广东省梅州市大埔县2023-2024学年高二上册数学10月期中试卷

广东省梅州市大埔县2023-2024学年高二上册数学10月期中试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023高二上·石景山期末）若，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2023高二上·大埔期中）直线的倾斜角为135°，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·大埔期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（　　）
A．（﹣2，3） B．（0，1） C．（3，3） D．（3，2）
4．（2023高二上·大埔期中）在中，，则角的大小为（　　）
A． B． C．或 D．
5．（2023高二上·大埔期中）已知空间三点O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为（　　）
A．8 B．4 C． D．
6．（2022高二上·通州期中）如图，在四面体中，点为棱的中点，设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023高二上·大埔期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023高二上·大埔期中）在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．2
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023高二上·大埔期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，，下列命题是真命题的为（　　）
A．若，则两条直线的斜率相等
B．若两条直线的斜率相等，则
C．若，则
D．若，则
10．（2023高二上·大埔期中）设α是三角形的一个内角，则下列三角函数值中可能为负值的是（　　）
A．sinα B．cosα C．tanα D．tan
11．（2022·吉林模拟）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（　　）
A．经过1后，扇形AOB的面积为
B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为
D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相即
12．（2023高二上·大埔期中）如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，过AE的截面与棱BB、分别交于点F、G，则下列说法中正确的是（　　）
A．当点F为棱中点时，截面的周长为
B．线段长度的取值范围是
C．当点F与点B重合时，三棱锥的体积为
D．存在点F，使得
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（2023高二上·大埔期中）四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE，则DE=　 　.
14．（2023高二上·大埔期中）已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为　 　 .
15．（2023高二上·大埔期中）已知A（4，8），B（2，4），C（3，y）三点共线，则y＝　 　．
16．（2023高二上·大埔期中）在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为　 　．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2020高一上·林芝期末）求满足下列条件的直线的方程.
（1）直线过点 ，且与直线 平行；
（2）直线过 点且与直线 垂直.
18．（2023高二上·大埔期中）如图，已知平面四边形ABCD，，，，，.
（1）求；
（2）求AB的值.
19．（2021高三上·河南月考）已知函数 图象的相邻两条对称轴间的距离为 .
（1）若 ，求 的值；
（2）将 的图象向左平移 个单位长度，所得图象与函数 的图象重合，求实数 的最小值.
20．（2023高二上·大埔期中）在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）求与所成的角的大小.
21．（2023高二上·大埔期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.再在条件①、条件②、条件③中选择1个作为已知，使得△ABC存在并且唯一.条件①；条件②；条件③a=3.
（1）求c的值；
（2）求△ABC的面积.
22．（2023高二上·大埔期中）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=t，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）若t=1，求二面角A DF B的大小；
（3）若线段AC上总存在一点P，使得PF⊥BE，求t的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为，
所以.
故答案为：C
【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得答案.
2．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：因为 直线 的斜率，所以.
故答案为：B.
【分析】根据直线斜率的定义运算求解.
3．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意可知：直线的斜率，
则直线方程，即，
可知B在直线上，ACD不在直线上，
故答案为：B.
【分析】根据题意求直线的斜率和方程，进而逐项分析判断.
4．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
且，可得.
故答案为：A.
【分析】根据题意利用正弦定理可得，进而可得结果.
5．【答案】D
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，且，
可得，
可知以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为.
故答案为：D.
【分析】利用空间向量求模长和夹角，再利用面积公式公式运算求解.
6．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】连接，
因为为棱的中点，，，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】根据空间向量的线性运算法则，得到，利用，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
对于A：因为 ，故A正确；
对于B：因为 ，故B错误；
对于C：因为 ，故C错误；
对于D：因为 ，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，以为基底向量，结合空间向量的运算逐项分析判断.
8．【答案】D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，分别过A，B作x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，
可知，
折叠后，可知，
因为，
则
，
所以 折叠后两点间的距离为.
故答案为：D.
【分析】在平面直角坐标系中，分别过A，B作x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，根据空间向量的线性运算可得，再结合数量积运算求解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】直线的倾斜角；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：对于A： 若，则两条直线的斜率相等 或均不存在，故A错误；
对于B： 若两条直线的斜率相等，则 ，故B正确；
对于C： 若，则，故C正确；
对于D： 若，则 故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义结合平行关系分析判断，注意题干为 与为两条不重合的直线 .
10．【答案】B,C
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：由题意可知，可知，
若为钝角，则.
故答案为：BC.
【分析】根据三角形内角的取值范围，结合 三角函数值 的符号逐项分析判断.
11．【答案】B,D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】对于，由题意可知：经过1后，，
所以此时扇形AOB的面积为，错误；
对于，经过2后，，
所以此时劣弧的长为，正确；
对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，错误；
对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，正确，
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式、弧长公式、圆心角求解方法、旋转角的求解方法，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：对于A：当点F为棱中点时，可知，，，
可得，
所以截面的周长为 ，故A正确；
对于B：延长FE交延长线于H，连接，如图1，
令，则，
因为，则，可得
因为在上单调递增，所以，故B正确；
对于C，当点F与点B重合时，如图2，
可知，
所以三棱锥C AEF的体积：
，故C正确；
对于D：以点C为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
因为，
因此不存在点F，使得 ，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】对于A：根据题意平行线的性质求相应的长度，进而可求周长；对于B：根据题意分析可得，结合函数单调性分析判断；对于C：利用转换顶点法结合割补法运算求解；对于D：建系，利用空间向量判断垂直关系.
13．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
由题意可知：，所以.
故答案为： .
【分析】连接，结合正四面体的结构特征运算求解.
14．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得：，
可知在方向上的投影向量的模长为，且
所以 点P到直线AB的距离为.
故答案为： .
【分析】根据空间向量的坐标运算结合 点到直线的距离公式运算求解.
15．【答案】6
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为，则，解得.
故答案为：6.
【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.
16．【答案】
【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意可知：平面PAC，则BD与平面PAC所成角为，
所以，
当AD取得最小值时，取得最大值，
在等腰中，当D为PC的中点时，AD取得最小值，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面PBC的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以AD与平面PBC所成角的正弦值为.
故答案为：.
【分析】根据题意结合线面夹角的定义分析可知：当D为PC的中点时， BD与平面PAC所成角最大 ，建系，利用空间向量求线面夹角.
17．【答案】（1）解：设所求直线的方程为 ，
∵点 在直线上，
∴ ，
∴ .
故所求直线的方程为 .
（2）解：设所求直线的方程为 .
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ .
故所求直线的方程为 .
【知识点】用斜率判定两直线平行；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)利用平行设出所求直线的方程为 ，再代入点 的坐标解出 ，即可得到答案；(2)利用垂直设出所求直线的方程为 ，再代入点 的坐标解出 ，即可得到答案.
18．【答案】（1）解：在△中，由余弦定理，有，
，即，
.
（2）解：在四边形中，，
∴，
在△中，由正弦定理，则.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)在△中， 利用余弦定理可得，再结合直角三角形分析判断；
(2) 由题意可知 ，，在△中， 利用正弦定理分析求解.
19．【答案】（1）解：
.
因为 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，
所以 的最小正周期为 .
所以 ， .
所以 .
令 ，可得 ， 或 ， ，
即 或 ， .
（2）解：将 的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，
所得图象与函数 的图象重合，
所以 ， ，
， .
因为 ，所以当 时， 取得最小值，且最小值为 .
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用函数 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，从而求出函数 的最小正周期为 ，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出 的值，进而求出正弦型函数f(x)的解析式，再结合，从而求出实数x的值。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出余弦型函数，再利用所得的余弦型函数与函数 的图象重合，得出 ， ，再利用 ， 从而得出实数 的最小值。
20．【答案】（1）解：以D为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，(0，0，1)，E(1，1，)，F(0，，0)，
则＝(0，，－1)，＝(1，0，0)，＝(0，1，)，
则＝0，＝0，
，，即，，
又，故平面ADE.
（2）解：由（1）知：(1，1，1)，C(0，1，0)，故＝(1，0，1)，
而＝(－1，－，－)，则＝－1＋0－＝－，
又，，
则cos.
，由线线角的范围知：与所成的角为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】 (1)以D为原点，建立空间直角坐标系， 利用空间向量证明线面垂直；
(2) 利用空间向量求异面直线夹角.
21．【答案】（1）解：选条件①，，，，
故，
由正弦定理得，
选条件②，由余弦定理得，
，此时无解；
选条件③，由余弦定理得，
此时解得.
（2）解：由（1）可知，选①③时，△ABC存在且唯一，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)选条件①， 先利用两角和差公式求，进而结合正弦定理运算求解； 选条件②， 根据余弦定理分析判断； 选条件③， 利用余弦定理运算求解；
(2)由（1）可知，选①③时，△ABC存在且唯一， 利用面积公式运算求解.
22．【答案】（1）解：设，连结，，
因为矩形中是线段的中点，是线段的中点，
所以，，所以为平行四边形，
故，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：若，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则由，可知，
不妨令，则，，
从而平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
因为为锐角，所以，
所以二面角的大小为.
（3）解：因为点在线段上，而，
设，其中，
则，从而点坐标为，
于是，而，
则由可知，即，
所以，解得，故的最大值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)设，连结，， 分析可得 ， 结合线面平行的判定定理分析证明；
(2) 以C为坐标原点建系，分别求两个平面的法向量，利用空间向量求二面角；
(3)设，其中， 根据垂直关系可得 ， 结合 ， 分析求解.
1 / 1广东省梅州市大埔县2023-2024学年高二上册数学10月期中试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023高二上·石景山期末）若，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为，
所以.
故答案为：C
【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得答案.
2．（2023高二上·大埔期中）直线的倾斜角为135°，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：因为 直线 的斜率，所以.
故答案为：B.
【分析】根据直线斜率的定义运算求解.
3．（2023高二上·大埔期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（　　）
A．（﹣2，3） B．（0，1） C．（3，3） D．（3，2）
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意可知：直线的斜率，
则直线方程，即，
可知B在直线上，ACD不在直线上，
故答案为：B.
【分析】根据题意求直线的斜率和方程，进而逐项分析判断.
4．（2023高二上·大埔期中）在中，，则角的大小为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
且，可得.
故答案为：A.
【分析】根据题意利用正弦定理可得，进而可得结果.
5．（2023高二上·大埔期中）已知空间三点O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为（　　）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，且，
可得，
可知以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为.
故答案为：D.
【分析】利用空间向量求模长和夹角，再利用面积公式公式运算求解.
6．（2022高二上·通州期中）如图，在四面体中，点为棱的中点，设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】连接，
因为为棱的中点，，，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】根据空间向量的线性运算法则，得到，利用，即可求解.
7．（2023高二上·大埔期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
对于A：因为 ，故A正确；
对于B：因为 ，故B错误；
对于C：因为 ，故C错误；
对于D：因为 ，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，以为基底向量，结合空间向量的运算逐项分析判断.
8．（2023高二上·大埔期中）在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，分别过A，B作x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，
可知，
折叠后，可知，
因为，
则
，
所以 折叠后两点间的距离为.
故答案为：D.
【分析】在平面直角坐标系中，分别过A，B作x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，根据空间向量的线性运算可得，再结合数量积运算求解.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023高二上·大埔期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，，下列命题是真命题的为（　　）
A．若，则两条直线的斜率相等
B．若两条直线的斜率相等，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】直线的倾斜角；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：对于A： 若，则两条直线的斜率相等 或均不存在，故A错误；
对于B： 若两条直线的斜率相等，则 ，故B正确；
对于C： 若，则，故C正确；
对于D： 若，则 故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义结合平行关系分析判断，注意题干为 与为两条不重合的直线 .
10．（2023高二上·大埔期中）设α是三角形的一个内角，则下列三角函数值中可能为负值的是（　　）
A．sinα B．cosα C．tanα D．tan
【答案】B,C
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：由题意可知，可知，
若为钝角，则.
故答案为：BC.
【分析】根据三角形内角的取值范围，结合 三角函数值 的符号逐项分析判断.
11．（2022·吉林模拟）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（　　）
A．经过1后，扇形AOB的面积为
B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为
D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相即
【答案】B,D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】对于，由题意可知：经过1后，，
所以此时扇形AOB的面积为，错误；
对于，经过2后，，
所以此时劣弧的长为，正确；
对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，错误；
对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，正确，
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式、弧长公式、圆心角求解方法、旋转角的求解方法，进而找出正确的选项。
12．（2023高二上·大埔期中）如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，过AE的截面与棱BB、分别交于点F、G，则下列说法中正确的是（　　）
A．当点F为棱中点时，截面的周长为
B．线段长度的取值范围是
C．当点F与点B重合时，三棱锥的体积为
D．存在点F，使得
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：对于A：当点F为棱中点时，可知，，，
可得，
所以截面的周长为 ，故A正确；
对于B：延长FE交延长线于H，连接，如图1，
令，则，
因为，则，可得
因为在上单调递增，所以，故B正确；
对于C，当点F与点B重合时，如图2，
可知，
所以三棱锥C AEF的体积：
，故C正确；
对于D：以点C为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
因为，
因此不存在点F，使得 ，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】对于A：根据题意平行线的性质求相应的长度，进而可求周长；对于B：根据题意分析可得，结合函数单调性分析判断；对于C：利用转换顶点法结合割补法运算求解；对于D：建系，利用空间向量判断垂直关系.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（2023高二上·大埔期中）四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE，则DE=　 　.
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
由题意可知：，所以.
故答案为： .
【分析】连接，结合正四面体的结构特征运算求解.
14．（2023高二上·大埔期中）已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为　 　 .
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得：，
可知在方向上的投影向量的模长为，且
所以 点P到直线AB的距离为.
故答案为： .
【分析】根据空间向量的坐标运算结合 点到直线的距离公式运算求解.
15．（2023高二上·大埔期中）已知A（4，8），B（2，4），C（3，y）三点共线，则y＝　 　．
【答案】6
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为，则，解得.
故答案为：6.
【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.
16．（2023高二上·大埔期中）在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为　 　．
【答案】
【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意可知：平面PAC，则BD与平面PAC所成角为，
所以，
当AD取得最小值时，取得最大值，
在等腰中，当D为PC的中点时，AD取得最小值，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面PBC的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以AD与平面PBC所成角的正弦值为.
故答案为：.
【分析】根据题意结合线面夹角的定义分析可知：当D为PC的中点时， BD与平面PAC所成角最大 ，建系，利用空间向量求线面夹角.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2020高一上·林芝期末）求满足下列条件的直线的方程.
（1）直线过点 ，且与直线 平行；
（2）直线过 点且与直线 垂直.
【答案】（1）解：设所求直线的方程为 ，
∵点 在直线上，
∴ ，
∴ .
故所求直线的方程为 .
（2）解：设所求直线的方程为 .
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ .
故所求直线的方程为 .
【知识点】用斜率判定两直线平行；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)利用平行设出所求直线的方程为 ，再代入点 的坐标解出 ，即可得到答案；(2)利用垂直设出所求直线的方程为 ，再代入点 的坐标解出 ，即可得到答案.
18．（2023高二上·大埔期中）如图，已知平面四边形ABCD，，，，，.
（1）求；
（2）求AB的值.
【答案】（1）解：在△中，由余弦定理，有，
，即，
.
（2）解：在四边形中，，
∴，
在△中，由正弦定理，则.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)在△中， 利用余弦定理可得，再结合直角三角形分析判断；
(2) 由题意可知 ，，在△中， 利用正弦定理分析求解.
19．（2021高三上·河南月考）已知函数 图象的相邻两条对称轴间的距离为 .
（1）若 ，求 的值；
（2）将 的图象向左平移 个单位长度，所得图象与函数 的图象重合，求实数 的最小值.
【答案】（1）解：
.
因为 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，
所以 的最小正周期为 .
所以 ， .
所以 .
令 ，可得 ， 或 ， ，
即 或 ， .
（2）解：将 的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，
所得图象与函数 的图象重合，
所以 ， ，
， .
因为 ，所以当 时， 取得最小值，且最小值为 .
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用函数 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，从而求出函数 的最小正周期为 ，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出 的值，进而求出正弦型函数f(x)的解析式，再结合，从而求出实数x的值。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出余弦型函数，再利用所得的余弦型函数与函数 的图象重合，得出 ， ，再利用 ， 从而得出实数 的最小值。
20．（2023高二上·大埔期中）在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）求与所成的角的大小.
【答案】（1）解：以D为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，(0，0，1)，E(1，1，)，F(0，，0)，
则＝(0，，－1)，＝(1，0，0)，＝(0，1，)，
则＝0，＝0，
，，即，，
又，故平面ADE.
（2）解：由（1）知：(1，1，1)，C(0，1，0)，故＝(1，0，1)，
而＝(－1，－，－)，则＝－1＋0－＝－，
又，，
则cos.
，由线线角的范围知：与所成的角为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】 (1)以D为原点，建立空间直角坐标系， 利用空间向量证明线面垂直；
(2) 利用空间向量求异面直线夹角.
21．（2023高二上·大埔期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.再在条件①、条件②、条件③中选择1个作为已知，使得△ABC存在并且唯一.条件①；条件②；条件③a=3.
（1）求c的值；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：选条件①，，，，
故，
由正弦定理得，
选条件②，由余弦定理得，
，此时无解；
选条件③，由余弦定理得，
此时解得.
（2）解：由（1）可知，选①③时，△ABC存在且唯一，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)选条件①， 先利用两角和差公式求，进而结合正弦定理运算求解； 选条件②， 根据余弦定理分析判断； 选条件③， 利用余弦定理运算求解；
(2)由（1）可知，选①③时，△ABC存在且唯一， 利用面积公式运算求解.
22．（2023高二上·大埔期中）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=t，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）若t=1，求二面角A DF B的大小；
（3）若线段AC上总存在一点P，使得PF⊥BE，求t的最大值．
【答案】（1）解：设，连结，，
因为矩形中是线段的中点，是线段的中点，
所以，，所以为平行四边形，
故，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：若，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则由，可知，
不妨令，则，，
从而平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
因为为锐角，所以，
所以二面角的大小为.
（3）解：因为点在线段上，而，
设，其中，
则，从而点坐标为，
于是，而，
则由可知，即，
所以，解得，故的最大值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)设，连结，， 分析可得 ， 结合线面平行的判定定理分析证明；
(2) 以C为坐标原点建系，分别求两个平面的法向量，利用空间向量求二面角；
(3)设，其中， 根据垂直关系可得 ， 结合 ， 分析求解.
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