深圳市宝安区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
说明：本测试卷共4页，答题卡共2页。时间120分钟，满分150分。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若复数，，则
A． B． C． D．
2．已知直线与平行，则与的距离为
A． B． C． D．
3．若向量，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为
A．1 B．2 C．－1 D．－2
4. 设，则的大小关系为
A． B． C． D．
5. 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是
A．圆 B．射线
C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆
6.由曲线围成的图形的面积为
A． B． C． D．
7. 若，设函数的零点为，的零点为，则
A． B． C． D．
8. 已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
10. 已知点在圆上，点,，则
A． B．点到直线的距离大于2
C．点到直线的距离小于10 D．当时，最大
11. 设点，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个命题：
①点的轨迹方程为；②；
③存在4个点，使得的面积为；④.
则正确命题的有
A．① B．② C．③ D．④
12. 在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（x，y，），则
A．若，则平面ACD B．当最小时，
C．若，则 D．当最大时，
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若方程表示椭圆，则的取值范围是 ．
14. 在平行六面体中，，，，，则= ．
15. 已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程为_______________．（写出其中之一即可）
16. 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是__________；若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，则|AP|的取值范围是__________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求的值；
(2)若，且的面积为，求的周长．
18.（12分）已知直线l：和圆C：．
(1)直线l恒过一定点M，求出点M坐标；
(2)当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长．
19.（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，，，平面ABEF，，AD=AB=2BC=2BE=2.
(1)已知点G为AF上一点，AG=AD，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知点F到平面DCE的距离为，求平面FDE与平面CDE的夹角的余弦值.
20.（12分）（1）证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
已知：如图，，，，．
求证：．
（2）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
如图，四边形是平行四边形.求证：
21.（12分）已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．
(1)求圆的标准方程．
(2)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值.
22. （12分）马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.
(1)当点取在距离点米处时，证明：拉绳所在直线和平面垂直；
(2)经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.深圳市宝安区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学 参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1-4 ADCB 5-8 CDBA
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9. BD 10. ACD 11. AD 12.BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14.
15. 或 16. ；
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1），则
即，
因为，则，所以，
，则．
（2），得，
又，得，
所以，即，又，，所以，
所以周长是.
18. （1），
因为，
所以有，所以直线l恒过一定点， 即；
（2）由，
所以，半径，
当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
所以有，
即，
所以
此时直线l的方程为，
点到直线l的距离，
因此直线l被圆所截得的弦长最短为.
19. （1）证明：因为平面ABEF，AB，平面ABEF，所以，.
又，所以以A为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，,，
所以，，，
设平面DCE的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即不存在使得与垂直，
所以BG与平面DCE不平行.
（2）设且，则，所以.
由（1）知平面DCE的一个法向量，
所以F到平面DCE的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面FDE的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面FDE与平面CDE的夹角的余弦值为.
20. （1）已知：如图，，，，．
求证：．
证明：取直线的方向向量，直线a，b的方向向量，．
因为，，
所以，．
因为，所以向量，不共线.
设直线为平面内的任意一条直线，且其方向向量为，
则存在x，，使得．
从而，
所以．
即直线与平面内的任意一条直线垂直，故．
（2）证明：如图，四边形是平行四边形．以顶点A为原点，边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
在 中，点A的坐标是，设点B的坐标为，点D的坐标为，由平行四边形的性质，得点C的坐标为．
由两点间的距离公式，得
，，，．
所以，
．
所以，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
21. （1）由题意设圆心坐标为，则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，
故圆的标准方程为；
（2）假设存在定点，设，
设，则，
则，
当，即舍去）时，为定值，且定值为，
故存在定点使得为定值，且点的坐标为；
（3）由（2）知，故，从而，
当且仅当、、三点共线时，最小，
且．
所以的最小值为5.
22. （1）因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，故应该把点取在距离点米处.
