ABD
解析 设事件“发送0,收到0”为事件A0,设事件“发送0,收到1”为事件A1,设事件“发送1,收到0”为事件B0,设事件“发送1,收到1”为事件B1.
由题知,P(A0)=1-α,P(A1)=α,P(B0)=β,P(B1)=1-β,且事件A0,A1,B0,B1相互独立.
对于选项A,所求事件为B1A0B1,
所以P(B1A0B1)=P(B1)P(A0)P(B1)=(1-β)(1-α)·(1-β)=(1-α)(1-β)2,所以A正确;
对于选项B,所求事件为B1B0B1,
所以P(B1B0B1)=P(B1)P(B0)P(B1)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,所以B正确;
对于选项C,所求事件为B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1,又P(B1B1B1)=P(B1)P(B1)P(B1)=(1-β)3,
所以P(B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1)=(1-β)3+3β(1-β)2,所以C错误;
对于选项D,采用三次传输,事件为A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0,
所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)=3α(1-α)2+(1-α)3.
采用单次传输,P(A0)=1-α.
所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)-P(A0)=3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)
=(1-α)[3α(1-α)+(1-α)2-1]=(1-α)(α-2α2)=α(1-α)(1-2α).
因为0<α<0.5,所以α(1-α)(1-2α)>0.
所以发送0,采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率,所以选项D正确.故选ABD.
(3)(2021新高考Ⅱ,4)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O,半径r为6400km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1-cosα)(单位: km2),则S占地球表面积的百分比约为( )
A.26% B.34%
C.42% D.50%
C
二、聚焦社会热点,彰显责任担当
例2(1)(2021全国甲,理4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为 ( )
A.1.5 B.1.2
C.0.8 D.0.6
C
(2)(多选题)(2023新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级 ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
ACD
三、弘扬传统文化,增强民族自信
B
(2)(2022新高考Ⅱ,3)中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现.如图1是某古建筑物中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步的比分别为 ,若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列,直线OA的斜率为0.725,则k3=( )
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
图1
图2
D
(3)(2020全国Ⅱ,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3699块 B.3474块
C.3402块 D.3339块
C
解析 由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an}.
设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.
四、注重五育并举,培育时代新人
例4(1)(2023全国甲,理6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
A
解析 由题意可知,既爱好滑冰又爱好滑雪的同学占60%+50%-70%=40%.设事件A为“该同学爱好滑雪”,事件B为“该同学爱好滑冰”,则所求概率为
(2)(2020全国Ⅱ,文3)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤i
A.5 B.8 C.10 D.15
C
解析 结合题意,原位大三和弦有(a1,a5,a8),(a2,a6,a9),(a3,a7,a10),(a4,a8,a11), (a5,a9,a12),共5个,原位小三和弦有(a1,a4,a8),(a2,a5,a9),(a3,a6,a10),(a4,a7,a11), (a5,a8,a12),共5个,故原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为5+5=10.故选C.
(3)(2020新高考Ⅰ,15)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C, tan∠ODC= ,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.
五、贴近现实生活,培养应用意识
例5(2023全国乙,理17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为 ,样本方差为s2.