第3章 勾股定理 同步单元复习题（含解析） 2023-2024学年苏科版数学八年级上册（江苏地区适用）

第3章 勾股定理 同步单元复习题
一、单选题
1．（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）已知中，，，，斜边边上的高的长度为（ ）
A． B．5 C． D．10
2．（2023上·江苏徐州·八年级统考期末）下列为勾股数的是（ ）
A．，， B．5，8，10 C．9，12，15 D．2，2，4
3．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）用一根小木棒与两根长分别为、的小木棒组成直角三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．1，，3 C．，， D．5，12，13
二、填空题
5．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是 ．

6．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）在如图所示的数轴上，画边长为1的正方形，以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴相交于点A、B两点（B左A右），则点B所表示的实数是 ．

7．（2023上·江苏常州·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，平分，且．当点C在的垂直平分线上时，的值为 ．
8．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）已知，如图，在中，，，D是的中点，点E在上，点F在上，，，则周长的最小值为 ．
9．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）在中，，，，则 ．
10．（2023上·江苏连云港·八年级统考期末）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，则M、C两点间的距离为 km．
三、解答题
11．（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在四边形中，于．若________，________，则________．

(1)从①，②，③平分，中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由．条件：________，________结论：________（填序号）．
(2)在（1）的条件下，若，，，求四边形的周长．
12．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在中，，，．

(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)求的长．
13．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、.
(1)特例体验：如图1，若直线，请探究线段、和的数量关系并说明理由；

(2)初步推广：如图2，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；

(3)尝试应用：如图3，若直线从图①状态开始绕点旋转，与线段相交于点，延长线段交线段于点，若，，求．

14．（2023上·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点．求的长．
15．（2023上·江苏南京·八年级统考期末）如图，在中，的平分线相交于点O．
(1)求证：点O在的平分线上；
(2)连接OA，若，则点O到三角形三条边的距离是______．
16．（2022上·江苏盐城·八年级校考期末）如图，为测量河宽BC，某人选择从点C处横渡，由于受水流的影响，实际上岸地点A与欲到达地点B相距50米，结果发现AC比河宽BC多10米，求该河的宽度BC．（两岸可近似看作平行）
17．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）综合与实践：小明制作了2张如图①的纸片，其中四边形、均为正方形，他把其中的一张纸片沿对称轴把它剪开，然后把对称轴一侧的部分，沿翻折，再绕着的中点旋转，这样就形成了如图②的图形．
(1)在图②中，请先判断与的数量关系，再说明理由．
(2)图①图形的面积可以表示为______．图②图形的面积可以表示为______．从而得数学等式：______，化简证得定理______．
(3)在图②中，，，连接，求图②中的长．
18．（2023上·江苏南通·八年级校联考期末）（1）如图1，在中．点D，E，F分别在边上，，．求证；
（2）如图2．在中．，．点D，F分别是边上的动点．且．以DF为腰向右作等腰．使得，．连接．
①试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
②如图3．已知，点G是的中点，连接．求的最小值．
19．（2023上·江苏连云港·八年级统考期末）【情境建模】（1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考：如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明；
【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交、于点E、F，．求证： ；
②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，请直接写出此时的长．
【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计）
20．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．
21．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）如图，在中，，，点是直线上一动点（与点，不重合），点关于直线的对称点为点，连接，，．
(1)如图①，当点为线段的中点时，请判断的形状，并说明理由；
(2)连接，．若，求的长；
(3)设，记的面积为，的面积为．请用含的式子表示（直接写出答案）．
22．（2023上·江苏镇江·八年级统考期末）如图1，在长方形中，，含角的直角三角板放置在长方形内，，，顶点E、F、G分别在、、上．
(1)求证：；
(2)若P是斜边的中点．
①如图2，连接，请写出线段与、之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，连接，若，则的长等于______．
23．（2023上·江苏淮安·八年级统考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．

(1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________；
(2)应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长．
24．（2023上·江苏常州·八年级统考期末）数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆的长．
25．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
26．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，一艘军舰甲在处停留，此时在处的南偏西45°方向，距离处600公里的处一艘军舰乙正由南向北航行，若军舰甲的雷达可测距离为450公里，军舰乙的航行方向不变，试问在军舰乙航行的过程中，军舰甲的雷达能否测到军舰乙？请通过计算说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据勾股定理求出，再根据，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
∵，
∴，即，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，解题的关键是求出斜边，用等面积法求解．
2．C
【分析】勾股数必须满足是正整数，同时还要验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答．
【详解】A．，能构成直角三角形，但不是整数，故选项错误；
B．，不能构成直角三角形，故选项错误；
C．，三边是整数，同时能构成直角三角形，故选项正确；
D．不能构成直角三角形，故选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，以及勾股定理的逆定理，已知的三边满足，则是直角三角形．
3．B
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判定即可．
【详解】解：A、∵，∴、、的小木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，∴、、的小木棒能组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，∴、、的小木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，∴、、的小木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握一个三角形两较小边平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形是解题的关键．
4．D
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、因为，能构成直角三角形，此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．
【分析】连接，过点作交延长线于点，通过证明，确定点在的射线上运动；作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上；当三点共线时，最小，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点F作交延长线于点，

将绕点顺时针旋转到，
，且，
∴,
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
点在的射线上运动，
作点关于的对称点，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
即点在的角平分线上运动，
点在的延长线上，
当三点共线时，最小，
在中，，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
6．/
【分析】利用勾股定理求出半圆的半径，求出点B到原点的距离，根据数轴上数的特点得出答案；
【详解】由勾股定理得出半圆的半径为，
点B到原点的距离为：，
又因为点B在原点的左边，点B所表示的数是
故答案为：．
【点睛】本题考查的是无理数在数轴上的表示方法，根据是正确的求出的长度．
7．20
【分析】延长、交于点E，由题意可得，然后根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出，过点C作于点F，分别在中，中和中利用勾股定理求出和，进而可得答案．
【详解】解：如图，延长、交于点E，
∵平分，且，
∴，
∴，
∵点C在的垂直平分线上，
∴，
∴，
过点C作于点F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，作出合适的辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
8．
【分析】连接，证明是等腰直角三角形，据此性质进一步证明，得到，推出是等腰直角三角形，从而可分析得出当，时，和的值最小，利用勾股定理求出，利用面积法求出此时的和，利用勾股定理求出，即可得解．
【详解】解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵是中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当，时，和的值最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，面积法等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．
9．
【分析】根据勾股定理，计算即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，解本题的关键在确定直角三角形中的斜边．
10．6.5
【分析】先根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：公路互相垂直，
，
，
为的中点，
，
M，C两点间的距离为，
故答案为：6.5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理的应用．
11．(1)①②③或①③②或③②①，理由见解析
(2)
【分析】（1）延长，过点C作于F，根据，情况一：，得出，推出，得出，即可得出平分；情况二：根据角平分线的性质得出，推出，则，即可推出；情况三：根据角平分线的性质得出，根据，，推出，进而求证，即可推出．
（2）根据勾股定理求出，则，根据，得出，易得，通过证明，得出，则，最后根据四边形周长即可求解．
【详解】（1）解：延长，过点C作于F，

情况一：已知：在四边形中，于，若①，②，求证：③平分．
理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分；
情况二：已知：在四边形中，于，若①，③平分，求证：②．
理由如下：
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
情况三：已知：在四边形中，于，若③平分，②，求证：①．
理由如下：
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：①②③或①③②或③②①．
（2）解：∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
∵，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形周长．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求解．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）按照线段垂直平分线的作法作答即可；
（2）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半作答即可．
【详解】（1）解：如图所示：直线即为线段的垂直平分线，点D，E即为所求；

（2）解：连接，如图所示：

∵，，，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴点D为的中点，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟练掌握垂直平分线的作图方法是解答本题的关键．
13．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据条件证出，即可求解；
（2）根据条件证出即可求解；
（3）证明，求出，，结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：结论：
∵在中，，
∴，
∵
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴；
（2）解：．理由如下：
在中，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵
∴；
（3）解：在中，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴．
【点睛】本题综合考查“一线三垂直”全等模型．注意全等模型的积累与应用．
14．
【分析】在中，根据勾股定理可求出的值，根据是的垂直平分线，如图所示，连接，设，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，如图所示，连接，设，
∴，则，
在中，，
即，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，垂直平分线的综合，掌握勾股定理，垂直平分线的性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点O作，，垂足分别为D、E、F，根据角平分线的性质得到，即可证明点O在的平分线上；
（2）如图所示，连接，根据三线合一定理得到，由此推出三点共线，设，则，由勾股定理建立方程，解得，则，故点O到三角形三条边的距离是．
【详解】（1）证明：过点O作，，垂足分别为D、E、F．
∵的平分线相交于点O，
∴，
∴，
∴点O在的平分线上；
（2）解：如图所示，连接，
∵，平分，
∴，
∵，
∴三点共线，
设，则，
在中，，即，
在中，，即，
∴，
解得，
∴，
∴点O到三角形三条边的距离是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，三线合一定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
16．米
【分析】根据直角三角形勾股定理即可得解．
【详解】解：根据题意可知米，米，
设米，由勾股定理得，即，
解得．
答：该河的宽度BC为120米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，涉及解一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．(1)，理由见解析
(2)；；；
(3)
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出；
（2）分别求出图①和图②的面积，由两个图形的面积相等，即可得出结论；
（3）过点作于，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：．
理由：如图①中，
四边形、均为正方形，
，，
如图②中，
绕着的中点旋转，
，
，
，
；
（2）由①得：，
由②得：，
，
．
故答案为：；；；；
（3）过点作于，
，，
，
由正方形可得：，，，，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了翻折的性质，中心对称的性质以及作图，勾股定理，正方形和等腰直角三角形的性质、勾股定理的证明；熟练掌握翻折和中心对称的性质是解决问题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）①，理由见解析；②
【分析】（1）证明，即可证明结论；
（2）①根据，得到：，再根据，即可得解；
②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，证明，利用对应边相等，和线段的转化，得到：，进而得到，根据对称得到：，当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）①．
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，
∵，，
同（1）可得：，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴E点在射线上运动，
∵G点与N的关于对称，
∴，
∴，
∴当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∵点G是的中点，，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
∴，的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题．本题的综合性强，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造三角形全等，以及利用轴对称解决线段和最小问题．
19．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②；（3）至少需要围挡40米．
【分析】（1）根据角平分线和垂直的性质，证明，即可证明；
（2）①由（1）可得，，，进而得到，，再利用三角形外角的性质得到，从而推出，即可证明结论；
②延长和相交于点E，由（1）可知，，得到，，进而得到，根据三角形中线性质，得到，当时，最大，即最大，利用勾股定理求出，即可得到的长；
（3）延长交于点D，延长交于点E，由（1）可知，，，得到，，进而证明，得到，再利用勾股定理得到，设，，则，，，，从而得到，即可求出的周长，得到答案．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）①证明：在中，是角平分线，，
由“情境建模”的结论得，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
②延长和相交于点E，
平分，，
由“情境建模”的结论得：，
，，
，
，
为中点，
，
当最大时，最大，即时，最大，
，，
，
；
（3）延长交于点D，延长交于点E，
、分别平分和，，，
由“情境建模”的结论得：，，
，，
在和中，
，
，
，，，
，
设，，
，，
，，
，，
，
，
的周长，
答：至少需要围挡40米．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的有关计算，运用三线合一的性质和作辅助线构造全等三角形是解题关键．
20．(1)①见解析；②
(2)
(3)
【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答；
（2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；
（3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）①证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简得．
②在图1中：，，
图2中大正方形的面积为：，
∵，，
∴，，
∴，
∴图2中大正方形的面积为29．
（2）根据题意得：，
如图4：
即有：，，，
∴；
如图5：
，，，
∵，
∴；
如图6：
下面推导正三角形的面积公式：
正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图，
在正中，有，，
∵，
∴，，
∴在中，有，
∴正的面积为：，
∴，，
∵
∴；
∴三个图形中面积关系满足的有3个
故答案为：3；
（3）关系：，理由如下：
以a为直径的半圆面积为：，
以b为直径的半圆面积为：，
以c为直径的半圆面积为：，
三角形的面积为：，
∴，
即：，
结合（1）的结论：
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
21．(1)为等腰直角三角形，证明见解析
(2)或
(3)当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；当点在线段延长线上时，
【分析】（1）由已知可得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一性质可得，再根据轴对称的性质可得，，得出，可得结论；
（2）分两种情况解答；
（3）分三种情况解答．
【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，
∵在中，，，
又∵为线段中点，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴有以下两种情况：
①当在上时，如图，
∵，
∴．
∵点与点关于直线对称，
∴，，
∴，
在中，；
②当在延长线上时，如图，
∵，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，
在中，．
综上所述，的长为或．
（3）解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴有以下三种情况：
①当在上时，
如图，过点作于点，
∴是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，，
∴，
∴的面积：
，
的面积，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的面积：
，
∴；
②当在延长线上时，
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，，
∴的面积：
，
的面积，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的面积：
，
∴；
③当点在线段延长线上时，
如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，，
∴，
∴的面积：
，
的面积，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的面积：
，
∴．
综上所述：当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；当点在线段延长线上时，．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的三线合一性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，本题运用了等积变换求三角形的面积，还运用了分类讨论的思想．灵活运用这些判定、性质和定理是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)①，理由见解析；②3
【分析】（1）利用余角的性质得到，利用即可证明；
（2）①根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据（1）中全等得到，利用勾股定理得到，等量代换即可得到结果；②连接，，证明，得到，角的性质得到，判断出是等腰直角三角形，结合勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）①，理由是：
∵P是斜边的中点，
∴，
∴在等腰直角三角形中，
，即，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
②连接，，
∵是等腰直角三角形，P是中点，
∴，即，，
∵，
∴，
在长方形中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，余角的性质，直角三角形斜边中线的性质，知识点较多，解题的关键是灵活运用全等三角形得到边的结论以及角的结论．
23．(1)
(2)10尺
【分析】（1）根据勾股定理求得，根据实数与数轴关系解答；
（2）竹竿长x尺，则门高尺，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，，，
在中，，
∴，
∴点C表示的数为，
故答案为：；
（2）解：竹竿长x尺，由题意，竹竿，门高尺，门宽尺，，
在中，
∴，
∴，
解得，
答：竹竿长10尺．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、实数与数轴，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
24．8m
【分析】设旗杆的长为，根据，，，运用勾股定理得到，解方程即得．
【详解】设旗杆的长为．
根据题意，得，，．
在中，，
．
．
解方程，得．
答：旗杆的长为8m．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．
25．17米
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得 ，，，在中利用勾股定理可求出．
【详解】解：如图所示
设旗杆高度为 ，则 ，，，
在中，
解得：，
答：旗杆的高度为m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．
26．军舰甲的雷达能测到军舰乙，理由见解析
【分析】过点作于点，点在点的正南方向，根据方位角，结合平行线的性质，得出，进而得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再通过比较大小，即可得出答案．
【详解】解：军舰甲的雷达能测到军舰乙，理由如下：
如图，过点作于点，点在点的正南方向，
∵军舰甲在处停留，此时在处的南偏西45°方向，距离处600公里的处一艘军舰乙正由南向北航行，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵军舰甲的雷达可测距离为450公里，
又∵，
∴在军舰乙航行的过程中，军舰甲的雷达能测到军舰乙．
【点睛】本题考查了方位角、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答．