2023-2024学年第一学期 7．已知圆C ： x2 y2 1与圆C ： (x 2)2 (y 2)21 2 1，则圆C1与圆C2的位置关系是
高二年级 期中学习质量监测与反馈
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
数学学科 试卷
8 F ,F C : x
2 y2
11 17 120 ．已知 是椭圆 1 a b 0 的左、右焦点，点 P为 C上一点，O为坐标原点，使用时间： 月 日 考试时间： 分钟 满分：150分 1 2 a2 b2
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 POF2为正三角形，则 C的离心率为
求的一项。 A． 2 1 B
2 3
． 3 1 C． D．
2 2
1．直线 3x y 3 0的倾斜角为 9．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面 2米，水面宽 12米，
A．120° B．60° C．30° D．150° 当水面下降 2米后，水面宽是
2．设平面 的法向量为 1, 2, 2 ，平面 的法向量为 2, 4,k ，若 // ，则 k的值为 A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
2
M x y
2 x2 y2
A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知椭圆 ： 2 2 1 (a b 0)，双曲线 N ： 2 1 (m 0， n 0) .设椭圆 Ma b m n2
3．P是椭圆 x2 4y2 16上一点， F1， F2是该椭圆的两个焦点，且 PF1 7，则 PF2 的两个焦点分别为 F1， F2，椭圆 M的离心率为 e1，双曲线 N的离心率为 e2 ，记双曲线 N的一
A．1 B．3 C．5 D．9
PF PF | FF | 2 | PF e条渐近线与椭圆 M一个交点为 P， 若 1 2且 11 2 1 |，则 的值为
x2 y2
e2
4．双曲线 1的焦点到渐近线的距离为
2 6 3 1A． B. 3 1 C. 2 D. 3 1
2
A. 2 B. 6 C.2 2 D.2 6
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
5．已知直线 l : y x被圆C : x 3 2 y 1 2 r 2 r 0 截得的弦长为 2，则 r 11．过点 A 3,2 且与直线 x y 1 0平行的直线方程为___________.
A． 3 B． 6 C．3 D．4 x2 y212．椭圆 1 的一个焦点是 0, 1 ，那么 k等于______.
2 k
6．如图，在平行六面体 ABCD ABC
1 1 1D1中， AA1 a， AB b， AD c，点 P在 A1C上，且 13．已知点P (2，a)在抛物线C ： y2 4x上，则点 P到抛物线C 的焦点的距离为______．
A P :PC 3: 2 ，则 AP 1 14．在长方体 ABCD A1B1C1D1中， | AB | 1,| AD | 2, AA1 3，则 BD AC1 ______.
3 2 2 2 2 3
A． a b c B． a b c 2 2
5 5 5 5 5 5 15 P
x y
．已知点 是椭圆 1上任意一点，过点 P作 x轴的垂线，垂足为M ，则线段 PM 的
6 42 a 3 b 3 3C． c D． a
2 b 2 c
5 5 5 5 5 5 中点 N x, y 的轨迹方程为___________.
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{#{QQABLQAAggAgQAIAARhCAwnyCAIQkAGAACoGRBAEsAAAQRNABCA=}#}
20．（本小题 15分）
16．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E,F 分别为 B1C1,C1D1的中
2 2 6
已知椭圆C : x y 1 过点 B (0, 2)，且离心率 e ．
点，P是底面 A1B1C1D1 上一点．若 AP//平面 BEF，则 AP
2 2
长度的最小值是 a b 3
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
___；最大值是___．
（Ⅱ）设点 F 为椭圆C的左焦点，点T ( 3,m)，过点 F 作TF的垂线交椭圆C于点 P,Q，连接
三、解答题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
| PH |
17．（本小题 13分） OT 与 PQ交于点H．求 的值．
| HQ |
在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E是 BC的中点，点 F 是
CD中点。
（Ⅰ）证明：D1E 平面 AB1F；
（Ⅱ）求D到面 AB1F的距离.
18．（本小题 13分） 21．（本小题 14分）
2
C : x y
2
已知椭圆 1，左右焦点分别为 F
3 2 1
,F2，直线 y x 1与椭圆C相交于 A,B两点． 已知集合 A a1,a2 ,a3, ,an (0 a1 a2 an,n 2) 具有性质 P：对任意的 i, j
（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及离心率；
（1 i j n）， ai a j与 a j ai两数中至少有一个属于 A．
（Ⅱ）求 ABF1的面积．
（Ⅰ）分别判断数集 0,1,3,4 与 0,2,3,6 是否具有性质 P，并说明理由；
（Ⅱ）证明： a1 0，且 nan 2 a1 a2 an ；
19．（本小题 15分）在如图所示的多面体中，AD BC且 AD 2BC ，AD CD , EG AD
（Ⅲ）当 n 5时，若 a2 3，求集合 A．
且 EG AD，CD FG且CD 2FG，DG 平面 ABCD，DA DC DG 2，M ，
N 分别为棱 FC， EG 的中点.
（Ⅰ）求点 F 到直线 EC的距离；
（Ⅱ）求平面 BED与平面 EDC夹角的余弦值；
（Ⅲ）在棱GF 上是否存在一点Q，使得平面MNQ //平面EDC？若
存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由.
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{#{QQABLQAAggAgQAIAARhCAwnyCAIQkAGAACoGRBAEsAAAQRNABCA=}#}2023-2024 学年上学期 x2 y2
1 6 3
高二年级期中质量监测与反馈 数学参考答案 则 3 2 消去 y得5x2 6x 3 0， x1 x2 , x1x5 2
，
y
5
x 1
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
2
BBABA CDBDA 所以 | AB | (1 k2 )[(x x )2 4x x ] 2
6 4 3 8 31 2 1 2
——9分
5 5
5
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
又F1到 y x 1
1 0 1
的距离为 d 2 ——11分
11． x y 5 0 12．3 13．3 2
x214 3 15 y2 1 16 3 2 5 所以 ABF
1
． ． ． 1的面积为： S ABF | AB | d
1 8 3 4 6
2 ． ——13分
1
6 4 2 2 2 5 5
三、解答题共 5 小题，共 70 分。 19．解：由DG 平面 ABCD， AD CD，如图以D为原点，分别以DA,DC,DG的方向为 x轴，
17．解：（1）以 A为原点，直线 AB, AD, AA1分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系， y 轴 ， z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 可
如图所示． ——1分 得:D(0, 0, 0), A(2, 0, 0),B(1, 2, 0), C(0, 2,0), E(2,0, 2),F (0,1, 2),G(0,0, 2), M (0, 3 ,1), N (1,0, 2) .
2
所以 F (1, 2,0)，则 AF (1,2,0), AB1 (2,0,2),D1E (2, 1, 2)， EC
（Ⅰ）依题意，可得 EF ( 2,1,0)， EC ( 2,2, 2)，u
3
( 2,2, 2)，
设平面 AB1F的法向量为m (x, y, z)，则 | EC | 6
m A F x 2 y 0
| EF | 5， EF u 3，
，令 x 2，则m ( 2,1, 2)，——6分
m AB1 2x 2 z 0 所以，点 F到直线 EC的距离为
所以m D1E --------------8
分 | EF |2 (EF u)2 5 3 2 . ………4分
所以D1E 平面 AB1F．（只写结果给 1分）——10分 （Ⅱ）依题意 DC =（0，2，0），DE =（2，0，2）．
设m (x, y, z)为平面CDE的一个法向量，
（2）因为 F 为CD的中点，由（1）知平面 AB1F的法向量为m ( 2,1, 2)，又DA (0, 2,0)，—12分
m DC 0, 2y 0,
DA m 2 则 即
所以D到面 AB1F的距离为 ． ——13分 m DE 0, 2x 2z 0.
m 3
不妨令 z 1，可得m (1, 0, 1)．
x2 y218．解：（1）椭圆C : 1知，该椭圆的焦点在 x 轴上，设焦距为2c，
3 2 又DB (1, 2,0) ,
由a2 3,b2 2， 所以 c2 1，所以焦点坐标为 F1( 1,0),F2 (1,0)． ——2分 设n (x, y, z)为平面 BDE的一个法向量，
c 1 3 n DB 0, x 2y 0,离心率为：e ．——4分
a 3 3 则 即 ，不妨令 y 1，
n DE 0, 2x 2z 0.
（2）由直线 y x 1与椭圆C相交于 A,B两点，设 A(x1, y1),B(x2 , y2 ) 可得n ( 2,1, 2)．
{#{QQABLQCs4gCw0BZACZ5LA0nGCQsQkJCAJCoGwRANqAwowJNAFCA=}#}
设 P(x1, y1)，Q(x2 , y2 )，则
因此有 | cos m,n
|m n | | 4 | 2 2
| ． 2
|m || n | 2 3 3 x 121 x2 2 ， x1x
12 6m
2 2 ．m 3 m 3
2 2
则平面 BED 与平面EDC x x 6的夹角的余弦值为 ． ………10分
3 则 P,Q中点 x
1 2 2 ．2 m 3
（Ⅲ）在棱GF 上不存在点Q ,使得平面MNQ //平面CDE.理由如下： m直线OT 的方程为 y x，
3
假设棱GF 上存在一点Q ,使得平面MNQ //平面CDE. y 1 (x 2),
m由 得 x
6
H 2 ．设点Q(0, a, 2) ,0 a 1，则 NQ ( 1,a, 0) . y m x m 3
3
由（Ⅱ）可知，平面CDE的一个法向量m (1, 0, 1)， | PH |
所以 1．
|HQ |
因为 NQ m 1 0，所以直线 NQ 与平面CDE相交.
| PH |
综上 的值为1． ........................15分
则平面MNQ | HQ |与平面CDE有公共点，这与假设两平面平行矛盾.
所以在棱GF 上不存在点Q，使得平面MNQ //平面CDE．………15 21．（1）解：因为 0 1,0 3,0 4,1 3, 4 1, 4 3都属于数集 0,1,3,4 ，分
所以数集 0,1,3,4 具有性质 P；——2分
b 2,
c 6 因为 2 3和3 2均不属于数集 0,2,3,6 ，所以数集 0,2,3,6 不具有性质 P； ——4分
20．解：（Ⅰ）由题意得 ,
a 3
a2 b2 c2 , （2）证明：令 i j n，因为 ai a j与 a j ai两数中至少有一个属于 A，
解得 a2 6，b2 2． 所以 an an不属于 A，所以 an an属于集合 A，即 0∈A，所以a1=0， ——6分
2 2
所以椭圆C x y的方程为 1． .5分
6 2 令 j＝n，i＞1，因为
ai a j与 a j ai两数中至少有一个属于 A，
（Ⅱ） 由T ( 3,m)，F( 2,0)，显然斜率存在， kTF m， 所以 ai a j不属于 A，所以 a j ai属于集合 A，
| PH |
当m 0时， 1．
|HQ | 令 i n 1，则 an an 1是集合 A中的某一项，
当m 0 1 时，直线 PQ过点 F 且与直线TF垂直，则直线 PQ方程为 y (x 2)． 若 an an 1 a2，符合题意，
m
1 若 a a a ，则 a a a ，所以 ay (x 2), n n 1 3 n 3 n 1 n
a2 an a3 an 1，矛盾，
m
由 得 (m2 3)x2 12x 12 6m2 0．2
x y
2
同理 a a 1 n n 1等于其他项均矛盾，所以 an an 1 a2， 6 2
显然 0． 同理，令 i n 2,n 3, , 2，可得an ai an 1 i ． ——8分
{#{QQABLQCs4gCw0BZACZ5LA0nGCQsQkJCAJCoGwRANqAwowJNAFCA=}#}
倒序相加得nan 2 a1 a2 an ．（要写出证明过程）——10分
（3）当 n＝5时，令 j＝5，当 i 2时， ai a5 a5，
因为集合 A具有性质 P，所以 a5 ai A，
所以 a5 ai A，i＝1，2，3，4，5，所以 a5 a1 a5 a2 a5 a3 a5 a4 a5 a5 0，
所以 a5 a1 a5 ， a5 a2 a4 ， a5 a3 a3，
所以 a2 a4 a5，a5 2a3，所以 a2 a4 2a3，即 0 a4 a3 a3 a2 a3 ，
又因为a3 a4 a2 a4 a5，所以 a3 a4 A，所以 a4 a3 A，
所以 a4 a3 a2 a2 a1，所以 a5 a4 a2 a2 a1，所以 a5 a4 a4 a3 a3 a2 a2 a1 a2 ，
所以 A 0,3,6,9,12 ． （只写结果给 2分）——14分
{#{QQABLQCs4gCw0BZACZ5LA0nGCQsQkJCAJCoGwRANqAwowJNAFCA=}#}
