第4章 实数 同步单元复习题（含解析） 2023-2024学年苏科版数学八年级上册（江苏地区适用）

第4章 实数 同步单元复习题
一、单选题
1．（2022上·江苏盐城·八年级校考期末）已知的三边a，b，c满足，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能判断
2．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）若是a的平方根，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2023上·江苏南京·八年级南京市金陵汇文学校校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．是的平方根 B．0.3是0.9的平方根
C．是的平方根 D．是的平方根
4．（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）估计的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
5．（2023上·江苏淮安·八年级统考期末）关于的叙述错误的是（ ）
A．是无理数 B．在数轴上存在表示的点
C． D．
二、填空题
6．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）若与互为相反数，则 ．
7．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）已知a，b都是实数，若，则 ．
8．（2023上·江苏连云港·八年级统考期末）计算 ．
9．（2023上·江苏南京·八年级统考期末）计算： ．
10．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）实数的小数部分是 .
11．（2023上·江苏常州·八年级统考期末）比较大小： 1.010010001…（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）设n为正整数，且，则n的值为 ．
13．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）2021年，中国宣布现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，提前十年完成《联合国2030年可持续发展议程》减贫目标．近似数9899万精确到 位．
14．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期末）近似数40.6精确到 位．
15．（2022上·江苏盐城·八年级校考期末）按括号内的要求，用四舍五入法求近似数：5.748（精确到0.01） ．
16．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）近似数精确到 位．
三、解答题
17．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）计算：
18．（2023上·江苏常州·八年级统考期末）已知，求x的值．
19．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）概念生成
我们把两个具有公共底边的等腰三角形称为同底等腰三角形，公共的这条底边称为针准线，称这两个等腰三角形的顶角顶点关于针准线互为穿针点，互为穿针点的两个顶角顶点的连线称为穿针线，若再满足两个顶角的和为，则称这两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点．
例：如图1，四边形中，，，则与称为同底等腰三角形，公共底边称为针准线，顶角顶点与点关于互为穿针点；当时，则称点与点关于互为补角穿针点．
概念理解
（1）下列说法正确的有______．
①同底等腰三角形的穿针线垂直平分针准线．
②如果同底等腰三角形的两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点，则其中一个等腰三角形的腰必垂直于另一个等腰三角形中具有公共端点的腰．
③在图1中，与点C关于互为补角穿针点的点有无数个．
（2）如图2，，，，则点A与点______关于互为穿针点．
知识应用
（3）在长方形中，，．如图3，点在边上，点在边上，如果点和点关于针准线互为补角穿针点，求针准线的长．
思维探究
（4）如图4，中，，，点D是平面内一点，如果点C与点D关于针准线互为补角穿针点，求的长．
20．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）求下列各式中的x值：
(1)
(2)．
21．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）
22．（2023上·江苏常州·八年级统考期末）计算：．
23．（2022上·江苏淮安·八年级统考期末）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为－3．
(1)求a、b的值：
(2)求的平方根．
24．（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）（1）计算： ．
（2）已知：，求的值．
25．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）（1）计算
（2）解方程
参考答案：
1．A
【分析】先根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性可得的值，再根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】解：，
，
解得，
，
是直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
2．B
【分析】根据平方根的定义，即可解答．
【详解】解：是a的平方根，则，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
3．D
【分析】根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根．
【详解】解：A、，，，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故不是的平方根，故该选项不正确，不符合题意；
C、没有平方根，故该选项不正确，不符合题意；
D、，，故是的平方根，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的定义，理解平方根的定义是解题的关键．
4．B
【分析】根据，，再根据被开方数越大，算术平方根越大，可得答案．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法，注意：要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．解题的关键是估算出的范围．也考查了算术平方根的性质．
5．C
【分析】根据无理数的定义、在数轴上的点与实数是一一对应关系、无理数的估算逐项判断即可解答．
【详解】解：A、不能开的尽方，是无理数，正确，不符合题意；
B、在数轴上存在表示的点，正确，不符合题意；
C、，错误，符合题意；
D、，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义、在数轴上的点与实数是一一对应关系、无理数的估算，熟练掌握相关知识是解答的关键．
6．1
【分析】根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴ ，
解得：，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为0，则它们分别为0．
7．
【分析】先根据非负数的性质求出，的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
8．
【分析】根据，即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查立方根的知识，解题的关键是掌握．
9．
【分析】根据算术平方根和立方根的性质，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题的关键．
10．/
【分析】先利用夹逼法得到整数部分，进而即可得到小数部分．
【详解】解：，
，
实数的小数部分是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是掌握无理数的估算方法．
11．＞
【分析】根据实数比较大小的方法判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握基础知识是解题的关键．
12．3
【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
13．万
【分析】根据近似数的精确度求解．
【详解】解：9899万精确到万位．
故答案为：万．
【点睛】本题考查了近似数，理解“精确度”是近似数的常用表现形式是解题的关键．
14．十分
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】近似数40.6精确到十分位
故答案为：十分
【点睛】本题主要考查了近似数的相关知识，解题的关键是熟练的掌握求近似数精确到哪一位的方法．
15．
【分析】把千分位上的数字进行四舍五入即可．
【详解】解：精确到．
故答案为：．
【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
16．十
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：，4在十位上，所以近似数精确到十位．
故答案为：十．
【点睛】本题考查了科学记数法与有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
17．
【分析】运用平方根的定义求解即可；
【详解】
【点睛】本题考查了平方根的基本定义，解题的关键是掌握平方根的运算法则．
18．，
【分析】方程整理后，利用平方根的定义开方，即可求出x的值．
【详解】解：，
．
，．
【点睛】本题考查了利用平方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根定义．
19．（1）①；（2）或点；（3）；（4）的长为或
【分析】（1）运用针准线和互为补角穿针点的定义，即可得出答案；
（2）根据“穿针点”的定义，即可得出答案；
（3）由矩形性质可得：，，，再由互为补角穿针点的定义可得，再运用勾股定理即可得出答案；
（4）连接交于点，利用勾股定理可得，当点与点在的异侧时，由，即，可得，利用勾股定理可得；当点与点在的同侧时，可求得．
【详解】解：（1）①同底等腰三角形的两个顶点均在底边的垂直平分线上，故同底等腰三角形的穿针线垂直平分针准线是正确的，
②如果同底等腰三角形的两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点，当这两个顶点位于针准线的同侧时，则其中一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形中具有公共端点的腰不垂直，故结论②不正确．
③在图1中，与点关于互为补角穿针点的点有2个，故结论③不正确；
故答案为：①．
（2）根据“穿针点”的定义可知：点与点、点与点均关于互为穿针点，
故答案为：或点；
（3）四边形是长方形，
，，，
如图，点和点关于针准线互为补角穿针点，
，
在中，，
，
在中，；
（4）连接交于点，
点与点关于针准线互为补角穿针点，
，，，
在中，，，
，
当点与点在的异侧时，如图，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，
设，且，则，
，
，
整理得：，
，
；
当点与点在的同侧时，如图，
，
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，理解新定义并运用新定义是解题关键．
20．(1)，；
(2)
【分析】（1）移项后两边开方，即可求出x；
（2）方程两边都除以3，再开方，即可求出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
开方得：，
即，；
（2）解：，
，
开方得：，
解得：．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，能熟记平方根和立方根的定义是解此题的关键．
21．
【分析】先将原式通过移项、系数化为1进行变形，再直接开立方运算即可；
【详解】
【点睛】本题考查了立方根解方程，解题的关键是注意任何数都有立方根．
22．
【分析】直接利用算术平方根的性质以及立方根的性质、零指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质以及立方根的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得的值；根据立方根的定义求得的值，
（2）将（1）的结果代入代数式，进而再求得代数式的平方根即可．
【详解】（1）某正数的两个不同的平方根是和；
+
解得
的立方根为－3
解得
（2）
的平方根是
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，立方根的定义，代数式求值，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
24．（1）；（2）或
【分析】（1）直接利用绝对值的代数意义，零指数幂和立方根的定义将原式化简，然后计算乘法，最后再进行加减运算即可；
（2）利用平方根的定义解方程可得出答案．
【详解】解：（1）
；
（2），
∴，
∴或．
【点睛】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，立方根，利用平方根解方程．掌握相应的运算法则是解题的关键．
25．（1）；（2）
【分析】（1）涉及立方根、算术平方根及零指数幂．根据其性质分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）先转化成的形式，再求的平方根即可．
【详解】（1）计算
（2）解方程
【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握算术平方根、立方根及零指数幂等考点的运算．