2023-2024第一学期九年级数学期中试卷
一、填空题（每题2分，共24分）
1.方程的根是 ▲ ．
2. 二次函数图象的顶点坐标为 ▲ ．
3. 若一元二次方程有一个根为2，则 ▲ ．
4. 若圆锥的母线长为6cm，其侧面积为cm2，则圆锥底面半径为 ▲ cm．
5. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝25°，则∠BOC＝ ▲ °．
6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=80°，则∠DCE= ▲ °．
7. 把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为 ▲ ．
8. 已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长
为 ▲ ．
第5题 第6题 第10题 第12题
9. 已知二次函数的最小值为5，则 ▲ ．
10. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若OD=1，BC=3，则OA= ▲ ．
11. 已知是方程的一个根,则= ▲ ．
12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B．若△ABE为直角三角形，则 ▲ ．
二、选择题（每题3分，共18分）
13. 已知点A与⊙O在同一平面内，⊙O的半径是4，且点A到圆心O的距离是3，则点A与⊙O的位置关系是（ ▲ ）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O上 D．不能确定
14.用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ▲ ）
A． B． C． D．
15. 若函数的图象上有两点，，，，若，则 ▲
A． B． C． D．，的大小不确定
16. 如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且CD平分∠ACB，交AB于点E．若AE＝7，DE＝13，则⊙O的半径为（ ▲ ）
A．8 B． C． D．12
第16题 第18题
17.已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系如表，则
的值（ ▲ ）
x 2 4 5
y m m 4
A．﹣4 B．﹣8 C．﹣12 D．﹣24
18. 如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝8，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ▲ ）
A． B． C． D．
三、解答题（共78分）
19.（本题10分）用适当的方法解下列方程:
（1） （2）
20.（本题6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m是正整数，求关于x的方程的根．
21.（本题6分）如图，在△ABC中，BC＝16，AB＝AC=10．
（1）尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作外接圆的半径R．
22.（本题6分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13．
求：（1）⊙O的半径； （2）弦AC的长．
23.（本题6分）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）．
（1）当抛物线经过点（2，6）时，求a的值；
（2）当时，
①若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 ▲ ；
②若0≤x≤4，则函数的最大值为 ▲ ，最小值为 ▲ ．
24.（本题7分）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为60元时，平均每月售出 ▲ 个水杯，月销售利润是 ▲ 元；
（2）若每个水杯售价上涨元，每月能售出 ▲ 个水杯（用含的代数式表示）；
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价．
25.（本题8分）如图，抛物线经过点（4，﹣5）和（1，﹣8），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；
（2）连接AC、BC，求△ABC的面积；
（3）若点P是抛物线上一点（点P不与点C重合），且S△ABP＝S△ABC，则点P的坐标为 ▲ ．
26.（本题9分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，以CD为直径的⊙O切AB于点E，BF⊥AO交AO延长线于点F，且∠FBC＝∠CAF.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，BC＝8.
①求⊙O的半径； ②连接CF，求CF的长.
27．（本题10分）在矩形中，AB＝12cm，BC＝9cm，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动，、其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒．解答下列问题：
（1）如图①，为何值时，的面积等于；
（2）如图②，若以点为圆心，为半径作⊙P．在运动过程中，是否存在值，使得⊙P经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，若以为圆心，为半径作⊙Q，当⊙Q与相切时．
①求的值．
②如图④，若点是此时⊙Q上一动点，是CE的中点，连接BF，则线段BF的最大值为 ▲ ．
图① 图② 图③ 图④
28．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点坐标为，图象的顶点为．矩形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为．
（1）= ▲ ，顶点的坐标为 ▲ ；
（2）如图2，将矩形沿轴正方向平移个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点，，连接，过点作于点．
①当时，求的长；
②当点与点重合时，点P的坐标为 ▲ ，点Q的坐标为 ▲ ；
③当点与点不重合时，是否存在这样的，使得的面积为1？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2 备用图九年级数学期中试卷参考答案及评分标准
一、填空题
1.±3 2.（1,2） 3. 8 4. 3 5. 50° 6. 80° 7.
8. 11 9. 6 10. 11. 2026 12.
二、选择题
13.B 14.C 15.A 16.D 17.A 18.B
19.（1） （2分） （2） （1分）
（1分） （2分）
（2分） （2分）
20.（1）根据题意得：（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0， （1分） 解得：m＜2；（1分）
（2）由（1）得：m＜2,∵m为正整数，∴m＝1，（1分）
把m＝1代入原方程得：x2﹣2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2．（2分）
21. （1）作图略（3分） （2）（3分）
22. （1）∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，（1分）
∴AO2＝OB2﹣AB2＝132﹣122＝25，∴OA＝5，（1分）
∴⊙O的半径为5； （1分）
（2）∵OH⊥AC，∴AH2＝AO2﹣OH2，AH＝CH，（1分） ∴AH2＝25﹣9＝16，
∴AH＝4，（1分） ∴AC＝2AH＝8．（1分）
23. （1）∵抛物线y＝x2﹣2ax+2a经过点（2，6），∴6＝22﹣2a×2+2a，（1分）
解得：a＝﹣1；（2分）
（2）①x＜1．（1分） ②10， 1．（2分）
24. （1）400，12000； （2分） （2）600﹣10x （1分）
（3）设每个水杯售价上涨x元（x＞0），则每个水杯的销售利润为（40+x﹣30）元，
根据题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000， （1分）
整理得：x2﹣50x+400＝0，解得：x1＝10，x2＝40，（1分）
又∵尽可能让顾客得到实惠，∴x＝10，∴40+x＝40+10＝50．（1分）
答：每个水杯的售价为50元． （1分）
25.（1）抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5，（2分） 顶点坐标为（2，﹣9）；（1分）
（2）S△ABC＝15；（2分）
（3）点P的坐标为（4，﹣5）或或（3分）
26. （1）证明：∵BF⊥AF，∴∠BFO＝90°，
∵∠FBC＝∠CAF，∠COA＝∠FOB，∴∠ACO＝∠BFO＝90°，
∴OC⊥AC，∴AC为⊙O的切线；（3分）
（2）∵AC＝6，BC＝8, ∠ACB＝90°，∴AB＝10
∵AC与AE都为⊙O的切线，∴AC＝AE＝6，∴BE＝4,
在Rt△CDO中，设OC＝OE＝r，则有OB＝8﹣r，
根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，
则圆的半径为3．（3分）
（3）延长AC、BF相交于点G，证△PED≌△PEF（ASA），∴AG＝AB＝10，BF＝GF，
∴CG＝＝4，∴BG＝，BF＝（3分）
27.（1）由题意得：，整理得，解得，
或5秒时，的面积为8． （3分）
（2）经过点，，，
，解得或（舍去），
当时，⊙P经过点． （3分）
（3）①如图③中，设与相切于点，连接．
，，
，，，
，，，，
时，与相切． （2分）
②． （2分）
28. （1）c＝5，M的坐标是（2，1） （2分）
（2）①QG＝1．（2分） ②点P的坐标为， 点Q的坐标为 （2分）
③或 （4分）
