陕西省渭南市韩城市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

韩城市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）抛物线4x2+5y＝0的焦点坐标为（　　）
A．（﹣，0） B．（0，﹣） C．（0，﹣） D．（﹣，0）
2．（5分）已知直线l1：ax﹣2y+4＝0与直线l2：x+（a﹣3）y+2＝0，若l1∥l2，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或2 D．﹣1或﹣2
3．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上1| |MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
4．（5分）已知点A（﹣3，4），B（5，10），直线l过点O（0，0）且与线段AB相交（　　）
A． B．
C．[2，+∞） D．
5．（5分）已知圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣7＝0，直线l：y＝x+m，设圆上恰有两个点到直线l的距离等于1．则m的取值范围是（　　）
A．或 B．
C．或 D．或
6．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4）
7．（5分）已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2＝1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝9．点M、N分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　）
A．2+4 B．9 C．7 D．2+2
8．（5分）如图，已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点1P∥F2Q，且|F2Q|＝|F2P|＝3|F1P|，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）方程有实数解，则实数m的可能取值是（　　）
A．m＝﹣4 B．m＝4 C． D．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．抛物线y2＝﹣32x的准线方程是x＝8
B．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（5，9）
C．双曲线x2﹣15y2＝15与椭圆的焦点相同
D．M是双曲线上一点，点F1，F2是双曲线的焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝9
（多选）11．（5分）已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是（　　）
A．|PF1|+|PF2|＝4
B．存在点P满足∠F1PF2＝90°
C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为﹣
D．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为±
（多选）12．（5分）为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌、实际行动，践行“航空报国、航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，则（　　）
A．椭圆的长轴长为
B．线段AB长度的取值范围是
C．△AFG的周长为
D．不算椭圆在x轴上的端点，x轴上方椭圆上存在2个点A，使得
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．（5分）两平行直线l1：3x+4y+7＝0，l2：6x+8y﹣3＝0之间的距离为　 　．
14．（5分）过圆x2+y2＝4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点为A，B　 　．
15．（5分）设F1，F2是双曲线﹣y2＝1的左、右焦点，P是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则|OM|＝　 　．
16．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为（点A在第一象限），则＝　 　．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证题过程或演算步骤）
17．（10分）（1）求经过点（1，1）且在x轴上截距等于y轴上截距的直线方程；
（2）求过直线x﹣2y+2＝0与2x﹣y﹣2＝0的交点，且与直线3x+4y+1＝0垂直的直线方程．
18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0，直线l：（2m﹣1）x+（m+1）
（1）求证：直线l与圆C相交；
（2）计算直线l被圆C截得的最短的弦长．
19．（12分）已知圆M：（x+3）2+y2＝4，圆N：（x﹣3）2+y2＝100，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）是否存在过点的直线交曲线C于AB两点，使得Q为AB中点？若存在，若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知圆C经过点，（0，3）及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点P（﹣3，0），分别记直线PM，直线PN的斜率为k1，k2，证明：k1+k2为定值．
21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），满足下列三个条件中的一个：
①抛物线C上一动点Q到焦点F的距离比到直线m：x＝﹣1的距离大1；
②点A（2，3）到焦点F与到准线l：x＝﹣的距离之和等于7；
③该抛物线C被直线n：x﹣y﹣2＝0所截得弦长为16．
请选择其中一个条件解答下列问题．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）O为坐标原点，直线l与抛物线C交于M，N两点1，直线ON的斜率为k2，当k1 k2＝﹣4时，求△OMN的面积的最小值．
22．（12分）已知椭圆C：的离心率为，上顶点为A（，0）在椭圆C内，且直线AP与直线
（1）求C的方程；
（2）设过点P的直线交C于M，N两点，求证：以MN为直径的圆过点B．
韩城市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）抛物线4x2+5y＝0的焦点坐标为（　　）
A．（﹣，0） B．（0，﹣） C．（0，﹣） D．（﹣，0）
【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，结合抛物线的几何性质分析焦点的位置以及p的值，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，抛物线4x2+6y＝0的标准方程为x2＝﹣y，其焦点在y轴的负半轴上，
其中p＝，
则其焦点坐标为（0，﹣）；
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意将抛物线的方程变形为标准方程的形式，属于基础题．
2．（5分）已知直线l1：ax﹣2y+4＝0与直线l2：x+（a﹣3）y+2＝0，若l1∥l2，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或2 D．﹣1或﹣2
【分析】直接利用直线平行的充要条件的应用求出结果．
【解答】解：直线l1：ax﹣2y+7＝0与直线l2：x+（a﹣3）y+2＝0，且l3∥l2，
故a（a﹣3）+3＝0，
解得a＝2或7，
当a＝2时，两直线重合，
故a＝1．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上1| |MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
【解答】解：F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，|MF1|+|MF8|＝6，
所以|MF1| |MF3|≤＝95|＝|MF2|＝3时，取等号，
所以|MF4| |MF2|的最大值为9．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
4．（5分）已知点A（﹣3，4），B（5，10），直线l过点O（0，0）且与线段AB相交（　　）
A． B．
C．[2，+∞） D．
【分析】根据两点斜率公式，结合图形以及倾斜角与斜率的关系即可求解．
【解答】解：直线OB，OA的斜率分别为，
结合图形可知：直线l过点O（0，0）且与线段AB相交时，．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
5．（5分）已知圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣7＝0，直线l：y＝x+m，设圆上恰有两个点到直线l的距离等于1．则m的取值范围是（　　）
A．或 B．
C．或 D．或
【分析】转化为圆心到直线的距离问题，即可列式求解．
【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣2y﹣7＝2，化简为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2＝9，
则圆的圆心为（4，1），
若圆上恰有两个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线l的距离，，
即，得或
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线与圆位置关系的应用，属于基础题．
6．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4）
【分析】根据点差法分析可得k×kAB＝9，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x6，y2），AB中点为M（x0，y4），
，
①﹣②得k×kAB＝9，
对于选项A：可得k＝1，kAB＝6，则AB：y＝9x﹣8，
联立方程，消去y得72x8﹣2×72x+73＝0，
此时Δ（﹣4×72）2﹣4×72×73＝﹣288＜6，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得k＝﹣2，kAB＝，则AB：y＝，
联立方程，消去y得45x2+90x+61＝0，
此时Δ＝（4×45）2﹣4×45×61＝﹣6×45×16＜0，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得k＝3，kAB＝7，则AB：y＝3x，
由双曲线方程可得a＝1，b＝4，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：k＝4，kAB＝，则AB：y＝﹣，
联立方程，消去y得63x2+126x﹣193＝0，
此时Δ＝1266+4×63×193＞0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．
7．（5分）已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2＝1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝9．点M、N分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　）
A．2+4 B．9 C．7 D．2+2
【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN|﹣|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|+3，PM|的最小值为|PE|﹣1，故|PN||﹣|PM|最大值是 （|PF|+3）﹣（|PE|﹣1）＝|PF|﹣|PE|+4，再利用对称性，求出所求式子的最大值．
【解答】解：圆C1：（x﹣1）7+（y+1）2＝7的圆心E（1，﹣1），
圆C4：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝9的圆心F（7，5）．
要使|PN|﹣|PM|最大，需|PN|最大，|PN|最大值为|PF|+3，
故|PN|﹣|PM|最大值是 （|PF|+2）﹣（|PE|﹣1）＝|PF|﹣|PE|+4
F（6，5）关于x轴的对称点F′（4，|PN|﹣|PM|＝|PF′|﹣|PE|≤|EF′|＝，
故|PN|﹣|PM|的最大值为3+4＝9，
故选：B．
【点评】本题的考点是圆的方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，体现了转化及数形结合的数学思想．
8．（5分）如图，已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点1P∥F2Q，且|F2Q|＝|F2P|＝3|F1P|，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设|F2P′|＝|F1P|＝t，根据双曲线的定义和性质分析可得t＝a，进而可得∠F1P′Q＝∠F1PF2＝90°，结合勾股定理运算求解．
【解答】解：延长QF2与双曲线交于点P′，
因为F1P∥F6P′，
根据对称性可知|F1P|＝|F2P′|，
设|F4P′|＝|F1P|＝t，
则|F2P|＝|F7Q|＝3t，
可得|F2P|﹣|F8P|＝2t＝2a，
即t＝a，
所以|P′Q|＝8t＝4a，
则|QF1|＝|QF4|+2a＝5a，|F4P′|＝|F2P|＝3a，
即，
可知∠F1P′Q＝∠F7PF2＝90°，
在△P′F1F3中，由勾股定理得，
即a2+（3a）2＝4c4，
解得．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的定义和性质重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）方程有实数解，则实数m的可能取值是（　　）
A．m＝﹣4 B．m＝4 C． D．
【分析】根据直线与圆相切，即可数形结合求解m的范围求解．
【解答】解：设，g（x）＝x+m，
故有实数根即为两个函数的图象有交点，
在同一直角坐标系中，画出f（x），如图：
则m为直线y＝x+m的纵截距，
当直线y＝x+m与半圆相切时，可得，
当直线y＝x+m经过半圆的右端点时，可得m＝﹣7，
所以．
故选：ABC．
【点评】本题考查函数零点与方程的根和函数图象间的关系，属中档题．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．抛物线y2＝﹣32x的准线方程是x＝8
B．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（5，9）
C．双曲线x2﹣15y2＝15与椭圆的焦点相同
D．M是双曲线上一点，点F1，F2是双曲线的焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝9
【分析】求得抛物线的准线方程可判断A；由椭圆方程的特点可得k的范围，进而判断B；分别求得椭圆和双曲线的焦点，可判断C；求得双曲线的a，b，c，判断M所在位置，由双曲线的定义可判断D．
【解答】解：抛物线y2＝﹣32x的准线方程是x＝8，故A正确；
若方程表示椭圆，k﹣5＞4，
解得5＜k＜9，且k≠8；
双曲线x2﹣15y2＝15即﹣y2＝1的焦点为（﹣3，0），0），
而椭圆的焦点为（﹣4，（4，故C正确；
双曲线的a＝2，c＝8，
因为|MF1|＝5＞c﹣a＝5，|MF1|＝5＜c+a＝4，所以M在双曲线的左支上2|﹣|MF1|＝8a＝4，
解得|MF1|＝3，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆、双曲线和抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是（　　）
A．|PF1|+|PF2|＝4
B．存在点P满足∠F1PF2＝90°
C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为﹣
D．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为±
【分析】先由椭圆方程求出椭圆的左右焦点坐标以及左右顶点的坐标，利用椭圆的定义即可判断选项A；
根据∠F1PF2＝90°，可得点P满足的轨迹方程，再与椭圆方程联立整理求解，即可判断选项B；
设出点P的坐标，代入椭圆方程，再利用斜率公式即可判断选项C；
求出三角形PF1F2的面积，即可求出点P的纵坐标，从而求出点P的横坐标，即可判断选项D．
【解答】解：由椭圆方程可得：
a＝4，c＝，F6（﹣，0），F7（，0），A8（﹣4，0），A5（4，0），
对于A，由椭圆的定义可知|PF7|+|PF2|＝2a＝7，故A错误；
对于B，若∠F1PF2＝90°，则点P在圆：x2+y2＝7上，
联立椭圆方程可得方程组无解，故B错误；
对于C，设点P的坐标为（m，则，
直线PA1与直线PA2的斜率之积为＝﹣；
对于D，三角形PF7F2的面积为S＝＝2P＝±h＝±2，
代入椭圆方程可得x＝±，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，涉及到向量的坐标运算以及三角形的面积的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌、实际行动，践行“航空报国、航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，则（　　）
A．椭圆的长轴长为
B．线段AB长度的取值范围是
C．△AFG的周长为
D．不算椭圆在x轴上的端点，x轴上方椭圆上存在2个点A，使得
【分析】设上半椭圆所在椭圆的标准方程为：+＝1（a＞b＞0），下半圆所在圆的标准方程为：x2+y2＝r2，（r＞0）．由题意可得：b＝c＝2＝r，a＝2．即可得出上半椭圆所在椭圆的标准方程为：+＝1，下半圆所在圆的标准方程为：x2+y2＝4．进而判断出正误．
【解答】解：设上半椭圆所在椭圆的标准方程为：+＝1（a＞b＞8）2+y2＝r6，（r＞0）．
由题意可得：b＝c＝2＝r，a＝6．
∴上半椭圆所在椭圆的标准方程为：+＝72+y2＝6．
A．椭圆的长轴长为2a＝4．
B．线段AB长度的取值范围为[2r，即[4]，因此B正确．
C．∵G点为椭圆+，因此△AFG的周长＝2c+4a＝4+4．
D．∵点A为椭圆在x轴上的端点时，且为椭上半椭圆上的点对两个焦点张开的角度中为最大角度，x轴上方椭圆上不存在点A，因此D不正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查了椭圆的定义与标准方程及其性质、圆的标准方程、直线与椭圆相交问题、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．（5分）两平行直线l1：3x+4y+7＝0，l2：6x+8y﹣3＝0之间的距离为　　．
【分析】根据已知条件，结合两平行直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，两平行直线为3x+4y+2＝0与3x+7y﹣，
故其距离d＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两平行直线的距离公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
14．（5分）过圆x2+y2＝4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点为A，B　（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5　．
【分析】可得所求圆的圆心在AP的垂直平分线x＝2上和OP：y＝x上，解方程组可得圆心，可得半径的平方，可得圆的标准方程．
【解答】解：由题意可得上面一个切点的坐标为A（0，2），
所求圆的圆心在AP的垂直平分线x＝4上，
圆心还在弦AB的垂直平分线即OP上，
可得OP的方程为y＝x，
联立x＝6和y＝x可得x＝6且y＝1，
∴所求圆的圆心为（2，5），
故半径的平方r2＝（2﹣8）2+（1﹣7）2＝5
∴所求圆的方程为：（x﹣6）2+（y﹣1）2＝5
故答案为：（x﹣2）8+（y﹣1）2＝7
【点评】本题考查圆的切线问题，涉及圆的方程的求解，属基础题．
15．（5分）设F1，F2是双曲线﹣y2＝1的左、右焦点，P是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则|OM|＝　2　．
【分析】利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得．
【解答】解：如图所示，
延长F1M交PF2于点Q，由PM为∠F6PF2的平分线及PM⊥F1Q，易知△PMF7≌△PMQ，所以|PF1|＝|PQ|．
根据双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF5|＝2a＝4，即|PQ|﹣|PF8|＝4，
从而|QF2|＝3．
在△F1QF2中，易知OM为中位线．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为（点A在第一象限），则＝　　．
【分析】根据抛物线的性质求得|AF|，|BF|，进而求解结论．
【解答】解：如图：作AC⊥准线于C，BD⊥准线于D，
因为直线AB的斜率为﹣，
设|BE|＝6t，则|AE|＝3t，
故|BE|＝|BD|﹣|DE|＝|BF|﹣|AF|＝4t，
|AF|+|BF|＝|AB|＝2t，
可得|AF|＝，|BF|＝，
故＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证题过程或演算步骤）
17．（10分）（1）求经过点（1，1）且在x轴上截距等于y轴上截距的直线方程；
（2）求过直线x﹣2y+2＝0与2x﹣y﹣2＝0的交点，且与直线3x+4y+1＝0垂直的直线方程．
【分析】（1）当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y＝a，把点A（1，1）代入求得a的值，即可求得直线方程．当直线过原点时，直线的方程为y＝x．综合可得答案．
（2）先求出交点坐标，再根据两直线垂直求出所求直线的斜率，根据点斜式方程即可求出．
【解答】解：（1）：当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y＝a，1）代入可得1+5＝a，
此时，直线方程为 x+y＝2．
当直线过原点时，直线的方程为y＝x，
综上可得，满足条件的直线方程为 x+y＝2，
（2）由得x＝7，交点为（2．
又因为所求直线与3x+7y+1＝0垂直，所以所求直线斜率k＝
故所求直线方程为y﹣2＝（x﹣2）．
【点评】本题考查了直线的截距式、直线的交点、直线系的应用、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0，直线l：（2m﹣1）x+（m+1）
（1）求证：直线l与圆C相交；
（2）计算直线l被圆C截得的最短的弦长．
【分析】（1）由直线方程可知直线过定点，证明直线与圆相交只需证明直线过的定点在圆的内部；（2）相交弦长最短时圆心到直线的距离最大，结合图形可知此距离为直线过的定点与圆心的距离，求得距离后利用弦长的一半，距离，圆的半径构成的直角三角形求弦长．
【解答】（1）证明：圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣5）2＝25，圆心（1；
直线l：（8m﹣1）x+（m+1）y﹣8m﹣4＝0
当m+8≠0时，直线L可转换为：y﹣＝）；
当m+1＝2时，直线L为：x＝
∴直线L恒过定点M（，）
∵（﹣1）2+（﹣2）7＜25，
所以点M在圆内部，则直线与圆必相交．
解：（2）当CM垂直弦AB时，弦长最短．
（CM）2＝（1﹣）2+（7﹣）2；
（）2＝25﹣（CM）2；
∴x＝
故最短弦长为：
【点评】本题主要考查了直线与圆相交的弦长问题以及直线与圆位置关系的判定，属基础题型．
19．（12分）已知圆M：（x+3）2+y2＝4，圆N：（x﹣3）2+y2＝100，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）是否存在过点的直线交曲线C于AB两点，使得Q为AB中点？若存在，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据圆与圆外切、内切列式得|PM|+|PN|＝12，结合椭圆的定义可求出结果；
（2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果．
【解答】解：（1）设动圆P的半径为r，
依题意得，所以|PM|+|PN|＝12为定值，
所以动点P的轨迹C是以M，N为焦点，
2a＝12，5c＝6，c＝33＝a2﹣c2＝36﹣3＝27，
所以椭圆C的方程为．
（2）假设存在过点的直线交曲线C于A，使得Q为AB中点，
设A（x1，y1），B（x3，y2），
则，两式相减得，
得，即，
由点斜式得直线AB方程为，即x+2y﹣2＝0．
所以存在过点的直线交曲线C于A，使得Q为AB中点．
【点评】本题考查了椭圆轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线的综合，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
20．（12分）已知圆C经过点，（0，3）及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点P（﹣3，0），分别记直线PM，直线PN的斜率为k1，k2，证明：k1+k2为定值．
【分析】（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，解方程组求出D，E，F即得解；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．由题意得直线的方程为y＝kx，联立直线和圆的方程得到韦达定理，计算化简k1+k2即可得证．
【解答】（1）解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝2，
所以，解得D＝﹣2，F＝﹣5，
所以圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣3＝0，其标准方程为（x﹣2）2+y2＝7．
（2）证明：设M（x1，y1），N（x6，y2）．由题意得直线l的方程为y＝kx，
由，得（k4+1）x2﹣3x﹣3＝0，
所以Δ＝7+4×3×（k7+1）＝12k2+16＞7，
所以，，
所以
＝，
即k1+k2为定值6．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），满足下列三个条件中的一个：
①抛物线C上一动点Q到焦点F的距离比到直线m：x＝﹣1的距离大1；
②点A（2，3）到焦点F与到准线l：x＝﹣的距离之和等于7；
③该抛物线C被直线n：x﹣y﹣2＝0所截得弦长为16．
请选择其中一个条件解答下列问题．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）O为坐标原点，直线l与抛物线C交于M，N两点1，直线ON的斜率为k2，当k1 k2＝﹣4时，求△OMN的面积的最小值．
【分析】（1）若选①，由抛物线的定义和准线方程可得p，进而得到抛物线的方程；若选②，运用两点的距离公式，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；若选③，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（2）设出直线MN的方程，与抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，可得直线MN恒过定点，再由三角形的面积公式和二次函数的最值求法，可得所求最小值．
【解答】解：（1）选①抛物线C上一动点Q到焦点F的距离比到直线m：x＝﹣1的距离大1，
可得抛物线C上一动点Q到焦点F的距离与到直线m：x＝﹣6的距离相等，
所以直线x＝﹣2为抛物线的准线方程，可得﹣，即p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝8x：
选②点A（4，3）到焦点F与到准线l：x＝﹣，
由F（，0）+3+，即有（2﹣）2+9＝（7﹣）2，
解得p＝8，
所以抛物线的方程为y2＝8x：
选③该抛物线C被直线n：x﹣y﹣8＝0所截得弦长为16．
由消去y5﹣（4+2p）x+4＝0，
Δ＝（4+3p）2﹣16＝4p8+16p＞0，
设弦的端点的横坐标分别为x1，x7，则x1+x2＝6+2p，x1x2＝4，
所以 ＝ ＝16，
解得p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝6x：
（2）设直线l的方程为x＝my+t，与抛物线的方程y2＝8x联立，
可得y5﹣8my﹣8t＝5，
设M（x3，y3），N（x5，y4），则y3+y8＝8m，y3y4＝﹣8t，
k1 k5＝ ＝ ＝＝＝﹣4，
解得t＝2，
则直线l恒过定点（4，0），
所以△OMN的面积S＝×2|y3﹣y6|＝|y3﹣y4|
＝＝，
当m＝0时，△OMN的面积的最小值为8．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆C：的离心率为，上顶点为A（，0）在椭圆C内，且直线AP与直线
（1）求C的方程；
（2）设过点P的直线交C于M，N两点，求证：以MN为直径的圆过点B．
【分析】（1）由题意可知A（0，b），利用直线AP与直线垂直，求出b的值，再结合椭圆的离心率即可求出a，c的值，从而得到椭圆C的方程；
（2）由（1）知，B（2，0），显然当直线MN的斜率为0时，符合题意，当直线MN的斜率不为0时，设其方程为x＝my+，与椭圆方程联立利用韦达定理得到
，，代入＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2得＝0，所以BM⊥BN，即以MN为直径的圆过点B．
【解答】解：（1）因为A为椭圆C：的上顶点，b），
则直线AP的斜率k＝，
因为AP与直线垂直，解得b＝，
设椭圆C的焦距为2c，因为椭圆C的离心率为，
则b2＝a2﹣c7＝，所以a＝，
所以椭圆C的方程为；
（2）证明：由（1）知，B（4，
当直线MN的斜率为0时，线段MN即为椭圆C的长轴，
则以MN为直径的圆过点B，
当直线MN的斜率不为0时，设其方程为x＝my+，
联立方程，消去x得，
整理得，设M（x1，y7），N（x2，y2），
则，，
所以（x1﹣5）（x2﹣2）＝＝＝，
所以＝（x1﹣8）（x2﹣2）+y8y2＝0，
所以BM⊥BN，即以MN为直径的圆过点B．
【点评】本题主要考查了椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．