课时作业（二十三）
菱形的性质
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，
若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为( )
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A.75° B.65° C.55° D.50°
2.(2013·梧州中考)如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是( )
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A.10 B.12 C.15 D.20
3.已知菱形的周长为8，面积为16，则这个菱形较短的对角线长为( )
A.4 B.8 C.4 D.10
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.如图，菱形ABCD的周长为8cm.∠BAD=60°，则AC= cm.
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5.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 度.
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6.(2013·内江中考)已知菱形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= .
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三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·黄冈中考)如图， ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连结OH，求证：∠DHO=∠DCO.
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8.(8分)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A，C之间的距离).若AB=40cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？(≈1.414，≈1.732，结果保留整数)
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【拓展延伸】
9.(10分)如图，四边形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AD，CB=CD，但AD≠CD，我们称这样的四边形为“半菱形”.小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”.他的说法正确吗？请判断并证明你的结论.
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答案解析
1.【解析】选B.∵在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°.
2.【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=5，∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形.
∴AB=BD=AD=5，
∴△ABD的周长是15.
3.【解析】选A.由已知可得AB=BC=2，AE==，
在Rt△ABE中，
BE==，
所以，CE=2-=，
在Rt△ACE中，AC===4.
4.【解析】∵菱形ABCD的周长为8cm.∴AB=2cm，
∵∠BAD=60°，且AB=AD，∴BD=AB=2cm，
∴BO=1cm，
∴OA=cm.∴AC=2cm.
答案：2
5.【解析】连结AB.因为AB=AD=BD=16cm，
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所以△ABD为等边三角形，所以∠ADB=60°，
所以∠1=∠ADE=180°-60°=120°.
答案：120
6.【解析】作M关于BD的对称点Q，连结NQ，交BD于P，连结MP，此时MP+NP的值最小，连结AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，
∵M为BC的中点，
∴Q为AB的中点，
∵N为CD的中点，∵四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=AP=3，BP=PD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5.
答案：5
7.【证明】∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，∴OH=OB，∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO.
8.【解析】连结AC，与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO.
当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形.
∴AC=AD=AB=40(cm).
当∠ADC=120°时，∠ADO=60°，∠OAD=30°，
∴AO===20(cm).
∴AC=40(cm).
因此升高的高度为40-40=40(-1)≈29(cm).
9.【解析】正确.证明如下：连结BD，AC，设AC，BD交于点O，
因为AB=AD，BC=DC，AC=AC，
所以△ABC≌△ADC，所以∠BAC=∠DAC，
又因为AB=AD，所以AO⊥BD，
所以S△ABD=BD·AO，S△BCD=BD·CO.
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=BD·AO+BD·CO
=BD(AO+CO)=BD·AC.课时作业（二十二）
矩形的判定
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量其中三个角是否都为直角
2.□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A.AB=AD B.OA=OB
C.AC=BD D.DC⊥BC
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )
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A.2 B. C.4 D.3
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.如图，在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE，BF.当∠ACB为 度时，四边形ABFE为矩形.
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5.(2013·呼和浩特中 ( http: / / www.21cnjy.com )考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为 .
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6.如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起 ( http: / / www.21cnjy.com )，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3cm，EF=4cm，则边AD的长是 cm.
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三、解答题(共26分)
7.(8分)已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点.
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(1)求证：△BOE≌△DOF.
(2)若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由.
8.(8分)(2013·新疆中考)如图，□ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：△AOE≌△COF.
(2)请连结EC，AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由.
【拓展延伸】
9.(10分)如图，在△ABC中，点O是AC ( http: / / www.21cnjy.com )边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的邻补角的平分线于点F，连结AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
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答案解析
1.【解析】选D.根据矩形的判定，三个角都为直角的四边形是矩形.故选D.
2.【解析】选A.根据矩形的判定定理(有一个 ( http: / / www.21cnjy.com )角是直角的平行四边形是矩形)可得：DC⊥BC可证四边形ABCD是矩形.故D选项能判定四边形ABCD为矩形；矩形的对角线相等且相互平分，OA=OB，AC=BD可证四边形ABCD为矩形，故B，C选项能判定四边形ABCD为矩形；AB=AD时，可证四边形ABCD的四条边都相等，不能证四边形ABCD为矩形.
3.【解析】选A.∵DE是AC的垂直平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，∴∠C=90°，又易知∠CDE=∠BED=90°，
∴四边形BCDE是矩形.
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，∴AB=4，
∴AC==2.∴DC=.
∴四边形BCDE的面积为2×=2.
4.【解析】如果四边形ABFE为矩形，
根据矩形的性质，那么AF=BE，AC=BC，
又因为AC=AB，那么三角形ABC是等边三角形，
所以∠ACB=60°.
答案：60
5.【解析】∵点E，F分别为四边形ABCD的边AD，AB的中点，∴EF∥BD，且EF=BD=3.
同理求得GH∥BD，且GH=BD=3，
EH∥AC∥GF，且EH=GF=AC=4，
∴四边形EFGH为平行四边形.
又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG.
∴四边形EFGH是矩形.
∴四边形EFGH的面积=EF·EH=3×4=12，
即四边形EFGH的面积是12.
答案：12
6.【解析】∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°，
同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，
∴四边形EFGH为矩形.
∴EH=FG，HG=EF，∠EHA=∠GFC，
又∠A=∠C=90°，
∴△AEH≌△CGF，∴AH=CF，∴BF=HD.
∵AD=AH+HD=HM+MF=HF，
HF===5，∴AD=5cm.
答案：5
7.【解析】(1)∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°.
又∵∠EOB=∠FOD，OE=OF，∴△BOE≌△DOF.
(2)四边形ABCD是矩形.
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD.
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=BD，OA=AC，
∴BD=AC，∴□ABCD是矩形.
8.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AB∥CD.∴∠E=∠F.又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF.
(2)连结EC，AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形.
理由如下：
由(1)可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，∴四边形AECF是矩形.
9.【解析】当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时，四边形AECF是矩形.
证明：∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2.
又∵MN∥BC，∴∠1=∠3.
∴∠3=∠2，∴EO=CO.
同理，FO=CO.∴EO=FO.
又OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形.
方法一：又∵∠1=∠2，∠4=∠5，
∴∠1+∠5=∠2+∠4.
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°.
∴平行四边形AECF是矩形.
方法二：∵EO=CO，FO=CO，OA=CO，
∴EO=CO=FO=OA，
即AC=EF.∴平行四边形AECF是矩形.课时作业（二十六）
正 方 形(第2课时)
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.如图是用4个相同的小矩形与1个小 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形镶嵌而成的正方形图案.已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )
A.x+y=7 B.x-y=2
C.4xy+4=49 D.x2+y2=25
2.在平面中，下列命题为真命题的是( )
A.四边相等的四边形是正方形
B.对角线相等的四边形是菱形
C.四个角相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为，则点P的个数为( )
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A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.四边形ABCD的对角线AC，BD相 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点O，给出以下题设条件：①AB=BC=CD=DA；②AO=BO=CO=DO；③AO=CO=BO=DO，AC⊥BD；④AB=BC，CD=DA.其中能判断它是正方形的题设条件是 (把正确的序号填在横线上).
5.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作，…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作 次.
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6.如图，在△ABC中，∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF=BE.当∠A= 时，四边形BECF是正方形.
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三、解答题(共26分)
7.(8分)如图，四边形ABCD是矩形，E是 ( http: / / www.21cnjy.com )BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F，求证：四边形ABCD是正方形.
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8.(8分)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P，Q分别是AB，AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.
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(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形.
(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由.
【拓展延伸】
9.(10分)在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连结PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F，如图①.
(1)请探究BE，DF，EF这 ( http: / / www.21cnjy.com )三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论.
(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明.
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答案解析
1.【解析】选D.大正方形的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )49，边长x+y=7；小正方形的面积为4，边长x-y=2.四个小矩形的面积4xy加上小正方形的面积等于大正方形的面积，即4xy+4=49.
2.【解析】选C.根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，选项C正确.
3.【解析】选B.过点B作DC延长线的垂线相交于点E，由于∠A=∠ADC=∠E=90°，且AB=AD.所以，四边形ABED为正方形.又CD==AD=DE，即C为DE中点.作CF⊥BD，F为垂足，设CF=DF=x，则x2+x2=()2，解得x=1，即CF=1.又因为正方形的对角线AE==4.所以AO=AE=2.当P点在AB，AD上时，P点到BD的距离可以为.
4.【解析】由①得四边形是菱形；由②得四边形是矩形；
由③得四边形是正方形；由④得四边形为一般四边形.
答案：③
5.【解析】根据题意，知第一 ( http: / / www.21cnjy.com )次操作得4=3+1(个)，第二次操作得7=2×3+1(个)，第三次操作得10=3×3+1(个)，……，即第n次操作得(3n+1)(个)，当3n+1=2011时，解得n=670.
答案：670
6.【解析】∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF.
∵CF=BE，∴BE=EC=CF=BF.
∴四边形BECF是菱形.
当∠A=45°时，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠ECB=∠ABC=45°，
∴∠ECF=90°，∴菱形BECF为正方形.
答案：45°
7.【证明】∵∠AED=∠CED，∴∠AEB=∠CEB.
又∵∠BAE=∠BCE，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，∴AB=CB.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形.
8.【解析】(1)连结AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
又∵BP=AQ，∴△BPD≌△AQD，
∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ，
∵∠BDP+∠ADP=90°，
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形.
(2)当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
由(1)知△ABD为等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠BAC=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP=AB，∴四边形APDQ为正方形.
9.【解析】(1)在图①中，BE，DF，EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF；
在图②中，BE，DF，EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；
在图③中，BE，DF，EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF.
(2)答案不唯一.对图①中结论证明如下：
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，∴△BAE≌△ADF，
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，∴BE-DF=EF.课时作业（二十四）
菱形的判定
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2013·海南中考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )
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A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
2.如图，两条笔直的公路l1 ( http: / / www.21cnjy.com )，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l2的距离是( )
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A.3km B.4km C.5km D.6km
3.(2013·玉林中考)如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连结AN，CM，则四边形ANCM是菱形.乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连结EF，则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断( )
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A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.(2013·仙桃中考)如图，两个 ( http: / / www.21cnjy.com )完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是 (写出一个即可).
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5.已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=BC，使得四边形ABCD是菱形.还需添加一个条件，这个条件可以是 .
6.矩形ABCD中，AD=32cm， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=24cm，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.若P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒，则t= s时，以点P和Q与点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形是菱形.
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三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·宜昌中考) ( http: / / www.21cnjy.com )如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连结DE，DF.
(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由.
(2)连结EF，若AE=8cm，∠A=60°，求线段EF的长.
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8.(8分)(2013·盐城中考)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE，BD且AE=AB.
(1)求证：∠ABE=∠EAD.
(2)若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.
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【拓展延伸】
9.(10分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.
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(1)求证：AF=DC.
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选B.由平移，得AC∥DE，AC=DE，∴四边形ACED是平行四边形；
又∵BC=CE，∴当AC=BC时，AC=CE，∴四边形ACED是菱形.
2.【解析】选B.如图，连结AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；
∵AB=BC=CD=DA=5km，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠CAE=∠CAF，
∴CE=CF=4km.
3.【解析】选C.甲的作法：∵MN是AC的垂直平分线，∴AM=CM，OA=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥CN，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
∴△AMO≌△CNO，∴AM=CN，∴四边形ANCM是平行四边形，
∴□ANCM是菱形.乙的作法：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，
∴∠AFB=∠EBF，∠FAE=∠BEA，∵∠ABF=∠EBF，∠BAE=∠FAE，
∴∠ABF=∠AFB，∠BAE=∠BEA，
∴AB=AF，AB=EB，∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，∴□ABEF是菱形.
4.【解析】∵是两个完全相同的三角尺 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC和DEF，∴CB∥EF，CB=EF，∴四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF；BE⊥CF等，都能说明四边形CBFE是菱形.
答案：如CB=BF；BE⊥CF等.(答案不唯一)
5.【解析】添加AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.
答案：AB=CD(答案不唯一)
6.【解析】分两种情况：①如果四边形PBQD是菱形，则PD=BP=32-t，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，即242+t2=(32-t)2，
解得t=7，即运动时间为7s时，四边形PBQD是菱形.
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②如果四边形APCQ是菱形，则AP=AQ=CQ=t.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABQ=90°，在Rt△ABQ ( http: / / www.21cnjy.com )中，由勾股定理得：AB2+BQ2=AQ2，即242+(32-t)2=t2，解得t=25，即运动时间为25s时，四边形APCQ是菱形.
答案：7或25
7.【解析】(1)菱形.理由：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，
∴四边形AEDF是菱形.
(2)连结EF，
∵AE=AF，∠A=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∴EF=AE=8cm.
8.【证明】(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠AEB=∠EAD.
又∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB.
∴∠ABE=∠EAD.
(2)∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.
又∵∠AEB=2∠ADB，∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=2∠DBC.∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ABD=∠ADB.∴AB=AD.
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
9.【解析】(1)∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，
∴△AFE≌△DBE，∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线，
∴DB=DC，∴AF=DC.
(2)四边形ADCF是菱形.
理由：由(1)知，AF=DC.
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形.
又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD=BC=DC.
∴平行四边形ADCF是菱形.课时作业（二十一）
矩形的性质
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2013·包头中考)如图，四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )
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A.S1>S2 B.S1=S2
C.S12.(2013·南充中考)如图，把矩形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是( )
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A.12 B.24 C.12 D.16
3.如图，长方形ABCD中，E为BC中点，作∠AEC的平分线交AD于点F.若AB=6，AD=16，则FD的长度为( )
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A.4 B.5 C.6 D.8
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= cm.
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5.矩形ABCD中，AB=2，BC=5，MN∥AB交AD于M，交BC于N，在MN上任取两点P，Q，那么图中阴影部分的面积是 .
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6.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点 ( http: / / www.21cnjy.com )K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1
S2(填“>”或“<”或“=”).
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·湘西中考)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，连结AF，CE .
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(1)求证：△BEC≌△DFA.
(2)求证：四边形AECF是平行四边形.
8.(8分)已知：如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，
若∠EAO=15°，求∠BOE的度数.
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【拓展延伸】
9.(10分)阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满 ( http: / / www.21cnjy.com )足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.
(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.
(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小.
(3)若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
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答案解析
1.【解析】选B.矩形ABCD的面积S1=2S△ABC，而S△ABC=S2，所以S1=S2.
2.【解析】选D.由两直线平行，内错角相等，
知∠DEF=∠EFB=60°，
∴∠AEF=∠A′EF=120°，
∴∠A′EB′=60°，A′E=AE=2，
求得A′B′=2，
∴AB=2，矩形ABCD的面积为S=2×8=16.
3.【解析】选C.∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=16，又E为BC的中点，∴BE=BC=×16=8.在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=62+82=100，即AE=10.由四边形ABCD是矩形，得AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，又∠AEC的平分线交AD于点F，∴∠AEF=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AF=AE=10，∴FD=AD-AF=16-10=6.
4.【解析】因为按如题图方式折叠后点B与点D重合，
所以DE=BE.设DE=xcm，则AE ( http: / / www.21cnjy.com )=AB-BE=AB-DE=(10-x)cm.在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即42+(10-x)2=x2，解得x=5.8cm.
答案：5.8
5.【解析】∵MN∥AB，四边形ABCD是矩形，∴四边形ABNM、四边形MNCD是矩形.∴AB=MN=CD，AM=BN，MD=NC.即阴影部分的面积为：S矩形ABCD-S△ABP-S△CDQ=5×2-×AB×BC=10-×2×5=5.
答案：5
6.【解析】MN和PQ分别平行于矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形的两边，所以四边形AMKP、四边形MBQK、四边形QCNK、四边形PKND都是矩形.又矩形的对角线平分矩形的面积，S△MBK=
S△QBK，S△PKD=S△NKD，所以S1=S△ABD-S△MBK-S△PKD，S2=S△CBD-S△QBK-S△NKD，即S1=S2.
答案：=
7.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC.
又∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴BE=DF，
∵在△BEC和△DFA中，
∴△BEC≌△DFA.
(2)由(1)得，CE=AF，又CF=AE，
故可得四边形AECF是平行四边形.
8.【解析】∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE.
∵∠BAD=90°，∠BAE=∠EAD，
∴∠BAE=45°.
∵∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°.
∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，
∴BO=AB.
∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO.
∵∠ABE=90°，∠ABO=60°，∴∠OBE=30°.
在△BOE中，∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°，
∴∠BOE=(180°-∠OBE)=75°.
9.【解析】(1)如果一个三角形和 ( http: / / www.21cnjy.com )一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有2个“友好矩形”，
如图，矩形BCAD，矩形ABEF.
易知，矩形BCAD，矩形ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有3个“友好矩形”，如图中矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小.
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证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S.设矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=+2a，L2=+2b，
L3=+2c.
∴L1-L2=-=2(a-b)×，
而ab>S，a>b，∴L1- L2>0，即L1> L2.
同理可得，L2> L3，
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.课时作业（二十五）
正 方 形(第1课时)
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=( )
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A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
2.(2013·凉山州中考)如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )
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A.14 B.15
C.16 D.17
3.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=( )
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A.2 B.3
C.2 D.2
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.如图正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 .
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5.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD，相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE= .
( http: / / www.21cnjy.com )
6.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 .
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图，是一块在电脑展幕 ( http: / / www.21cnjy.com )上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成.设中间最小的一个正方形的边长为1，则这个矩形色块图的面积为多少？
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8.(8分)矩形、菱形、正方形都是平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的矩形，也是特殊的菱形.因此，我们可利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题.回答下列问题：
(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入表示它们包含关系的下图中.
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(2)要证明一个四边形是正方形，可先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的
相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一个角是 .
【拓展延伸】
9.(10分)已知，如图所示，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为DC上的一点，且DF=DC.
试说明：△BEF是直角三角形.
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答案解析
1.【解析】选A.∵四边形CEFD是正方形，AD=BC=10cm，BE=6cm，
∴CE=EF=CD=10-6=4(cm).
2.【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+FA=4×4=16.
3.【解析】选C.过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于点F，
则有△BCF≌△BAE，
∴BE=BF，四边形BEDF是正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形BEDF=8，
∴BE==2.
4.【解析】由S.S.S.知△ABE≌ ( http: / / www.21cnjy.com )△ADF，∴∠BAE=∠DAF，当△AEF在正方形内部时，∠BAE=15°，当△AEF在正方形外部时，
如图∠BAE+∠DAF=330°，∴∠BAE=165°.
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答案：15°或165°
5.【解析】过E作EF⊥DC于点F.
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO=EF.
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=，∴CO=AC=.
∴CF=CO=，∴EF=DF=DC-CF=1-，
∴DE==-1.
答案：-1
6.【解析】如图1，当点E在正方形ABCD外时，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=
90°+60°=150°，所以∠AED=×(180°-150°)=15°；
如图2，当点E在正方形ABCD内时，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°-60°=
30°，
所以∠AED=×(180°-30°)=75°.
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答案：15°或75°
7.【解析】设正方形Ⅰ边长为x，则正方形Ⅱ边长为(x+1)，正方形Ⅲ边长为(x-1)，正方形Ⅳ和Ⅴ的边长为(x-2).
根据矩形对边相等，
列出方程x+x+1=(x-1)+2(x-2).
解得x=6，矩形的长为6+7=13.
矩形的宽为6+5=11.
所以矩形的面积为13×11=143.
8.【解析】(1)如图所示：
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(2)因为正方形可以由矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形和菱形变化得到，所以在证明一个四边形是正方形时，可先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的邻边相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一个角是直角.
答案：邻边 直角
9.【解析】设正方形ABCD的边长为4，则AE=ED=2，DF=1，FC=3，根据勾股定理，得
BE2=AB2+AE2=42+22=20，
EF2=ED2+DF2=22+12=5，
BF2=BC2+CF2=42+32=25，
∴BF2=BE2+EF2，∴△BEF是直角三角形.
